精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二实验部下学期阶段检测二（6月）数学试题

2023—2024学年度下学期 东北育才超常教育实验部 少儿35班 数学学科 阶段检测二 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一.选择题（共8小题） 1. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 45 B. 6 C. 7 D. 8 3. 点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为4 C. 函数在上单调递增 D. 6. 已知函数 对任意 成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题） 9. 设数列的前项和为，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 成等差数列，公差为 C. 取得最大值时 D. 时，的最大值为 10. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ） A. 点是函数的零点 B. ，，使 C. 是的极大值点 D. 的取值范围是 11. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B. 若，，则回归直线一定经过点 C. 若点，，….，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D. 若，，则相应于样本点的残差为 三.填空题（共3小题） 12. 一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是_________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则_______. 13. 已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 14. 已知，有极大值和极小值，则的取值范围是______，______. 四.解答题（共5小题） 15. 已知各项均为正数的数列满足，且. （1）写出，，并求的通项公式； （2）记求. 16. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为. （1）求； （2）现采用不放回摸球，设表示“第次取出的是黄球”，证明：； （3）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.并比较所求两概率的大小，说明其实际含义. 18. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期 东北育才超常教育实验部 少儿35班 数学学科 阶段检测二 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一.选择题（共8小题） 1. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，利用参变分离法将其转化为，只需求出在上的最大值即得. 【详解】依题意，在上恒成立，即在上恒成立， 不妨设，，因在上恒成立， 故在上单调递减，则，故. 故选：D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 45 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，则两平行线间的距离最小，求出最小值即可. 【详解】设与直线平行的直线与曲线相切于点， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，解得， 所以，即， 所以曲线的切线为， 由平行线间的距离公式可得的最小值为． 故选：A． 4. 已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数判断的单调性；把要解不等式变形为，根据的单调性即可解出不等式. 【详解】设，则， 因为对任意，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 又等价于，即， 因为在上单调递增，所以 解得，所以原不等式的解集是. 故选：D. 5. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为4 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为， 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 ， 由知常数项为2，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数的性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：C. 6. 已知函数 对任意 成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导数探讨恒成立的不等式并建立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即得. 【详解】函数，求导得，依题意，， 当时，恒有，函数单调递增，当时，， 而函数在上单调递增，函数值集合为， 因此存在，当时，，不符合题意，则有， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 即有，于是， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，因此， 所以的最小值为2. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 7. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理. 二.多选题（共3小题） 9. 设数列的前项和为，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 成等差数列，公差为 C. 取得最大值时 D. 时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，求出，根据二次函数的性质判断C，再由，作差即可求出，从而判断A，最后由判断B、D. 【详解】因为，即， 所以，即，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 而开口向下的二次函数的对称轴为， 所以当或时，取得最大值，故C错误； 对于A，由，当时，可得， 当时， 所以， 而，所以，故A正确； 对于B，由，得，，， 所以，，成等差数列，公差为，故B正确， 对于D，由得，， 所以时，的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ） A. 点是函数的零点 B. ，，使 C. 是的极大值点 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求出函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可判断每个选项. 【详解】解：当时，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且； 当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，且恒成立，画出函数图象如下： 对A：由函数图象可得0是函数的零点，故A错误； 对B：由图可得， 故，，使，故B正确； 对C：由图可得是的极大值点，故C正确； 对D：方程等价于或， 由图可得有1个实数根， 所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B. 若，，则回归直线一定经过点 C. 若点，，….，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D. 若，，则相应于样本点的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A、选项B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断. 【详解】线性回归方程为不一定经过，，…，中的任何一个点， 但一定会经过样本中心点，故A错误，B正确； 选项C，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值，即样本相关系数，故C正确； 选项D，样本点的残差为，故D正确. 故选：BCD. 三.填空题（共3小题） 12. 一个盒子中有大小相同的4个红球3个白球，若从中任取3个小球，则在“抽取的3个球中至少有一红球”的前提下“抽取的3个球全是红球”的概率是_________；若用表示抽取的三个球中白球的个数，则_______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由条件概率求解；求出所有可能的取值及其对应的概率，再由期望公式即可求出. 【详解】由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3， 所以；； ；； 所以的概率分布为： 0 1 2 3 则数学期望． 记“抽取的3个球全是红球”为事件，“至少有一红球”为事件， 所以，， 所以. 故答案为：；. 13. 已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：原题意等价于与在内有2个交点，求在处的切线方程，结合图象分析求解. 【详解】令，可得， 原题意等价于与在内有2个交点， 且，的横截距为， 因为，则， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 即在处的切线方程为，该切线的横截距为， 结合图象可知：若与在内有2个交点， 则，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，有极大值和极小值，则的取值范围是______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】(1)求导得,再根据有极大和极小值可知导函数在定义域内有两个不相等的实数根,再根据零点存在定理列式即可求得的取值范围. (2)代入化简,再代入(1)中极值点满足的韦达定理求解即可. 【详解】(1)由题,,因为有极大值和极小值,故在区间上有两个不相等的实数根. 故 ,即,解得. (2)由(1)可知. 故 . 故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了利用函数的极值求解参数范围的问题,同时也考查了零点存在性定理以及韦达定理在极值点中的运用.属于中档题. 四.解答题（共5小题） 15. 已知各项均为正数的数列满足，且. （1）写出，，并求的通项公式； （2）记求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系，可求，的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式. （2）可以把数列的前几项一一列举，然后求和，也可以用错位相减法求和. 【小问1详解】 解法一：因为，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 当时， ， 所以 当时，也符合上式. 综上， 解法二：因为，，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 因为， 所以，即. 所以，即. 又，所以 【小问2详解】 解法一：由（1）得，即 记 则①， ② ①-②，得， 所以， 故. 解法二：由（1）得，即. 记， 则 . 故. 16. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由题意可知是即的两个正根，由此列出不等式组，即可求得答案； （2）化简可得，从而构造函数，判断其单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 由可得， 因为函数有两个极值点， 故是即的两个正根，则 故，即， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 由于，故， 设， 故在上单调递增， 故由可得， 即实数的取值范围为 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为. （1）求； （2）现采用不放回摸球，设表示“第次取出的是黄球”，证明：； （3）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.并比较所求两概率的大小，说明其实际含义. 【答案】（1）， （2） ，即采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为， ， 又， 则. （3） 样本中黄球的比例分别为随机变量， 有放回摸球时，概率， 不放回摸球时，概率. ，所以在误差不超过0.2的相同限制下，用样本中黄球比例估计总体中黄球比例， 采用不放回估计的结果更可靠些. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布和超几何分布即可求解； （2）由题采用不放回摸球，每次取到黄球的概率都为，，然后求出结果对比即可得证； （3）由题样本中黄球的比例分别为随机变量，然后分别求出有放回摸球时的概率，不放回摸球时的概率，比较大小即可得结论. 【小问1详解】 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的， 则， 对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立，所以的取值为0，1，2，3，4， 则，，， ，， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. （3）且 【解析】 【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案； （2）由题意结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据求和公式求得数列的通项公式，结合等比数列的定义，可得数列的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“2类函数”； （2）若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不是上的“2类函数”. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用解析式化简，结合放缩即可判断； （2）不妨设，根据新定义可得，整理后可得且，根据和的单调性可得，然后参变分离，构造函数，，分别利用导数求和即可得解. 【小问1详解】 对于任意不同的，设， 则，， 所以， 所以不是上的“2类函数”. 【小问2详解】 因为， 由题意知，对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 所以，， 故对任意，都有，即， 所以， 令，， 令，在单调递减， 所以，， 故在单调递减， 所以，所以， 令，， 令，在上单调递减， ，， 所以，使，即， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， 所以， 由，得， 所以， 又因为，所以， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据新定义转化为为上的增函数，为上的减函数，再由函数单调性与导数的关系得，然后参变分离，转化为求函数最值问题，最后利用导数求解可得.本题还属于隐零点问题，需充分利用隐零点方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $