第十四周 思维训练课 多次相遇的行程问题（课件）-2023-2024学年五年级下册数学北师大版

复习： 2、淘气参加爬山活动，上山的速度是3千米/小时，到达山顶后立即原路返回，下山速度是5千米/小时，淘气上山、下山的平均速度是多少？ 1、某校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女同学的平均分是70分，男生、女生各有多少人？ 解：设女生有x人，则男生有（100－χ）人。 70χ＋60×（100－χ）＝ 63×100 70χ＋6000－60χ＝ 6300 10χ＝ 300 χ＝ 30 100－30＝70（人） 答：男生有70人，女生有30人。 题中的上山、下山的路程未知，可以用“1”表示。 2÷ ＝2÷ ＝ 答：淘气上山、下山的平均速度是米/分。 思维训练课 多次相遇的行程问题（柳卡图） 小学 / 数学 / 北师大版 / 五年级下册 行程问题中常用的数量关系式有哪些： 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 知识回顾： 一次相遇问题： 甲 乙 A B 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 A、B之间的距离=S甲＋S乙 知识回顾： 甲 乙 A B 相遇路程=速度和×相遇时间 知识回顾： 甲乙两人同时从A、B两地相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行75米，经过12分钟两人相遇。AB两地相距多少米？ （75＋60）×12 ＝135×12 ＝1620（米） 甲行的路程＋乙行的路程=相遇路程 75×12＋60×12 ＝900＋720 ＝1620（米） 答：AB两地相距1620米。 两次相遇问题： A B 甲 乙 第1次相遇 第2次相遇 当甲乙速度保持不变，两人第二次相遇时所走的路程和为3个全程 甲乙两人第一次相遇时所走的路程和为1个全程 例题1： 两次相遇3个全程 甲乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后继续前行，到达对方目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55米处，求A、B两地相距多远？ A B 甲 乙 第1次相遇 第2次相遇 75米 55米 思路点拨：这是“两次相遇三个全程”的典型例题。第一次相遇点离A点75米，也就是甲在第一次相遇（两人走一个全程）时走了75米，当两人第二次相遇共走三个全程，所以甲走的总路程是3个75米。 两人走完第一个全程时， 甲走了75米。 75×3－55=170（米） 3个75米减去55米 就是AB两地的路程。 答：A、B两地相距170米。 甲走的总路程 是3个75米。 例题1： A B 甲 乙 第1次相遇 第2次相遇 125米 105米 练一练： 甲乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地125米处相遇，相遇后继续前进到达对方目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地105米处，求A、B两地相距多远？ 125×3－105=270（米） 答：A、B两地相距270米。 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。第一次相遇在距A地20千米处，之后两车继续以原速前进，各自到达对方出发点后立刻返回，第二次相遇在距A地40千米处，求A、B的距离。 A B 甲 乙 第1次相遇 第2次相遇 20千米 40千米 思路点拨：第一次相遇点离A点20千米，也就是甲在第一次相遇时走了20千米，当两人第二次相遇共走三个全程，所以甲走的总路程是3个20千米。加上距离A点的40千米就相当于2个全程。 两人走完第一个全程时， 甲走了20千米。 甲走的总路程 是3个20千米。 3个20千米加上40千米 就是AB间路程的2倍。 20×3＋40=100（千米） 100÷2=50（千米） 答：A、B两地相距50千米。 例题2： A B 甲 乙 第1次相遇 第2次相遇 100千米 210千米 练一练： 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。第一次相遇在距A地100米处，之后两车继续以原速前进，各自到达对方出发点后立刻返回，第二次相遇在距A地210米处，求A、B的距离。 （100×3＋210）÷2＝255（米） 答：A、B两地相距255米。 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 思路点拨：从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为3000米，所以第十次相遇时共用3000÷（3.5+4）＝400秒，用时间乘甲的速度可以求出甲跑的路程，从而可知甲还需行米才能回到出发点。 例题3： 300×10＝3000（米） 3000÷（3.5＋4）=400（秒） 3.5×400＝1400（米） 1400÷300=4（圈）……200（米） 300－200＝100（米） 答：甲还需跑100米才能回到出发点。 400×5＝2000（米） 2000÷（3.5＋4.5）=250（秒） 3.5×250＝875（米） 875÷400=2（圈）……75（米） 400－75＝325（米） 答：甲还需跑325米才能回到出发点。 甲、乙两名同学在周长为400米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑4.5米，乙每秒钟跑3.5米，问：他们第五次相遇时，乙还需跑多少米才能回到出发点？ 练一练： 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米， 乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑 了10分钟后，共相遇几次？ 例题4： 思路点拨：这是一道用“柳卡图”解决相遇问题的典型题。第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲乙的出发地。甲跑一个全程用30÷1＝30秒，乙跑一个全程用30÷0.6＝50秒。因为[30,50]＝150，所以经过150秒两人都正好跑了若干个全程。 甲 乙 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米， 乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑 了10分钟后，共相遇几次？ 例题4： 甲 甲在150秒时间内跑了5个全程。 乙在150秒时间内跑了3个全程。 甲乙两人共相遇5次。 乙 10分＝600秒 600÷150＝4 5×4＝20（次） 答：共相遇20次。 30÷1＝30（秒） 30÷0.6＝50（秒） [30,50]＝150 科技小组在一条长300米的直路上进行机器狗测试。甲乙两只机器狗分别从路的两端同时出发，相向而行。甲狗每秒行12米，乙狗每秒行20米，测试一共进行了半小时，两只机器狗共相遇了多少次？ 甲 300÷12＝25（秒） 300÷20＝15（秒） [25,15]＝75（秒） 乙 半小时＝30分＝1800（秒） 1800÷75＝24 5×24＝120（次） 答：共相遇120次。 练一练： 思路点拨：这是一张运行图(柳卡图)。在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约。那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线来表示。 例题5： 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 思路点拨：图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况。 例题5： 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 例题5： 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 思路点拨：从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（实线）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（虚线）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇。 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。同时有一辆电车从乙站出发开往甲站．从甲站出发的电车到达乙站时，途中遇到多少辆从乙站开出的电车？ 从图中可以看出，从乙站开出的电车（实线）一共遇到7辆从甲站出发的电车，而且在这相遇的7次中，有1辆是在出发时遇到，1辆是到达时遇到，剩下5辆则在途中相遇。 练一练： 今天学的新知识掌握了吗？ 想着及时完成作业呦。 $$