精品解析：山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月阶段性检测数学试题

高二年级6月份阶段性检测 数学试题 第Ⅰ卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若展开式中常数项是10，则m＝（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 6. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在是增函数 B. 是偶函数，且在是增函数 C. 是奇函数，且在是减函数 D. 是偶函数，且在是减函数 7. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ） A 288 B. 336 C. 576 D. 1680 8. 已知实数，，不全为0，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 10. 已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 为极大值点 D. 11. 对于1，2，…，，全部排列，定义Euler数（其中，）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有处，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中横线上. 12. 在的展开式中，含的系数为______. 13. 根据下面的数据： 1 2 3 4 31.6 52.5 72 91.9 求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为______. 14. 过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为． （1）预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． （2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：． 相关系数． 16. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求和； （2）求； （3）求． 17. 已知随机变量的分布列为： 5 6 7 8 9 0.1 0.2 0.3 （1）若，求、的值； （2）记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值. 18. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. （1）求函数图象对称中心； （2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 19. 已知（为自然对数的底数）在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若，时，任意成立，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级6月份阶段性检测 数学试题 第Ⅰ卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 2. 有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】设事件表示从第箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品， 则 ， 即取出的零件是次品的概率为. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D 4. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选:A. 5. 若的展开式中常数项是10，则m＝（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解. 【详解】解：， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是10， 所以，解得， 故选：D 6. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在是增函数 B. 是偶函数，且在是增函数 C. 是奇函数，且在是减函数 D. 是偶函数，且在是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数. 【详解】由得：或，的定义域为； ，是奇函数； ， 在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可知：在上是增函数. 故选：A. 7. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ） A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种, 第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种， 根据分步计数原理,共有种, 故选：B 8. 已知实数，，不全为0，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对式子变形后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意实数，，不全为0， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误； 由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C; 由方程的交点，可判断选项D的正误. 【详解】由题意，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，取得极大值； 当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确； 在点处的切线斜率， 所以切线方程为：，即，故选项C正确； 当时，, 当时，取得最大值； 当时，, 所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点， 故选项D错误. 故选：BC 10. 已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 为极大值点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即， 又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确； 因为且，令，可得，所以B正确； 由时，，可得函数单调递增， 因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确； 由函数关于中心对称，可得，所以， 因为且，可得， 所以，所以函数是以项为周期的周期函数， 可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. 11. 对于1，2，…，，的全部排列，定义Euler数（其中，）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有处，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】按的定义计算，判断A，B；根据的定义，理解其含义判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，将全部排列，恰有3次升高的排列为， 故，A错误； 对于B，将全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑： 1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高； 2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高； 3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高； 4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高； 故，B正确； 对于C，将全部排列，共有处相邻两数满足或， 故如果其中有k处升高，则其余处必为， 将有k处升高的排列倒序排列，则得到的新排列显然有处升高，且两者排列的个数一样， 反之亦然， 所以有k处升高的排列个数等于有处升高的排列个数， 故，C正确； 对于D，不妨取，则， 而，，则，即， 故，D错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题是给出新的定义，要求按照其定义解决问题，关键是要理解新定义的含义，并按照其含义去解答. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中横线上. 12. 在的展开式中，含的系数为______. 【答案】360 【解析】 【分析】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含项的系数即可． 【详解】把的展开式看成是5个因式的乘积形式， 展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到： 第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法； 第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法； 第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法； 根据分步相乘原理，得；含项的系数是 故答案为：. 13. 根据下面的数据： 1 2 3 4 31.6 52.5 72 91.9 求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为______. 【答案】0.105## 【解析】 【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答案. 【详解】根据，分别将代入求得分别为：， 则4个残差为，残差的平均数为0， 故残差的方差为， 故答案为：0.105 14. 过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围. 【详解】当时， ，， 当时， ，，且， 设两切点横坐标分别为，，且， 因切线相互垂直，故，故， 故两切点分别为，， 切线方程分别为：，， 即，， 由题意为两切线的交点， 故，， 所以， 得 由得，即， 故 因，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为． （1）预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． （2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：． 相关系数． 【答案】（1）B指标数的估计值为103 （2）0.88，y与x具有较强线性相关关系 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可； （2）由求得，再根据相关系数公式即可求解，从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系. 【小问1详解】 当时，， 当A指标数为52时，B指标数的估计值为103. 【小问2详解】 因为，所以， 所以相关系数， 因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系. 16. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求和； （2）求； （3）求． 【答案】（1）， （2）729 （3）2916 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和求出，再由通项公式求出； （2）令赋值后即可求各项系数之和； （3）两边求导后令即可得解. 【小问1详解】 二项式系数之和，则， 展开式的通项， 其中为前面的系数，令，则． 【小问2详解】 令，则． 【小问3详解】 对二项式两边求导，． 令，则， 故． 17. 已知随机变量的分布列为： 5 6 7 8 9 0.1 0.2 0.3 （1）若，求、的值； （2）记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值. 【答案】（1），； （2）,. 【解析】 【分析】（1）由随机变量分布列的性质和联立方程，解出即可； （2）由事件：,可得，又事件：为偶数,得，再根据条件概率可求得的值. 【小问1详解】 由随机变量分布列的性质, 有, 得，即, 又 ， 解得,. 【小问2详解】 由事件：, 得， 又事件：为偶数,得， 所以,解得. 由(1)知,所以. 所以,. 18. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，列出方程组，即可求解； （2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解； （3）根据题意，转化为函数的值域为值域的子集，由（2）求得的值域为，转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：设函数的图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 解：函数在上单调递增； 证明如下： 任取且， 则， 因为且，可得且， 所以，即， 所以函数上单调递增. 【小问3详解】 解：由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，，解得， 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心，故在递增，在单调递减， 故此时， 欲使， 只需且， 解不等式，可得，又因为，此时； 当时，即时，在递减，在上亦递减， 由对称性知在上递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得：实数的取值范围是. 19. 已知（为自然对数的底数）在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若，时，任意成立，求最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）由任意成立，可构造函数，利用导数判断其单调性，从而将恒成立问题转化为函数最值问题,然后结合解不等式，分类讨论，以及结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由可得，由题意知， ，则， 故. 【小问2详解】 令， 则，则为R上单调递增函数， 当时，，故可以取负无穷小， 当时，，故可以取正无穷大， 故存在唯一零点，即，即①； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 结合①可得， 即，解得或， 当时，， 可得； 当时，， 即，该式不可能成立； 故，由于，，故， 故，当且仅当时等号成立， 即最大值为. 【点睛】难点点睛：解决不等式恒成立问题，综合性较强，难度较大，解答时要构造函数将恒成立问题转化为函数最值问题解决，要能灵活应用导数判断函数单调性，再结合单调性进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$