浙江省衢州市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量检测数学试题

衢州市2024年6月高一年级教学质量检测试卷 数 学 命题：邹仕超 刘志昌 柳爱萍 审题：陈 旭 考生须知： 1. 全卷分试卷和答题卷. 考试结束后, 将答题卷上交. 2. 试卷共 4 页, 有 4 大题, 19 小题. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 3. 请将答案做在答题卷的相应位置上, 写在试卷上无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目的要求. 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为 A. B. C. D. 3. “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将 10 个数据按照从小到大的顺序排列如下: ，若该组数据的 分 位数为 22，则 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 已知向量 ，且 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为 A. B. C. D. 6. 如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 为圆周上不与点 重合的点， 于 于 ，则 下列结论不正确的是 A. 平面 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 平面 7. 已知定义在 上的偶函数 满足: 当 时， ，且 对一切 恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 8. 美国数学家 Jack Kiefer 于 1953 年提出 0.618 优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在 黄金分割点上来寻找最优选择. 我国著名数学家华罗庚于 20 世纪 60、70 年代对其进行简化、补 充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域. 黄金分割比，现给出三倍角公式 ，则 与 的关系式正确的为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 且 ，则下列结论正确的是 A. B. 的取值范围为 C. 的最大值为 4 D. 若 为 的中点,则 的取值范围为 10. 一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称，关于中心对称，且 ，求的值”时，思路如下: 令 （，），由对称轴和对称中心可求得，再由对称轴求，对称中心求，根据 以上信息可得 A. B. C. D. 11. 如图所示，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， , 点 为侧棱 上的动点， 为线段 中点. 则下列说法正确的是 A. 存在点 ，使得 平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥 的外接球的体积为 D. 平面 与平面 的夹角正弦值的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量 ，若 ，则 . 13. 已知 ，且 ，则 的最小值为 . 14. 已知定义在 上的函数 为奇函数，且函数 在区间 上单调递增， 则 的解集为 . 四、解答题： 本题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 . （Ⅰ）求函数 的最小正周期和对称中心; （Ⅱ） 求函数 在 上的值域. 16. （本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形， 底面 , 是 线段 的中点 （Ⅰ）求证: 平面 ; （Ⅱ）求三棱锥 的体积; （Ⅲ）求直线 与底面 所成角的正切值. 17.（本小题满分15分） 2023 年起我国旅游按下重启键, 寒冬有尽, 春日可期, 先后出现了“淄博烧烤”, “尔滨与小土豆”, “天水麻辣烫”等现象级爆款, 之后各地文旅各出奇招, 衢州文旅也在各大平 台发布了衢州的宣传片: 孔子, 金庸, 搁袋饼纷纷出场. 现为进一步发展衢州文旅, 提升衢州经济, 在 5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查, 从饮食、住宿, 交通, 服务 等方面调查旅客满意度, 满意度采用百分制, 统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中 . （Ⅰ）求图中 的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); （Ⅱ） 若有超过 的人满意度在 75 分及以上,则认为该月文旅成绩合格. 衢州市 5 月份文旅成 绩合格了吗? （Ⅲ）衢州文旅 6 月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查. 现知 6 月 1 日-6 月 7 日调查的 4 万份数据中其满意度的平均值为 80, 方差为 75; 6 月 8 日-6 月 14 日调查的 6 万份数据中其 满意度的平均值为 90, 方差为 70 . 由这些数据计算 6 月 1 日一 6 月 14 日的 总样本的平均 数与方差. 18. （本小题满分 17 分） 如图,三棱台 中, 是边长为 2 的等边三角形,四边形 是等 腰梯形,且 为 的中点. （Ⅰ）证明: ; （Ⅱ）若过 三点的平面截三棱台 所得的截面面积为 . 当二面角 为锐二面角时,求二面角 的正弦值. 19. （本小题满分 17 分） 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念,设 定义在 上的函 数,若对 于 中任意两点 ,都有 ,则称 是 “ -利普希兹条件函数”. （Ⅰ）判断函数 在 上是否为“1-利普希兹条件函数”; （Ⅱ）若函数 是 “ -利普希兹条件函数”，求 的最小值; （Ⅲ）设 ,若存在 ,使 是“2024-利普希兹条件函数”, 且关于的方程 在 上有两个不相等实根, 求 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学试卷答案 第 1页 共 4页 衢州市 2024 年 6 月高一年级教学质量检测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A C B D D B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9 10 11 AC ABD ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 2 1 13. 3 8 14.{x|x< 2 1 } 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解： ) 6 2sin(2)2cos 2 12sin 2 3(2)(  xxxxf ……………………2分 (1) 由 T= || 2   = ，得函数 f(x)的最小正周期为 ……………………4分 令  kx  6 2 得  kkx ， 212  Z……………………6分 ∴函数 f(x)的对称中心为 )0 212 ( ， k ……………………7分 (2) ⸪ ] 2 ,0[ x ∴ ] 6 7, 6 [ 6 2  x ……………………9分 ∴ ]1, 2 1[) 6 2sin(  x ……………………11分 ∴函数 f(x)的值域为[−1,2]……………………13分 16．（1）连接BD交 AC于O，连接MO， 底面 ABCD是正方形， O 为DB中点，又M 是线段 PD的中点， MO ∥ AB……………………3分 又MO 平面 AMC， PB 平面 AMC， PB //平面 AMC……………………5分 （2） 1 1 3 6P ACM C PAM PAM V V S CD      ……………………9分 （3）取 AD中点N ，连接 ,MN BN ,M N 分别为 ,PD AD中点， MN ∥PA，又 PA 底面 ABCD， MN 底面 ABCD， MBN 为直线 BM与底面 ABCD所成角的平面角……….12分 1 2 PAMN   ， 2 2 5 2 BN AB AN   1 2 5tan 55 2 MNMBN BN      N O 高一数学试卷答案 第 2页 共 4页 直线 BM与底面 ABCD所成角的正切值为 2 5 5 ……………………15分 17.解：(1)由题意知 a+4a+0.05=0.1∴a=0.01……………………2分 估计满意度得分的平均值 x =65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5……………………4分 (2)超过 60%的人满意度在 75分及以上，即为 40%分位数大于等于 75……………………5分 又由满意度在[60，70)的频率为 0.15<0.4，满意度在[60，80)的频率为 0.5>0.4 知 40%分位数位于[70，80)内……………………7分 由 70+ 10 15.05.0 15.04.0    = 7 540 ……………………9分 可以估计 40%分位数为 75 7 540  ∴有超过 60%的人满意度在 75分及以上，衢州市 5月份文旅成绩合格了……………11分 (3)把 6月 1日—6月 7日的样本记为 4000021 ,,, xxx  ，其平均数记为 x，方差记为 2 xs ，把 6月 8日—6月 14日的样 本记为 6000021 ,,, yyy  ，其平均数记为 y，方差记为 2 ys ， 则总样本平均数 90 10 680 10 4 10 6 10 4  yxz =86……………………13分 由方差的定义，总样本方差 ])()([ 100000 1 60000 1 2 40000 1 22    i i i i zyzxs = ]})([6])([4{ 10 1 2222 zyszxs yx  = ]})8690(70[6])8680(75[4{ 10 1 22  =96……………………15分 ∴总样本平均值为 86，总样本方差为 96 18.解：（1）如图，取 AC中点O，连接 ,OB OD， △ABC是等边三角形，点O是 AC的中点， AC OB  ……………………2分 又四边形 1 1ACC A 是等腰梯形，且D为 1 1AC 的中点， AC OD  ……………………4分 又OB OD O , ,OB OD平面 BOD , AC 平面 BOD，又 BD 平面 BOD， AC BD  ……………………6分 （2）解法一：延长 1 1 1, ,AA BB CC 交于点P，过点 P作PM BO ， PN BC ，垂足为 ,M N ,连MN 由（1）易知平面 PBO 平面 ABC， PM BO 平面 PBO平面 ABC = BO， PM 平面 PBO PM 平面 ABC， PM BC  又 PN BC ，且 PM PN P  BC 平面 PMN BC MN  ，又 PN BC PNM 为二面角 1B BC A  的平面角………10分 则易知过 1, ,B B D 三点的截面为梯形 1BB DO ， 设梯形 1BB DO 的高为 h， 则   1 1 1 3 3 9 3 2 4 16BB DO S B D BO h h    3 4 h  , 3 2 PM  ………………………12分 O 高一数学试卷答案 第 3页 共 4页 又四边形 1 1ACC A 是等腰梯形，且 1 1 1 1, 2AA AC AC   ， PAC 为正三角形 3PO BO   ， 3sin 2 PMPOM PO    ， 3 POM   ， PBO 为正三角形 M 为BO中点， 3sin 6 4 MN BM     ， 2 2 39 4 PN PM MN    2 39sin 13 PMPNM PN     ，………………16分 即二面角 1B BC A  的正弦值为 2 39 13 ………………17分 （其他方法酌情给分） （2）解法二：过 1,D B 分别作 1 1, ,DE BO B M BO B N BC   ，垂足为 , ,E M N ， 连接MN . 由（1）易知平面 1DB BO 平面 ABC， 1B M BO 平面 1DB BO平面 ABC = BO， 1B M 平面 PBO 1B M 平面 ABC， 1B M BC  又 1B N BC ，且 1 1 1B M B N B  BC 平面 1B MN BC MN  ，又 1B N BC 1B NM 为二面角 1B BC A  的平面角………10分 过 1, ,B B D三点的截面为梯形 1BB DO ， 则   1 1 1 3 3 9 3 2 4 16BB DO S B D BO DE DE      ， 1 3 4 DE B M   ……………………12分 2 2 3 4 OE DO DE    ， 3 2 EM  ， 3 4 BM  3sin 6 8 MN BM     ， 2 21 1 39 8 B N B M MN    1 1 1 2 39sin 13 BMB NM B N     ，………………16分 即二面角 1B BC A  的正弦值为 2 39 13 ………………17分 （其他方法酌情给分） 19.（1）由题知，函数 1 y x ，定义域为 R， 所以    1 2 1 2 1 2 1 2 0       f x f x x x x x x x ， 所以函数 1 y x 在 R 上是“1-利普希兹条件函数”………………………………1分 函数 2y x= ，所以     2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)         f x f x x x x x x x x x x x ， 当 1 2 1x x 时，则    1 2 1 2 0   f x f x x x ， 函数 2y x= 在 R 上不是“1-利普希兹条件函数”………………………………2分 （2）若函数 2 (1 2)   y x x x 是“ k 利普希兹条件函数”， 则对于定义域 1,2 上任意两个 1 2 1 2, ( )x x x x ，均有 1 2 1 2| ( ) ( ) | | |f x f x k x x   成立， 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( )(1 ) ( ) ( ) 21          x x f x f x x x k x x x x x x 恒成立………………………………4分 因为 1 2 21 12，  x x ，所以 1 21 4 x x ，得 1 2 21 1  x x ， 高一数学试卷答案 第 4页 共 4页 所以 k的最小值为 1………………………………6分 （3）解：因为函数 ( ) ( 1)g x tx n t   是“ 2024 利普希兹条件函数”， 所以 1 2 1 2( ) ( ) 2024g x g x x x   在 R 上恒成立，即 1 2 1 22024t x x x x   在 R 上恒成立， 由 1 2 0x x  ，得1 2024t  ………………………………8分 原方程                2 2 xfgxfgxf 在     4 , 4 x 上有两个不相等实根等价于   nxxtx 2cossin2sin  …… ①在     4 , 4 x 上有两个不相等实根……………10分 令       4 sin2cossin xxxm ，      4 , 4 x ， m ( 2,0 ]……………11分 则①式等价于关于 m的方程 0122  ntmm 在 m ( 2,0 ]上有两个不相等实根， 法一：参数分离可得 m nmt 12  ，令   m nmmh 12  ……………12分 所以问题等价于存在直线 ty  (1 2024t  )与函数   m nmmh 12  的图象在 m ( 2,0 ]上有两个不同的交 点……………13分 当 012 n 即 2 1n 时，函数   m nmmh 12  在( 2,0 ]只有一个交点，不合题意. 当 012 n 即 2 1n 时，则   12 h 且函数   m nmmh 12  在(0, 12  n ]上单调递减，在   ,12n 上单 调递增，依题意可得 212  n 即 2 3n 符合题意， 综上所述：       2 1, 2 3n ……………17分（算出 2 1n 和 2 3n 各得两分）. 法二：则①式等价于关于 m的方程 0122  ntmm 在 m ( 2,0 ]上有两个不相等实根， 即 122  ntmm ，令   tmmmh  2 ……………12分 所以问题等价于直线 12  ny 与函数   tmmmh  2 的图象在 m ( 2,0 ]上有两个不同的交点……………13分 如图 则                     12 2 2 2 122 120 nth t nh nh ，所以            22 2 1 2212 4 2 t n tnt ， 又1 2024t  ，所以  22,1t 使得以上不等式成立， 所以 2 1 2 3  n ……………17分（算出 2 1n 和 2 3n 各得两分）.