精品解析：甘肃省武威第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

武威十八中2023-2024学年度第二学期期中考试卷 高一数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z，再利用共轭复数及乘法计算作答. 【详解】因，则，， 所以 故选：C 2. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数． 【详解】根据分层抽样原理知，，， 所以抽取男生40人，女生32人． 故选：A. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 4. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知： . 故选：B. 5. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求角C，然后根据1周角等于6000密位进行转换即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 由题知，密位，所以密位， 依题意，1000密位表示为. 故选：C 6. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 7. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用和差化积公式将化为后，再用诱导公式将化为即可. 【详解】原式 . 故选：A. 8. 已知是不共线的向量，且，若三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合三点共线，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 可得， 因为三点共线，可得，即， 所以，解得. 故选：C. 二、多选题（每题5分，共20分，全选对得5分，少选得2分，选错不得分） 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 是方程的一个解 【答案】AD 【解析】 【分析】先通过复数的乘方和除法化简得到复数z，然后逐项判断. 【详解】因，所以， 则，故A正确； 在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误； ，故C错误； 由，得，则，故D正确； 故选：AD 10. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系计算，和验证ABD选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项. 【详解】，则， ，，故A错误，D正确； ，故B选项正确； ，故C选项正确； 故选：BCD. 11. 给出下列命题，正确的命题是（   ） A. 向量长度与向量的长度相等； B. 若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C. 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D. 若向量与同向，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义及性质进行判断. 【详解】A选项：向量与向量互为相反向量，相反向量的方向相反大小相等，所以，所以A正确； B选项：若向量为零向量，则也满足向量与向量平行，但其方向并不是相同或相反，所以B错误； C选项：相等向量的方向相同大小相等，所以两个有共同起点并且相等的向量，其终点一定相同，所以C正确； D选项：向量的模是标量可以比较大小，向量不可以比较大小，所以D错误. 故选：AC 12. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型三角函数的最值、周期性、对称性逐项判断即可得结论. 【详解】因为， 所以的最大值为，故A正确； 最小正周期是，故B错误； 将代入，可得，则其图象关于直线对称，故C正确； 当时，，所以的图象关于点对称．故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每空5分，共20分） 13. i表示虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的周期性，化简求值即可. 【详解】， ， 故答案为： 14. 若，则的值______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，则， 即， 所以 所以. 故答案： 15. 已知，是第四象限角，则的值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次求得，，再由两角和的正弦公式直接计算即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为是第四象限角，所以， 所以. 故答案为：. 16. 已知向量，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件可得，代入化简即可. 【详解】已知向量，，若，则有， ∴. 故答案为：. 四、解答题（每题10分，共40分） 17. 如图，北京年冬奥会会微以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态创作而成.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折的位置通常为等特殊角度，为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制成，如图，测得，，，，若点恰好在边上. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）根据同角三角函数关系和正弦定理直接求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得：. 【小问2详解】 由（1）得：， 在中，由正弦定理得：. 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示求出x，然后根据坐标运算和向量模的坐标表示可得； （2）利用向量的坐标运算和向量平行的坐标表示求出x，然后根据向量的夹角公式求解可得. 【小问1详解】 ，由可得， 即，解得， 所以，故. 【小问2详解】 依题意， 又，所以， 解得，则，，， 所以，故与的夹角的余弦值为. 19. 已知是三边长且，的面积. （1）求角； （2）求周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到，求出； （2）根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即，解得， 故，又，故， 所以， 故，即， 故的周长为. 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在闭区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）逆用二倍角公式进行降次，再用辅助角公式将函数化成正弦型函数即得； （2）由求得的范围，结合的图象在此区间上的单调性即得函数最大最小值. 【小问1详解】 ． ∴的最小正周期． 【小问2详解】 ∵，∴，不妨设因在区间上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取最小值，此时； 又因，故时函数取最大值，此时. 故函数在闭区间上的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武威十八中2023-2024学年度第二学期期中考试卷 高一数学 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知i是虚数单位，是复数z共轭复数，若，则为（ ） A. B. C. D. 2. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为靠近点三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 7. 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是不共线的向量，且，若三点共线，则（ ） A B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题（每题5分，共20分，全选对得5分，少选得2分，选错不得分） 9. 已知复数满足，则（ ） A B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 是方程的一个解 10. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 给出下列命题，正确的命题是（   ） A. 向量的长度与向量的长度相等； B. 若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C. 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D. 若向量与同向，且，则 12. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 第II卷（非选择题） 三、填空题（每空5分，共20分） 13. i表示虚数单位，则__________． 14. 若，则的值______. 15. 已知，是第四象限角，则的值为__________ 16. 已知向量，若，则的值为________． 四、解答题（每题10分，共40分） 17. 如图，北京年冬奥会会微以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态创作而成.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折的位置通常为等特殊角度，为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制成，如图，测得，，，，若点恰好在边上. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，，求与夹角的余弦值. 19. 已知是三边长且，的面积. （1）求角； （2）求的周长. 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在闭区间上的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$