精品解析：江西省吉安市吉州区第八中学2023-2024学年七年级下学期5月月考数学试题

吉安八中2023-2024学年第二学期第二次月考 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，7，4 D. 2，5，7 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 4. 如图，点E、F在上，，，添加下列条件后仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为____． 8. 若，，则______． 9. 已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 10. 如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的度数是___________． 11. 一种圆环（如图），它的外圆直径是8厘米，环宽1厘米． ①如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2），长度为___________厘米； ②如果用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y厘米，则y与x之间的关系式是___________． 12. 如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 14. 先化简，再求值：（2x+2）（2﹣2x）+5x（x+1）﹣（x﹣1）2，其中x＝﹣2． 15. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点． （1）作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作出关于直线l的对称图形； ②在直线l上找一点D，使最小； （2）求出的面积． 16. 如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，和都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接，相交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度与碗数（个）的变化情况如下表． 碗数（个） 1 2 3 … 高度 5.5 8.5 … 请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： （1）上表中的值为____________； （2）写出叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式； （3）你认为这种规格的碗摞放起来的高度能达到吗？为什么？ 20. 如图，在中，高与相交于点F，且， （1）成立吗？为什么？ （2）如果，试说明与的数量关系，并分析理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小明星期天从家出发去小强家给小强过生日，他骑了一段时间后自行车发生故障，只能原地等待，同时电话联系小强，小强立刻骑自行车来接他，与小强相遇后，他搭乘小强的自行车一同去往小强家（两人接打电话和碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小强骑行速度的一半．在这过程中，两人离小明家的距离s（千米）与小明所用时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题． （1）两家相距________千米；发生故障后，小明原地休息了________小时与小强相遇；相遇前，小强骑行速度是________千米/小时； （2）求a的值； （3）小强在出发后多少小时与小明家相距10千米． 22. 代数推理： 例题：求的最小值 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：； （2）将多项式变形为的形式，并求出的最小值； （3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2023-2024学年第二学期第二次月考 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，7，4 D. 2，5，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 1+2=3，不能构成三角形，不符合题意； B. 2+3>4，能构成三角形，符合题意； C. 2+4<7，不能构成三角形，不符合题意； D. 2+5=7，不能构成三角形，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，掌握构成三角形的条件是解题的关键． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 4. 如图，点E、F在上，，，添加下列条件后仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质可得，然后结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：， ， 即， A、添加不能使，故此选项符合题意； B、添加可利用角角边判定，故此选项不符合题意； C、添加可利用边角边判定，故此选项不符合题意； D、添加可利用角边角判定，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 5. 如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据可知，故，则可得的度数，再由即可得到结论． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据题意出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 6. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为____． 【答案】8.5×10-5 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000085=8.5×10-5． 故答案为：8.5×10-5． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8. 若，，则______． 【答案】80 【解析】 【分析】根据求出结果即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 9. 已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 10. 如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由线段垂直平分线的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别垂直平， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 一种圆环（如图），它的外圆直径是8厘米，环宽1厘米． ①如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2），长度为___________厘米； ②如果用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y厘米，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 ①. 14 ②. y=6x+2 【解析】 【详解】分析：①由于圆环的外圆直径是8厘米，环宽1厘米，所以内圆直径是6厘米．如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧，那么长度为2个内圆直径+2个环宽； ②如果用x个这样的圆环相扣并拉紧，那么长度为x个内圆直径+2个环宽． 详解：①结合图形可知：把这样的2个圆环扣在一起并拉紧，那么长度为2个内圆直径+2个环宽，长度为6×2+2=14cm； ②根据以上规律可知：如果用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度y为：y=6x+2． 故答案为14，y=6x+2． 点睛：本题主要考查了列函数关系式，找到所求式子的等量关系的规律是解决问题的关键． 12. 如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________． 【答案】或6或8 【解析】 【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2） 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题主要考查绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14. 先化简，再求值：（2x+2）（2﹣2x）+5x（x+1）﹣（x﹣1）2，其中x＝﹣2． 【答案】；-11 【解析】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查整式化简求值，熟练运用运算法则是解题的关键． 15. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点． （1）作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作出关于直线l的对称图形； ②在直线l上找一点D，使最小； （2）求出的面积． 【答案】（1） ①如图，就是所求作的三角形； ②点D即为所求作的点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）①依据轴对称的性质，即可得到关于直线l的对称图形； ②连接，交直线l于D，连接，则最小值等于的长； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 的面积． 16. 如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明： 又 在与中 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，水价为每吨3元，现有某户居民7月份用水x吨，应交水费y元 （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 【答案】（1） （2）25吨 【解析】 【分析】（1）应交水费吨的水费超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将代入关系式，即可得出答案． 【小问1详解】 根据题意得，， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：． 【小问2详解】 当时，， 解得，， 答：小明家里用水25吨． 【点睛】此题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，和都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接，相交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中 ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，证明，进而结论得证； （2）由可知，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于证明三角形全等． 19. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度与碗数（个）的变化情况如下表． 碗数（个） 1 2 3 … 高度 5.5 8.5 … 请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： （1）上表中的值为____________； （2）写出叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式； （3）你认为这种规格的碗摞放起来的高度能达到吗？为什么？ 【答案】（1）7 （2） （3） 解：不能，原因如下： 由（2）可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式， 根据题意，当时，，解得， 由题意，为碗的个数，为正整数，而不是整数， 这种规格的碗摞放起来的高度不能达到． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，每个碗的放入后，高度增加相同量，从而得到，解得； （2）由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间满足一次函数关系，设表达式为，利用待定系数法列方程组求解即可得到答案； （3）由（2）中的函数表达式，令求解，再由实际意义验证即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，每个碗的放入后，高度增加相同量， ，即， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间满足一次函数关系， 设表达式为，将和代入表达式得到 ， 解得， 叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，掌握待定系数法求函数表达式是解决问题的关键． 20. 如图，在中，高与相交于点F，且， （1）成立吗？为什么？ （2）如果，试说明与的数量关系，并分析理由． 【答案】（1） 成立；理由如下： ∵的高与相交于点F， ∴， ∴， 则在和中， ∴； （2） ；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小明星期天从家出发去小强家给小强过生日，他骑了一段时间后自行车发生故障，只能原地等待，同时电话联系小强，小强立刻骑自行车来接他，与小强相遇后，他搭乘小强的自行车一同去往小强家（两人接打电话和碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小强骑行速度的一半．在这过程中，两人离小明家的距离s（千米）与小明所用时间t（小时）之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题． （1）两家相距________千米；发生故障后，小明原地休息了________小时与小强相遇；相遇前，小强骑行速度是________千米/小时； （2）求a的值； （3）小强在出发后多少小时与小明家相距10千米． 【答案】（1）12，1，8 （2） （3）小强在出发或小时后距离小明家10千米． 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题． （1）由图象结合实际意义解答即可； （2）先求出相遇前，小强骑行速度，得到相遇后，骑行速度，据此求解即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论，列一元一次方程并求解可得答案． 【小问1详解】 解：根据图象可知两家相距12千米； 发生故障后，小明原地休息了小时与小强相遇； 相遇前，小强骑行速度是千米/小时； 故答案为：12，1，8； 【小问2详解】 解：∵相遇前，小强骑行速度是千米/小时； ∴相遇后，骑行速度是4千米/小时， ∴小时， ∴； 【小问3详解】 解：小强出发后x小时距离小明家相距10千米，由题可得 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， ∴小强在出发或小时后距离小明家10千米． 22. 代数推理： 例题：求的最小值 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：； （2）将多项式变形为的形式，并求出的最小值； （3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）36，6 （2），最小值为 （3） 由题意得：， ， ∴， ， ， ， 无论取何值，总是非负数，即， ∴， ∴的最小值为11， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据的值判断即可． 【小问1详解】 由完全平方公式可得， 故答案为：；． 【小问2详解】 ， 无论取何值，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的非负性，解题的关键是配方求最小值：把式子化为的形式，当时取得最小值为． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $