精品解析：甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023~2024学年度第二学期第二次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小亮的爸爸记录了小亮从4岁到10岁的身高，建立了小亮身高与年龄的回归模型，他用的这个模型预测小亮11岁时的身高，则下面的叙述正确的是（ ） A. 小亮11岁时的身高在149.75cm左右 B. 小亮11岁时的身高在149.75cm以下 C. 小亮11岁时的身高一定是149.75cm D. 小亮11岁时的身高在149.75cm以上 2. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 4. 已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 6. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A. 0.62 B. 0.64 C. 0.58 D. 0.68 7. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 14. 一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 19. 已知函数． （1）若恰有两个零点，求a的取值范围； （2）若的两个零点分别为（），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期第二次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小亮的爸爸记录了小亮从4岁到10岁的身高，建立了小亮身高与年龄的回归模型，他用的这个模型预测小亮11岁时的身高，则下面的叙述正确的是（ ） A. 小亮11岁时的身高在149.75cm左右 B. 小亮11岁时的身高在149.75cm以下 C. 小亮11岁时的身高一定是149.75cm D. 小亮11岁时的身高在149.75cm以上 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线的实际意义判断即可 【详解】代入可得，又利用回归直线方程我们可以对身高进行预测、估计，只能说身高在某一预测值附近的可能性比较大，故小亮11岁时的身高在149.75cm左右 故选：A 2. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 3. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 4. 已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案． 【详解】解：的定义域为R， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以是的极小值点， 故选：B． 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 6. 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A. 0.62 B. 0.64 C. 0.58 D. 0.68 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知，，，． 由全概率公式得． 故选：C． 7. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 8. 若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，证明函数单调递减，讨论，确定函数的单调性，结合的最大值小于等于0，求的范围可得结论. 【详解】由，，得 ，所以在为减函数， 又函数在也为减函数，， 在上单调递减， ①当时， 当时，单调递减， ，符合题意； ②当时， 存在，使得， 当时，单调递减，，不符合题意，舍去； ③当时，，又在上单调递减， 当时，单调递减， . 令，则 在上单调递减， ，符合题意. 综上所述，的最小值为1. 故选：C. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可. 【详解】，． 故选：AD． 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A错误； 再利用韦达定理可以判断B正确； 利用导数研究的单调性，可以判断C正确； 利用为奇函数可以判断D正确. 【详解】由题可得有两个不相等的实数根， 所以， 所以错误； 根据题意，为的两个根， 所以正确； 因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以成立，C正确； 因为为奇函数， 所以关于对称， 所以关于对称，D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立坐标系，利用空间向量判断位置关系和求解长度、数量积等. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，; 所以，， 所以，即，； 因为，平面，所以平面； 又平面，所以.故A正确； 设，所以， 所以，即， 所以， ， 解得，又，故B错误； ， 所以，故C正确； ， 所以，， 因为，所以时，取到最小值， 时，取到最大值， 所以.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48） 【答案】3 【解析】 【分析】利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率，列不等式即可求得每穴至少种的种子数n 【详解】记事件A为“种一粒种子，发芽”，则 设每穴种n粒，则相当于做了n次独立重复实验， 记事件B为“每穴至少有一粒发芽”， 则， 若保证每穴不需补种的概率大于97%，则 即，两边取常用对数得，，即 又lg3≈0.48，则， 又n为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表见解析 （2）年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据即可求解； （2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解. 【小问1详解】 完成2×2列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 16 30 总计 42 18 60 【小问2详解】设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 16. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由极值点的定义可求得极值； （2）求导后，分别在和的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则定义域为，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题意知：定义域为，； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 【答案】（1）分布列： Y 0 1 2 P 数学期望： （2）这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 这10件农产品的平均数为， 这10件农产品的方差为 ， 由，可令，， 这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，， 可得， 有 所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求. 【解析】 【分析】（1）求出的取值和对应的概率可得分布列及期望； （2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为X，可知，再根据， 有可得答案 【小问1详解】 因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件， 则， ， ， 所以Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 故. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）若恰有两个零点，求a的取值范围； （2）若的两个零点分别为（），求证：． 【答案】（1） （2）因为的两个零点分别为（）， 所以，， 所以，，故， 所以， 所以要证成立，只需证明， 即证，即证， 令，即证明， 令，又， ， 由于，令， 所以， 而，其对称轴为， 所以在上单调递增， 所以， 于是在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以， 所以原命题得证. 【解析】 【分析】（1）构造，由于恰有两个零点，则有两个根，利用导数求出的性质即可借助图象求出a的取值范围. （2）由题意，将命题成立转化为成立，令，即证明，令，利用导数证明即可. 【小问1详解】 令，其定义域为， 则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 因为当时，，当时，， 且， 又恰有两个零点，即有两个根， 故函数与有两个交点， 所以，故a的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点是构造函数，进而证明，从而说明原命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $