精品解析：辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正项等比数列中，已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数； B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强； C. 设随机变量，则； D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 5. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. C. D. 事件B与事件C相互不独立 7. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，的最大值为33 8. 设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列为递增等差数列 10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是______． 13. 函数.对于，都有，则实数的取值范围是______. 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 16. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，数列的前项和为， ①求； ②若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数，常数． （1）当时，函数取得极小值，求函数的极大值． （2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”． ①求函数在点处的切线方程． ②求实数的取值范围． 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M-数列”； （2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和. ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M-数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）七校协作体高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正项等比数列中，已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简求值即可． 【详解】设等比数列的公比为 ，或（舍） 则 故选：B 2. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出. 【详解】由可得：， 由可得：， 由回归方程 必过样本中心点，即过点， 所以，解得， 故选：C. 3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记的长度构成的数列为，依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出，再由面积公式计算可得. 【详解】记的长度构成的数列为， 由题意知，，且都是直角三角形， 所以，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 由，所以. 所以第个三角形的面积为. 故选：B． 4. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数； B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强； C. 设随机变量，则； D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定A错误；根据相关系数的概念，可判定B错误，根据正态分布的定义和期望、方差的性质，可得判定C错误；设得分为随机变量，得到的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定D正确. 【详解】对于A中，原来30个样本数据，从小到大排列，设为， 可得，所以分位数为， 若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得， 可得，所以分位数为，其中，所以A不正确； 对于B中，若两组成对数据的样本相关系数分别为， 可得，所以则组数据比组数据的线性相关性强，所以B不正确； 对于C中，设随机变量，可得， 则，所以C不正确； 对于D中，设得分为随机变量，则的可能取值为， 可得，， 所以参加游戏得分的期望为，所以D正确. 故选：D. 5. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，问题转化为有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果. 【详解】因为，则， 令，整理得， 设，则， 时，；时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 由题意可知：有两个不同的解， 即与的图像有两个不同的交点， 则，解得， 令，则， 可知， 即切点坐标为，则切线方程为， 代入点可得：，解得， 且，所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. C. D. 事件B与事件C相互不独立 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B、C；根据独立事件的判定判断D. 【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 事件B的样本点为共18种， 事件C的样本点为共有12种， 事件的样本点为共6种， 所以，B错误；，C正确； 因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误． 故选：C 7. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，的最大值为33 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为， 所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为， 所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 8. 设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 函数的定义域为，不等式，即， 两边除以，则,注意到直线：恒过定点， 函数图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这两个点分别为，所以直线的斜率的取值范围为，即. 故选A 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列为递增等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项判断即可. 【详解】若是等差数列，， 所以，则， 所以使的最大正整数的值为30.故A错误； 若是等比数列，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 若是等比数列，则，故C错误； 若，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确； 故选：BD. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断 D. 【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择， 故四名同学的报名情况共有种，A正确； 对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况， 再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种， 故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误； 对于C，由已知有：，， 所以， C正确； 对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由在单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D． 【详解】对于A，，显然在单调递增，又，， 所以，使得，故A正确； 对于B，由A得，，使得，即，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒大于0； 由，令， ，当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，即在单调递增， 又时，，所以， 由恒大于0，恒大于0，故无零点，B正确； 对于C，由B得，由恒成立，得在恒成立， 所以，即，故C错误； 对于D，因为在单调递增，又，，则， 所以，即， 整理得， 不等式两边同除以得，，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，得到的通项公式为，令，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以数列的通项公式为， 令，即，解得， 又因为，所以，所以使的最小正整数的值是. 故答案为：. 13. 函数.对于，都有，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的最小值和在上的最大值，由题意，列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以， 对于，都有，则， 所以，即. 故答案为： 14. 已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， 【小问2详解】 因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 16. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，数列的前项和为， ①求； ②若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式可构造方程求得公差，由此可得；利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得； （2）①由（1）可得，采用错位相减法可求得； ②分别在为奇数和为偶数的情况下分离参数，根据数列单调性可求得的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得：，即， 解得：，； 当时，，解得：； 当且时，， ，数列是以为首项，为公比的等比数列，. 【小问2详解】 ①由（1）得：； ， ， ， ； ②由①知：对恒成立； 当为奇数时，， 为递增数列，当为奇数时，，； 当为偶数时，， 为递减数列，当为偶数时，，； 综上所述：实数的取值范围为. 17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列为 Y 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3， 且Y服从超几何分布： ， ， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 18. 已知函数，常数． （1）当时，函数取得极小值，求函数的极大值． （2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”． ①求函数在点处的切线方程． ②求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值求出，进而求出极大值. （2）①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用给定的定义可得当时，恒成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断得解. 【小问1详解】 依题意，，解得，函数定义域为， 求导得，当或时，；当时，， 所以在，上严格增，在上严格减， 所以当时，有极大值． 【小问2详解】 ①函数的定义域为， 求导得，则，而， 所以函数在点处的切线方程为. ②若点是函数的“类优点”， 令，常数， 则当时，恒有， 又，且， 令，得或， （i）当时，在上严格增， 则当时，，当时，， 因此当时，恒有成立； （ii）当时，由，得，则在上严格减，， 所以时，不成立； （iii）当时，由，得，在上严格减，， 所以时，不成立． 综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数. 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M-数列”； （2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和. ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M-数列”，对任意正整数k，当时，都有成立，求m的最大值. 【答案】（1）证明:设等比数列的公比为，所以， 由，得，解得， 所以数列为“M-数列”； （2）①； ② 5 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明； （2）①根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式； ②根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①因为，则，则， 当时，由，得，整理得， 所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以； ②由①知，， 因为数列为“M-数列”，设公比为，所以， 因为，所以，其中， 当时，有； 当时，有， 设，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 因为，所以， 取，当时，，即，经检验知也成立， 因此所求的最大值不小于5， 若，分别取，得，且，从而且，所以不存在，所以， 综上，所求的最大值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $