精品解析：湖南省武冈市秦桥乡中学2024年九年级下学期毕业会考模拟（五）数学试题

湖南省2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（五） 数 学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘（da），欣欣家国”为主题，以“益”字为题眼，用“兢兢”之姿生动描摹1400000000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌． 其中数字1400000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 6. 一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若m是方程的一个根．则的值为 ______． 12. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是_________． 13. 已知正六边形的边心距为，则它的半径为______. 14. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为______. 16. 我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数的排列规律，则的值为________． 17. 如图，在中，，正方形的顶点，分别在边和上，且，则正方形的面积与的面积之比为______. 18. 如图，在中，，，，⊙为的内切圆，，与⊙分别交于点，．则劣弧的长是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19～25题每小题8分，第26题10分，共66分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：； 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 小明根据题目，在直角中作出和，其中． （1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：是的，是边的______． （2）在(1)所作的图形中，若，，求的长． 22. 量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为，，，四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”，并根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查一共调查了______名学生，并补全条形统计图； （2）若该校共有初中学生名，请你估计该校初中学生对量子计算“基本了解”的人数； （3）某班有四位同学（3男1女）非常了解量子计算，学校准备从中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 23. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 25. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 （1）在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） （2）若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； （3）若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 26. 已知为轴正半轴上一点，交轴于，两点，交轴于，两点，点为劣弧上一个动点（点不与，重合），且， （1）如图，连接，取的中点，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； （2）如图2，连接，，，其中与轴交于点，平分交于点； ①求点的运动路径长； ②记，，求关于的函数关系式； （3）如图3，连接，，，求证：定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（五） 数 学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根的含义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：， 在，，，中， ，，是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加法判断即可． 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项正确，符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加法，掌握各自的运算法则是解决问题的关键． 3. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 4. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘（da），欣欣家国”为主题，以“益”字为题眼，用“兢兢”之姿生动描摹1400000000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌． 其中数字1400000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：1400000000用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A. 65次/分 B. 67.5次/分 C. 70次/分 D. 72.5次/分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数． 【详解】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选：C． 6. 一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再利用余角的定义即可求解． 【详解】解：由题意知：，， 得， 所以的余角为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查余角及角的和差关系，解答的关键是由图形得到的度数． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．设共有人，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得车有辆， 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得车有辆， 从而可得答案． 【详解】解：设共有人， 则， 故选：A． 8. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于度，求出，从而由圆周角定理得，最后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若m是方程的一个根．则的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 12. 若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，根据反比例函数上点的特点代入点和点，再根据已知条件可得出，解一元一次不等式即可求出答案． 【详解】解∶∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知正六边形的边心距为，则它的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，解直角三角形，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过作与， ，， ， 在中，，， ， 故答案为：． 14. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解． 【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴捞到鲤鱼的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，；由矩形的性质可得结合可求得，再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 16. 我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数的排列规律，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，通过观察，发现每一项的数据变号有规律，找出每一项的规律，即可求出每一项的系数，解题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出、、的值． 【详解】解：观察图中的数字排列规律，可得，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，正方形的顶点，分别在边和上，且，则正方形的面积与的面积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意可得和，结合可求得和以及，利用面积和差的关系即可求得和的比． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，⊙为的内切圆，，与⊙分别交于点，．则劣弧的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到，接着三角形角平分线的性质得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长． 【详解】解：，，， ， 为的内切圆， ，平分，平分， ， 劣弧的长． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式． 三、解答题（本大题共8个小题，第19～25题每小题8分，第26题10分，共66分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各式，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的括号内通分，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 小明根据题目，在直角中作出和，其中． （1）请你根据小明作图的痕迹，写出结论：是的，是边的______． （2）在(1)所作的图形中，若，，求的长． 【答案】（1）角平分线，垂线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作垂线，勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由作图痕迹可知，是的平分线，是边的垂线，即可得出答案． （2）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定可得，则．设则在中，由勾股定理得，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知，是的角平分线，是边的垂线． 故答案为：角平分线；垂线． 【小问2详解】 是边的垂线， ． 是的平分线，， ，． ， ． 设 则 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为． 22. 量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为，，，四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”，并根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查一共调查了______名学生，并补全条形统计图； （2）若该校共有初中学生名，请你估计该校初中学生对量子计算“基本了解”的人数； （3）某班有四位同学（3男1女）非常了解量子计算，学校准备从中选2位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图，如图： （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图种占和条形统计图中的人数是可得到总人数，通过的占可得到的人数，通过总人数减去、、的人数，可得到的人数，然后补全条形统计图； （2）根据条形统计图，有人，除以总人数，再乘以算出“基本了解”的人数； （3）根据要求来画出树状统计图，然后通过结果来得到结论． 【小问1详解】 解：（人）； ∴本次调查一共调查了名学生； 故答案为：， 类学生人数为：（人）， 类学生人数为：（人）， 【小问2详解】 （人）； 答：估计该校初中学生对量子计算“基本了解”的人数为； 【小问3详解】 画出树状图如下： 共有种等可能性，其中一男一女的占种， 故一男一女的概率为． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键． 23. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连结OA． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA． ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA． ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE． ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）5． 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形． ∴OF＝AE＝4cm． 又∵OF⊥CD， ∴DF＝CD＝3cm． 在Rt△ODF中，OD＝＝5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）180 （2）学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，然后求和即可得到答案； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水， 故答案为：180； 【小问2详解】 解：设乙同学分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， ， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 25. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 （1）在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） （2）若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； （3）若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函、反比例函数，二次函数的性质，勾股定理； （1）根据新定义联立，解方程，即可求解； （2）根据新定义得出函数的图象的“3系关联点”为，，函数的图象的“6系关联点”为，勾股定理表示出两点距离，根据等腰三角形的定义，分类讨论，解方程，即可求解； （3）根据函数的图象存在唯一的“m系关联点”得出，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，“2系关联点”即 ∴“2系关联点”在上， ①无解， ②，解得，则②的图象上存在“2系关联点” ③消去得，， ， 则③的图象上存在“2系关联点” 故答案为：②③． 【小问2详解】 解： 解得：或 ∴函数的图象的“3系关联点”为，， 解得： ∴函数的图象的“6系关联点”为， 设 ∴，， 当是等腰三角形时， ①当时，，此方程无解 ②当时，，此方程无解 ③当时， 解得： 【小问3详解】 解： 消去得， 解得：（为正整数，舍去）或 所以抛物线为 ∵当时，函数的最小值为， 对称轴为直线， ①当时，即，随的增大而减小，则最小值为 解得：，此时最小值为， ②当时，，此方程无解， ③当时，最小值为，则（舍去） 综上所述， 26. 已知为轴正半轴上一点，交轴于，两点，交轴于，两点，点为劣弧上一个动点（点不与，重合），且， （1）如图，连接，取的中点，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； （2）如图2，连接，，，其中与轴交于点，平分交于点； ①求点的运动路径长； ②记，，求关于的函数关系式； （3）如图3，连接，，，求证：定值. 【答案】（1），的最大值为； （2）①；② （3） 由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则， 由（1）可得，为等边三角形， ， ， 将绕点顺时针旋转至， ∴， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ，，三点共线， ， 过作于，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案； （2）①先证明是等边三角形，则，根据垂径定理，证明，由（1）得，即可,进而根据弧长公式，即可得到答案； ②证明得出，根据勾股定理求得，根据①解得,，代入化简即可求解． （3）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵为直径，且， ∴， 是的中点， ， 当三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形，则， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ∵ 点为劣弧上一个动点 ∴点的运动路径长为 ②∵ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵, ∴ ∴ 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的中位线定理的应用，含的直角三角形的性质，圆的基本性质，垂径定理的应用，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，旋转的性质，求弧长，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $