精品解析：内蒙古呼和浩特市回民区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

高一年级数学学科增值性评价数据采集 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列与角的终边一定相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知,则λ是“与的夹角为钝角”的条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C D. 5. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则存在实数，使得. B. 若，则. C. 若，则，反向. D. 若，则，一定同向 7. 若，，，则a，b，c为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，满足，是中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 10. 已知，，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若A是BD中点，则B，C两点重合 D. 若点B，C，D共线，则 11. 在中，为中点，且，则（ ） A. B. C. ∥ D. 12. 已知函数，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域 C. 函数图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为______. 14. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则________． 15. 已知为第一象限角，为第二象限角，且，，则的值为____________. 16. 若函数有个零点，则正数取值范围是____________. 四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，满足，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角． 18. 已知函数. （1）利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 （2）解不等式. 19. 如图为函数的部分图象． （1）求函数解析式和单调递增区间； （2）若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间 上的最大值和最小值. 20. 已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 21. 已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线． （1）求的最小值． （2）若点满足，证明：． 22. 某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. （1）求扇形空地AOB半径和圆心角； （2）取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级数学学科增值性评价数据采集 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列与角的终边一定相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 表示终边相同角，即可判断． 【详解】对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足. 对于选项B ：当时， 成立； 当时，不成立. 对于选项D：不成立. 故选: C 2. 已知,则λ是“与的夹角为钝角”的条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的夹角为钝角，则，再排除共线时的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可. 【详解】∵， ∴与的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0， 即λ且λ≠2 ∴λ是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属综合基础题. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据诱导公式得，再根据正切型函数的定义域列出不等式，解出即可. 【详解】， 所以， 所以. 故其定义域为：. 故选：D. 5. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当时得出答案． 【详解】设，， 由，得为奇函数，故B,D错误； 由，故A正确，C错误， 故选：A． 6. 设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则存在实数，使得. B. 若，则. C. 若，则，反向. D. 若，则，一定同向 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加（减）法的意义判断A、B、C，根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A：当时，由向量加法的意义知，方向相反，且， 则存在实数，使得，故A错误； 对于B：当时，则以，为邻边的平行四边形为矩形， 且和是这个矩形两条对角线长，则，故B正确； 对于C：当时，由向量加法的意义知，方向相同，故C错误； 对于D：当时，则与同向或反向，故D错误. 故选：B. 7. 若，，，则a，b，c为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，即可判断的范围，与b可判断大小，根据诱导公式化简求得c的值，即可判断a，b，c的大小，即得答案. 【详解】由于，故， 而，故， 又，即， 故选：B 8. 在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值. 【详解】由，， 为等腰直角三角形， 以为原点，，为轴和轴建立直角坐标系， 如图所示， ，，， 是的中点，， 是线段上任意一点， 可设，， ，，， ， ， 故当时，最小值为， 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D.利用三角函数的定义求解判断. 【详解】解：A选项，是第二象限角，A错误； B选项，扇形的半径为，面积为，B正确； C选项，，，C错误． D选项，，D正确； 故选：BD． 10. 已知，，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若A是BD中点，则B，C两点重合 D. 若点B，C，D共线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项， ，A选项正确. B选项，若，则，故可取，B选项错误. C选项，若是的中点，则，即， 所以，所以两点重合，C选项正确. D选项，由于三点共线，所以， ， ， 则或，所以D选项错误. 故选：AC 11. 在中，为中点，且，则（ ） A. B. C. ∥ D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可 【详解】因为，则三点共线，且， 又因为为中线，所以点为的重心， 连接并延长交于，则为的中点， 所以， 所以∥ 故选：BC． 12. 已知函数，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域 C. 函数的图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，从而可求出其最小正周期，对于B，由可求出，从而可求出，由可求出定义域，对于C，由可求出对称中心的横坐标，对于D，由可求出其单调增区间. 【详解】由已知，函数满足，所以函数的最小正周期为，所以选项A错误； 而，因为，所以，此时函数， 因为，所以， 又，所以，故， 由，得， 所以的定义域为，所以选项B错误； 由，， 故的图象的对称中心为，所以选项C正确； 由，解得， 故单调递增区间为，所以选项D正确， 故选：CD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算可得结果. 【详解】根据题意可得向量在上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可知，据此即可得解. 【详解】因为向量与共线，且，为非零不共线向量， 所以， 故，解得， 故答案为： 15. 已知为第一象限角，为第二象限角，且，，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由及两角差的余弦公式求出，即可求出，再求出，最后由两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为为第一象限角，， 则， 所以 ， 所以，所以， 由于为第二象限角，，则， 所以， 所以. 故答案为： 16. 若函数有个零点，则正数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，函数有三个零点，利用正弦函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示， 所以时，函数只有一个零点， 又由函数有个零点， 所以时，函数有三个零点， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，满足，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可 （1）根据得到，计算出，再根据 即可 【小问1详解】 ，所以， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以 ， 令 所以， 因为，所以 故与的夹角为． 18. 已知函数. （1）利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 （2）解不等式. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据直接计算可完成表格，由此可作出函数的图象； （2）结合函数图象解三角不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意，列表如下： 0 画出在区间上的图象如图： 【小问2详解】 不等式，即，所以， 所以，即， 故的解集为. 19. 如图为函数的部分图象． （1）求函数解析式和单调递增区间； （2）若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间 上的最大值和最小值. 【答案】（1），， （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）由图象，先求，再求出，然后代入最值点求即可得的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可； （2）由题意图象变换得到，求出整体角的范围，转化为求正弦函数的最值即可. 【小问1详解】 由图象知，， 又则， 则，将代入得，， 得，解得， 由，得当时，， 所以. 令，， 得，， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图像向右平移个单位得 ， 然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像. 已知，则，则. 故当时，最小值为； 当时，的最大值为. 20. 已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值； （2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围； （3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解. 【小问1详解】 向量，， . 【小问2详解】 ， ， ，，， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为，解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 21. 已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线． （1）求的最小值． （2）若点满足，证明：． 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值. （2）根据向量的线性运算可得，故可证. 【小问1详解】 由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. 小问2详解】 由，则，即， ， 所以，又三点不共线，所以． 22. 某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. （1）求扇形空地AOB的半径和圆心角； （2）取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】（1）扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； （2）（i），；（ii），. 【解析】 【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得. （2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值. 【小问1详解】 设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$