精品解析：海南省2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

海南省2020-2021学年高二下学期期末数学考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记是虚数单位，复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 已知，，，则等于（ ） A. 12 B. 28 C. D. 4. 要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件：从中任取1个函数是奇函数；事件：从中任取1个函数是偶函数，事件的对立事件分别为，则（ ） A. B. C. D 8. 已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A 24 B. 或 C. 45 D. 0或45 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分） 9. 函数，下列说法正确的是（    ） A. 是周期函数 B. 最大值是1 C. 图像至少有一条对称轴 D. 图像至少有一个对称中心 10. 下列各说法中正确的是（ ）． A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为1 C. 的最小值为2 D. 不等式的解集是 11. 一个袋子有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出2个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为；试验二：从中随机地无放回摸出2个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为；则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计20分） 12. 在中，内角，，所对边分别为，，，且．若，的面积为，则b+c=______ 13. 在的二项展开式中，的系数为__________． 14. 已知椭圆：，是椭圆上一点（点不在坐标轴上），椭圆的长轴为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则____________． 三、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明） 15. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 16. 已知函数，，且．求： （1）a的值及曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最大值． 17. 如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且，是棱上一点. （1）求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求证：为的中点. （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 18. 设，，分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为． （1）求椭圆焦距； （2）如果，求椭圆的方程． 19. 习近平总书记指出：在扶贫的路上，不能落下一个贫困家庭，丢下一个贫困群众，根据相关统计，年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，年年全国农村贫困发生率的散点图如下： 注：年份代码分别对应年份年年． （1）求关于的回归直线方程（系数精确到）： （2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入（单位：万元）满足正态分布，若该地区约有的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元? 参考数据与公式：，． 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为、. 若随机变量服从正态分布，则，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南省2020-2021学年高二下学期期末数学考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 记是虚数单位，复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 3. 已知，，，则等于（ ） A. 12 B. 28 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求出，从而得到. 【详解】 ， 故. 故选：C 4. 要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先由频率之和为解得值，计算可得之间的学生人数，根据抽样比可求得. 【详解】由题得，所以． 在之间的学生：人， 现再从这人中用分层抽样的方法抽取人， 应从间抽取人数，故. 故选：C． 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D. 6. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定三棱锥外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥的高，利用体积公式，即可求得答案. 【详解】如图，在正四面体中，假设底面，则点为外心. 在上取一点，满足，则， 则为三棱锥的外接球球心， 当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小， 此时点与点重合.作，垂足为，， 为三棱锥的高. 由正四面体的棱长为，知，， ，. 设，则，故，. 由，得， 解得.， . 故选：A. 7. 有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件：从中任取1个函数是奇函数；事件：从中任取1个函数是偶函数，事件的对立事件分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可. 【详解】对于①：，则，解得， 所以，故为偶函数且为奇函数； 对于②为奇函数；对于③为奇函数；对于④为偶函数； 对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数； 对于⑥为非奇非偶函数； 则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥； 事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥； 事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥； 所以，，，， ，， 所以，，故A、C错误； 又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以， 则，故B错误； 又，，所以，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A. 24 B. 或 C. 45 D. 0或45 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与曲线相切的切点为并求切线方程，将点代入切线方程，从而解方程即可得到结果. 【详解】由，得， 设直线与曲线相切的切点为， 则在处的切线斜率为， 所以，切线方程为， 将点的坐标代入并整理，得， 即，解得或， 所以直线的斜率为24或. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分） 9. 函数，下列说法正确的是（    ） A. 是周期函数 B. 最大值是1 C. 图像至少有一条对称轴 D. 图像至少有一个对称中心 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期函数的定义，判断A，根据三角函数的性质，即可判断B，根据对称函数的定义，即可判断CD. 【详解】A.若函数是周期函数，则 ， 那么，与有关，不是常数，故不是周期函数，故A错误； B.设，，则的最大值为1，故B正确； C.若是函数的对称轴，则， 即， 则， 所以，，， 若与无关，则，所以函数的对称轴是，故C正确； D.若是函数的对称中心，则， 即， 即，显然，随着的变化而变化，所以函数没有对称中心，故D错误. 故选：BC 10. 下列各说法中正确的是（ ）． A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为1 C. 的最小值为2 D. 不等式的解集是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充要条件的定义判断A正确，利用基本不等式求最值的知识验证BC，解不等式得到D正确.. 【详解】对选项A：，均表示x，y同正同负， “”是“”的充要条件，A正确； 对选项B：，当且仅当时等号成立，B正确； 对选项C：，当且仅当时等号成立，此时x无解，C错误； 对选项D：不等式的解集是或，D错误； 故选：AB. 11. 一个袋子有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出2个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为；试验二：从中随机地无放回摸出2个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为；则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件得到，由二项分布的均值和方差公式可求出，求出的可能取值，及其对应的概率，由方差和期望公式可求出，分别比较，和，可得答案. 【详解】由题意可得， 则， 由题意可取， 则， ， ， 所以， ， 所以，. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计20分） 12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．若，的面积为，则b+c=______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件结合正弦定理可得，从而可得，再由三角形的面积公式可得，由余弦定理可得答案. 【详解】由．根据正弦定理可得， 又在中有： 即. 因为,所以，则即，所以， ，所以， 因为，由余弦定理可得，，故． 故答案为：4 13. 在的二项展开式中，的系数为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】 根据二项式展开式通项公式结合条件即得. 【详解】由，得二项式展开式通项公式， 由得， 的系数为 故答案为：40． 14. 已知椭圆：，是椭圆上一点（点不在坐标轴上），椭圆的长轴为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设的坐标为，可得，利用斜率公式即可求得答案 【详解】假设的坐标为，，所以，即， 由椭圆：可得，， 所以， 故答案为： 三、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明） 15. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得，即可求得； （2）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由，结合正弦定理，得， 所以，又因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理，得 即（当且仅当等号成立） 所以， 即当时，三角形面积的最大值为. 16. 已知函数，，且．求： （1）a的值及曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解. 小问1详解】 由题意，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，且， 所以在上单调递增， 所以，即函数在区间上的最大值为. 17. 如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且，是棱上一点. （1）求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求证：为的中点. （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在上取一点，使得，即可证明四边形与四边形都是平行四边形，从而可证四边形是平行四边形，即可证明； （2）先由面面平行的性质可得，然后在与中可求得结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及面面角的向量公式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 证明：在上取一点，使得，连接， 则， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 同理，四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以， 在中，， 在中，，所以， 即为的中点. 【小问3详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则，设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 设，，分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为． （1）求椭圆的焦距； （2）如果，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设直线的方程为，再利用点到直线的距离公式即可求解. （2）由（1）可得，联立方程消，再由得出两交点纵坐标的关系，再结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线的方程为， 到直线的距离为， ，解得， 椭圆的焦距. 小问2详解】 由（1）可得，设，， 联立，整理可得 ， 解得①，②， 因为，即，所以③， 由①③得，④， 将④代入②得，整理得⑤， 因为，所以，代入⑤得， 因为，所以， 故椭圆的方程为. 19. 习近平总书记指出：在扶贫的路上，不能落下一个贫困家庭，丢下一个贫困群众，根据相关统计，年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，年年全国农村贫困发生率的散点图如下： 注：年份代码分别对应年份年年． （1）求关于回归直线方程（系数精确到）： （2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入（单位：万元）满足正态分布，若该地区约有的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元? 参考数据与公式：，． 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为、. 若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据图中数据计算得出、，然后根据、求出、，最后根据即可得出结果. （2）本题首先可根据得出，然后根据年纯收入满足正态分布得出，最后根据即可得出结果. 【详解】（1）， ， ， ， 故关于的回归直线方程. （2）因为， 所以， 因为某贫困地区的农民人均年纯收入满足正态分布， 所以，，，， 故该地区最低人均年纯收入标准大约为万元. 【点睛】关键点点睛：本题考查回归直线方程的求法以及正态分布的应用，能否根据题中数据求出、是求出回归直线方程的关键，考查计算能力，体现了学生的数据整理能力，是中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$