专题4 正比例和反比例-2024年小升初数学暑假专项提升（北师大版）

专题4 正比例和反比例 一、正比例 1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 二、反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。 2、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•台江区期中）下列说法中，正确的是　　 ①统计发现某班同学的近视率超过了。 ②和两种相关联的量，如果，那么与成正比例。 ③学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成反比例。 ④圆柱两个底面之间的距离叫作高。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2024春•西安期中）如果　　，那么和成正比例关系、均不为。 A． B． C． D． 3．（2024春•上蔡县期中）下面各选项中，成反比例关系的是　　 A．六（2）班的男生人数和女生人数 B．比例尺一定，图上距离与实际距离 C．修一段路，工作效率和所用的时间 D．圆柱的表面积一定，它的高与底面半径 4．（2024春•镇原县期中）下表中和两个量成反比例关系，则△是　　 60 △ 15 50 A．18 B．12.5 C．200 5．（2024•罗甸县模拟）如图，三角形的高把它的底分成两段，两段长度的比是。三角形与三角形面积的比是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•滕州市期中）用同样的砖铺地，铺36平方米要用1260块，铺90平方米要用多少块？这道题里的　　是一定的。 A．总面积 B．每块砖的面积 C．砖的总块数 二．填空题（共6小题） 7．（2024•惠来县模拟）三角形的面积一定，它的底和高成 　　比例。已知，那么和成 　　比例。 8．（2024•邳州市模拟），为非0自然数，那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　，和成 　　比例。 9．（2024春•富平县期中）下表中，如果与成正比例，则的值为 　　；如果与成反比例，则的值为 　　。 6 2 16 32 10．（2024春•玉田县期中）琳琳打字的个数与所用时间如表所示。 时间分 2 3 4 5 6 数量个 100 150 200 250 300 （1）琳琳打字的数量和所用时间成 　　比例。 （2）琳琳8分钟能打 　　个字。 （3）一份稿件共1250个字，琳琳 　　分钟能打完。 11．（2024春•信都区期中）如图是一个水龙头打开后匀速流出水的体积和时间的关系。 （1）这个水龙头的出水量和打开时间成 　　比例关系。 （2）图中点表示 　　秒出水 　　升。 （3）照这样计算，90秒出水 　　升；要出水36升需要 　　分钟。 12．（2023•凤台县）学校手工社团买了一种彩带，其长度总价元与总价的关系如图。 （1）彩带的总价与长度成 　　比例。 （2）135元可以买 　　这种彩带。 三．判断题（共4小题） 13．（2024春•莲湖区期中）将一个平行四边形木框拉成平行四边形，这个变化过程中，平行四边形的面积和高成正比例。 　　（判断对错） 14．（2024春•岳阳期中）在一块菜地上只种黄瓜和西红柿两种作物，这两种作物的种植面积成反比例关系。 　　（判断对错） 15．（2023秋•峡江县期末）甲数与乙数的比是，那么甲数比乙数少。 　　（判断对错） 16．（2023•晋安区）把10克盐放入100克水中，盐和盐水的比是．　 　（判断对错） 四．应用题（共7小题） 17．（2024春•晋源区期中）小丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，第二杯用了30毫升蜂蜜和270毫升水。 （1）请你判断两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比，看看它们能否组成比例。 （2）按照第二杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比计算，配置500毫升蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少毫升？ 18．（2022•富县）富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。 数量袋 1 2 3 4 5 总价元 8 16 24 32 40 （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）68元够买几袋“睁眼辣子”？ 19．（2022秋•淮阴区期末）动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比值越大的动物跑得越快， 动物 盐都龙 马 羚羊 胫骨与股骨的比 根据这个结论，计算并比较三种动物中，谁跑得最快？ 20．（2023•乾县）某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量台 200 300 500 所需时间天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　　比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 21．（2022•招生）小轿车和大轿车同向而行，如图表示它们的行驶情况。 （1）　　分钟它们相距； （2）小轿车和大轿车的速度之比是 　　； （3）当小轿车和大轿车都行驶到离起点时，小轿车比大轿车提前了多少分钟？ 22．（2023•顺德区）买同一本书的本数与所付书费为： 书本 0 1 2 3 4 5 6 书费元 0 7 14 21 （1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 　　（选填“正”或“反” 比例。 （2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 　　。 （3）点　　（选填“在”或“不在” 这条直线上，这一点表示 　　。 23．（2023春•龙华区校级期中）一种花布的数量和总价如表． 数量 1 2 3 4 5 6 7 总价元 8 16 24 32 40 48 56 （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）在如图中描出表示数量和对应总价的点，然后把它们连起来，并说说图象的特点． （3）利用图象回答，买花布需要多少元？68元能买多少米花布？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 正比例和反比例 一、正比例 1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 二、反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。 2、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•台江区期中）下列说法中，正确的是　　 ①统计发现某班同学的近视率超过了。 ②和两种相关联的量，如果，那么与成正比例。 ③学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成反比例。 ④圆柱两个底面之间的距离叫作高。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①根据近视率的计算方法进行分析即可判断正误； ②两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答； ③两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答； ④根据圆柱高的定义进行分析即可解答。 【解答】解：①近视率近视人数总人数，近视人数不可能大于总人数，所以近视率不可能超过，所以原题说法错误； ②和两种相关联的量，如果，则，即比值一定，那么与成正比例，所以原题说法正确； ③使用天数每天的平均用煤量煤的总数量，煤的总数量不变，即乘积一定，所以使用天数与每天的平均用煤量成反比例，所以原题说法正确； ④圆柱两个底面之间的距离叫作高，所以原题说法正确。 由分析可得②③④说法正确。 故选：。 2．（2024春•西安期中）如果　　，那么和成正比例关系、均不为。 A． B． C． D． 【分析】根据两种量成反比例的意义，两种相关联的量、，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系是反比例关系。 【解答】解：，和的商一定，所以和成正比例关系。 ，和的积一定，所以和成反比例关系。 ，和的和一定，所以和不成比例关系。 ，和的差一定，所以和不成比例关系。 故选：。 3．（2024春•上蔡县期中）下面各选项中，成反比例关系的是　　 A．六（2）班的男生人数和女生人数 B．比例尺一定，图上距离与实际距离 C．修一段路，工作效率和所用的时间 D．圆柱的表面积一定，它的高与底面半径 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：．六（2）班的男生人数和女生人数的和一定，所以六（2）班的男生人数和女生人数不成比例； ．图上距离：实际距离比例尺（一定），所以比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例； ．修一段路，工作效率和所用的时间的积一定，所以修一段路，工作效率和所用的时间成反比例； ．圆柱的表面积，所以圆柱的表面积一定，它的高与底面半径不成比例。 故选：。 4．（2024春•镇原县期中）下表中和两个量成反比例关系，则△是　　 60 △ 15 50 A．18 B．12.5 C．200 【分析】根据反比例的性质，两个量的乘积为常数，可以通过已知的两个量的乘积来求出这个常数，用求出的常数除以已知的一个量，就可以得到另一个量。 【解答】解： 所以△是18。 故选：。 5．（2024•罗甸县模拟）如图，三角形的高把它的底分成两段，两段长度的比是。三角形与三角形面积的比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的面积公式：，当两个三角形的高相等时，这两个三角形的面积的比等于底边的比，据此解答。 【解答】解：因为三角形的高等于三角形的高，三角形和三角形的底边的比是，所以三角形和三角形面积的比是。 故选：。 6．（2024春•滕州市期中）用同样的砖铺地，铺36平方米要用1260块，铺90平方米要用多少块？这道题里的　　是一定的。 A．总面积 B．每块砖的面积 C．砖的总块数 【分析】题目中说到用同样的砖铺地，说明了每块砖的面积是一定的。 【解答】解：用同样的砖铺地，也就是说每块砖的面积是一定的。 故选：。 二．填空题（共6小题） 7．（2024•惠来县模拟）三角形的面积一定，它的底和高成 　反　比例。已知，那么和成 　　比例。 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例，据此解答。 【解答】解：底高三角形的面积（一定），所以三角形的面积一定，它的底和高成反比例。 已知，则（一定），所以和成正比例。 故答案为：反；正。 8．（2024•邳州市模拟），为非0自然数，那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　，和成 　　比例。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果两个数是倍数关系，那么这两个数中较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数，据此解答。 【解答】解：如果和为非0自然数），则，那么和成正比例关系； 因为，所以，所以和的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：；；正。 9．（2024春•富平县期中）下表中，如果与成正比例，则的值为 　12　；如果与成反比例，则的值为 　　。 6 2 16 32 【分析】（1）如果、这两种相关联的量成正比例，那么这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，所以由此解比例即可； （2）如果、这两种相关联的量成反比例，那么这两种量中相对应的两个数的积一定，所以，由此即可解答。 【解答】解：（1）如果与成正比例，则： （2）如果与成反比例，则： 故答案为：12，48。 10．（2024春•玉田县期中）琳琳打字的个数与所用时间如表所示。 时间分 2 3 4 5 6 数量个 100 150 200 250 300 （1）琳琳打字的数量和所用时间成 　正　比例。 （2）琳琳8分钟能打 　　个字。 （3）一份稿件共1250个字，琳琳 　　分钟能打完。 【分析】（1）根据正比例、反比例的定义进行分析即可解答； （2）根据（1）题打字的数量和所用时间成正比例，比值是50，即一分钟打字的数量是50个，列乘法算式即可解答； （3）根据（1）题打字的数量和所用时间成正比例，比值是50，即一分钟打字的数量是50个，列除法算式即可解答。 【解答】解：（1）因为，即琳琳打字的数量：所用时间一分钟打字的个数（一定），所以琳琳打字的数量和所用时间成正比例。 （2）（个 答：琳琳8分钟能打400个字。 （3）（分 答：琳琳25分钟能打完。 故答案为：（1）正；（2）400；（3）25。 11．（2024春•信都区期中）如图是一个水龙头打开后匀速流出水的体积和时间的关系。 （1）这个水龙头的出水量和打开时间成 　正　比例关系。 （2）图中点表示 　　秒出水 　　升。 （3）照这样计算，90秒出水 　　升；要出水36升需要 　　分钟。 【分析】（1）根据正比例图像是一条上升的直线，反比例图像是一条下降的平滑的曲线，可以判断这个水龙头的出水量和打开时间成什么比例关系； （2）从图上可以看出横轴对着40秒，纵轴对着8升，据此填写； （3）根据所对应数的商相等，列出比例式解答。 【解答】解：（1）这个水龙头的出水量和打开时间成正比例关系； （2）图中点表示40秒出水8升； （3）设90秒出水升。 设要出水36升需要秒。 180秒分 答：照这样计算，90秒出水18升；要出水36升需要3分钟。 故答案为：（1）正；（2）40；8；（3）18；3。 12．（2023•凤台县）学校手工社团买了一种彩带，其长度总价元与总价的关系如图。 （1）彩带的总价与长度成 　正　比例。 （2）135元可以买 　　这种彩带。 【分析】（1）正比例的图像是过原点的一条直线，据此判断； （2）从图形可以看出1米长的彩带是9元，用135元除以9即可解答。 【解答】解：（1）因为图像是一条过原点的直线，所以彩带的总价与长度成正比例。 （2） 答：135元可以买这种彩带。 故答案为：正，15。 三．判断题（共4小题） 13．（2024春•莲湖区期中）将一个平行四边形木框拉成平行四边形，这个变化过程中，平行四边形的面积和高成正比例。 　　（判断对错） 【分析】根据“平行四边形的面积高底”直接判断。 【解答】解：将一个平行四边形木框拉成平行四边形，这个变化过程中，平行四边形的面积高底（一定），所以平行四边形的面积和高成正比例。 原题说法正确。 故答案为：。 14．（2024春•岳阳期中）在一块菜地上只种黄瓜和西红柿两种作物，这两种作物的种植面积成反比例关系。 　　（判断对错） 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 【解答】解：黄瓜的种植面积西红柿的种植面积菜地的面积，两种作物的面积的和一定，不是乘积一定，所以这两种作物的种植面积不成反比例关系。原题说法错误。 故答案为：。 15．（2023秋•峡江县期末）甲数与乙数的比是，那么甲数比乙数少。 　　（判断对错） 【分析】根据题意，可设甲数为“3”，乙数为“4”，求甲数比乙数少几分之几可用两数之差乙数，即可解答。 【解答】解：设甲数为“3”，乙数为“4”。 所以甲数与乙数的比是，那么甲数比乙数少。原题干说法错误。 故答案为：。 16．（2023•晋安区）把10克盐放入100克水中，盐和盐水的比是．　　（判断对错） 【分析】根据比的意义，用盐的质量比上盐水的质量，求出盐和盐水的比是多少即可． 【解答】解： 所以盐和盐水的比是， 所以题中说法不正确． 故答案为：． 四．应用题（共7小题） 17．（2024春•晋源区期中）小丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，第二杯用了30毫升蜂蜜和270毫升水。 （1）请你判断两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比，看看它们能否组成比例。 （2）按照第二杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比计算，配置500毫升蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少毫升？ 【分析】（1）根据每杯中蜂蜜和水的数量写出比，如果比值相等，就能成比例，否则不成比例。 （2）设需要蜂蜜毫升，则水是毫升，根据蜂蜜和水的比是，列出比例式：，再解比例即可。 【解答】解：（1） ，所以不能组成比例。 答：它们不能组成比例。 （2）设需要蜂蜜毫升，则水是毫升。 水位：（毫升） 答：需要蜂蜜50毫升，需要水450毫升。 18．（2022•富县）富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如表。 数量袋 1 2 3 4 5 总价元 8 16 24 32 40 （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）68元够买几袋“睁眼辣子”？ 【分析】（1）观察表格，发现表中有总价和数量两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化，且总价与相应数量的比值都是一定的，实际就是“睁眼辣子”的单价。 （2）根据总价单价数量即可解答。 【解答】解：（1）（元 （元 （元 （元 （元 答：总价与数量成正比例关系，因为比值都是8元。 （2）（袋（元 答：68元够买8袋“睁眼辣子”，还剩下4元。 19．（2022秋•淮阴区期末）动物的小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比值越大的动物跑得越快， 动物 盐都龙 马 羚羊 胫骨与股骨的比 根据这个结论，计算并比较三种动物中，谁跑得最快？ 【分析】比值是比的前项除以后项的商，据此即可求出三种动物小腿骨（胫骨）与大腿骨（股骨）的长度比值，通过比较即可确定这一种动物中哪种跑得最快． 【解答】解：盐都龙： 马： 羚羊： 答：羚羊跑得最快． 20．（2023•乾县）某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如表。 平均每天产量台 200 300 500 所需时间天 75 50 30 （1）平均每天产量和所需时间成 　反　比例。 （2）现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到多少台？ 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）因为平均每天产量和所需时间成反比例，总台数不变，用总台数除以需要的天数即可解答。 【解答】解：（1）因为 所以平均每天产量所需时间（一定），乘积一定，所以平均每天产量和所需时间成反比例； （2）（台 答：平均每天产量至少要达到750台。 故答案为：反。 21．（2022•招生）小轿车和大轿车同向而行，如图表示它们的行驶情况。 （1）　20　分钟它们相距； （2）小轿车和大轿车的速度之比是 　　； （3）当小轿车和大轿车都行驶到离起点时，小轿车比大轿车提前了多少分钟？ 【分析】（1）纵轴每格表示6千米，12千米表示2格，由图可以看出，20分钟后，表示两车的距离是2格，即20分钟后相距12千米。 （2）根据20分钟后，两车的距离之比就是它们的速度之比（或根据“速度路程时间”分别求出二车的速度），根据比的意义即可写出小轿车和大轿车的速度之比，再化成最简整数比。 （3）根据“时间路程速度”，用路程千米）分别除以小轿车、大轿车的速度，求出小轿车、大轿车的用时，再把二者相减。 【解答】解：（1）20分钟它们相距。 （2） 答：小轿车和大轿车的速度之比是。 （3） （分钟） （分钟） （分钟） 答：小轿车比大轿车提前了50分钟。 故答案为：20；；50分钟。 22．（2023•顺德区）买同一本书的本数与所付书费为： 书本 0 1 2 3 4 5 6 书费元 0 7 14 21 （1）把表补充完整，所付书费与买的本数成 　正　（选填“正”或“反” 比例。 （2）先根据上表描点，再顺次连接各点，我发现了 　　。 （3）点　　（选填“在”或“不在” 这条直线上，这一点表示 　　。 【分析】（1）根据所付书费与买的本数之间的关系完成统计表，再判断所付书费与买的本数成什么比例； （2）根据表中数据先在关系图中描出各点，再连线，然后说出自己的发现； （3）根据单价、总价和数量之间的关系，判断点在不在这条直线上，并解释其意义。 【解答】解：（1） 书本 0 1 2 3 4 5 6 书费元 0 7 14 21 28 35 42 ，所以所付书费与买的本数成正比例； （2） 我的发现：各点都在通一条直线上。“”（说法不唯一） （3），所以点点在这条直线上，这一点表示买8本书花56元。 故答案为：正；各点都在通一条直线上；在；8本书花56元（说法不唯一）。 23．（2023春•龙华区校级期中）一种花布的数量和总价如表． 数量 1 2 3 4 5 6 7 总价元 8 16 24 32 40 48 56 （1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）在如图中描出表示数量和对应总价的点，然后把它们连起来，并说说图象的特点． （3）利用图象回答，买花布需要多少元？68元能买多少米花布？ 【分析】成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．用字母表示（一定）． （1）通过计算总价与数量的比值是否一定，来判定总价与数量是否成正比例关系即可． （2）描点，连线即可． （3）利用图象看所对应的图象上的点所对应的总价是多少元即可，然后再看68元所对应的图象上的点所对应的数量是多少米即可． 【解答】解：（1）总价和数量成正比例关系． 因为（一定），是比值一定， 所以总价和数量成正比例关系． （2） 由图可知正比例关系的图象是一条射线． （3）根据图象可知：买花布需要20元，68元能买米8.5米花布． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$