精品解析：广东省广州市广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

广东实验中学越秀学校2023—2024学年（下）期中考试题 高二年级数学 命题：陈琼 审定：阎焕民 校对：陈琼 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选:D 2. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 3. 已知离散型随机变量X的分布列，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为1，可求得，代入计算即可． 【详解】由题意得随机变量X的分布列如表所示. X 1 P a 由分布列的性质得，，解得. ∵，∴或， ∴. 故选C. 4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以，即， 所以，解得或（舍去）， 所以． 故选：D 5. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可. 【详解】根据题意进行分类： 第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）； 第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）. 所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法． 故选：D. 6. 的展开式中常数项为（ ） A. 120 B. -120 C. 180 D. -180 【答案】D 【解析】 【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果. 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，令，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出函数值的变化，即可求出结果. 【详解】令，得到，令，则， 由得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，，且时，， 所以，当函数恰有2个零点时，， 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围. 【详解】由数列的前n项和为且，得， 于是， 两式相减得：， 因此，，显然数列是递增数列， 当为奇数时，，由恒成立，得，则， 当为偶数时，，由恒成立，得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ） A. 数列的前60项和 B. 数列的前60项和 C. 数列的通项公式是 D. 数列的通项公式是 【答案】BC 【解析】 【分析】先由等方差数列的定义得到数列是方公差为2的等方差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和，再判断各个选项. 【详解】根据题意，因为是方公差为2的等方差数列， ，所以是公差为2的等差数列， 所以，解得， 又，所以，所以，故C正确，D错误； 由上可知，所以 所以． 所以，故A错误，B正确； 故选：BC． 11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（    ） A. 年产量为9000件 B. 年产量为10000件 C. 年利润最大值为38万元 D. 年利润最大值为38.6万元 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，分与分别得到年利润的函数关系，结合导数的计算，分别求得最大值，即可得到结果. 【详解】设年利润为W. 当时，， 所以，令，得（舍负）， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38.6； 当时，，. 令，得（舍负）， 时，，函数递增； 时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38. 因为， 所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元. 故选：AD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列满足，且对任意，有，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求得. 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则______． 【答案】 【解析】 【分析】写出X的分布，求出其期望和方差即可. 【详解】易知X的所有可能取值为1、2、3、4、5、6，且每种取值的概率都为， 所以， ， 所以， 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用换元即可求解. 【详解】令，， 则由题意可得在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 令，则，即的解集为， 所以，解得， 综上， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可； （2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，因为函数在点处的切线与直线垂直， 故，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为. 16. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， ①求的值； ②若第项是有理项，求的取值集合； ③求系数最大的项． 【答案】（1）；（2）①；②；③. 【解析】 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）①由二项式系数的性质可得；②利用通项中x的指数为整数可解；③先求系数绝对值最大项，然后验证即可求解. 【详解】（1）令得， 再令得， 所以. （2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，展开式共有9项，所以. ②第项为， 若第项为有理项，则为整数，则， 所以，第项为有理项，所以的取值集合为. ③因为第项的系数为， 所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则， 整理得，解得, 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 【答案】（1） （2）前6项为2，，，，，；； 【解析】 【分析】（1）与的关系法求数列通项公式； （2）由题写出前6项，然后分成两个子数列分别求和即可. 【小问1详解】 当时，有，解得； 当时，有，联立条件， 得， 即，即； 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，． 【小问2详解】 删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为： ，，，，，，… 数列前6项为2，，，，． ． 注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ． 18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望； （2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 【答案】（1） 的分布列为 0 1 2 ， （2） 若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下： ． 若第一次借阅“期刊杂志”，则． 若第一次借阅“文献书籍”，则． 因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出分布列和数学期望； （2）先求出，然后根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小即可解答. 【小问1详解】 设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，， 则. 依题意，随机变量的可能取值为0，1，2. ， ， . 随机变量的分布列为 0 1 2 所以. 【小问2详解】 略 19. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）设（其中），讨论函数的单调性； （3）若对，都有，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得，再由在处取得极值列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分，，以及讨论，即可得到结果； （3）根据题意，将原不等式化为即，当时，原不等式等价于，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【小问1详解】 ， ， 又函数在处取得极值，，得， 经检验符合题意， ； 【小问2详解】 根据题意得 ， ①当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减； ②当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，，所以在上单调递增，无单调减区间； ④当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由题意，原不等式 ， ， 即， 当时，对任意，不等式恒成立， 当时，原不等式等价于， 设，则， 设，因为， 所以存在唯一，使得，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故． ， ， ， ， ，即， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将不等式等价为，再设，再利用导数求出其最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学越秀学校2023—2024学年（下）期中考试题 高二年级数学 命题：陈琼 审定：阎焕民 校对：陈琼 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 3. 已知离散型随机变量X的分布列，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 6. 的展开式中常数项为（ ） A. 120 B. -120 C. 180 D. -180 7. 若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ） A. 数列的前60项和 B. 数列的前60项和 C. 数列的通项公式是 D. 数列的通项公式是 11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（    ） A. 年产量为9000件 B. 年产量为10000件 C. 年利润最大值为38万元 D. 年利润最大值为38.6万元 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列满足，且对任意，有，则______. 13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则______． 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 16. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， ①求的值； ②若第项是有理项，求的取值集合； ③求系数最大的项． 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望； （2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）设（其中），讨论函数的单调性； （3）若对，都有，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $