精品解析：浙江省台州市玉环市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

玉环市实验初级中学2023学年第二学期期中测试卷 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题有且只有一个答案正确，选错、多选和不选都不得分．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 4. 如图，在△ABC中，，，点D是AB边上的中点，连接CD，则CD的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 5. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线为（ ） A. B. C. D. 6. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（　　） A 50° B. 60° C. 65° D. 70° 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. ，ABDC B. C. ， D. 9. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．已知四边形中，，，是四边形的和谐线，且，则四边形的面积为（ ） A. B. 或4 C. 或4 D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 如图，在中，，平分交于点，则________． 13. 点和点都在直线上，则与的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）． 14. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，则∠AFE的度数为_________°． 15. 某校“校园之声”社团招新时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目，布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占计算加权平均数来作为最终成绩，则布布的最终成绩为______分． 16. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20~21题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，根据下列条件画出图形． （1）在图1中，画一个以格点为顶点，三条边长分别为，，的三角形； （2）在图2中，画一个以格点为顶点，面积为5的正方形． 19. 已知一次函数（b为常数）． （1）若图象经过，求b的值； （2）当时，函数有最小值3，求b的值． 20. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从八年级各班随机抽取7人进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分）．下面是其中两个班被抽取的学生的成绩： A班：78，82，83，83，83，84，88 B班：80，81，84，85，85，86，87 通过整理，得到数据分析表如图所示： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 A班 88 a 83 83 B班 87 b c （1）直接写出a，b，c值； （2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班学生对冬奥知识的了解情况比B班好”，但也有人说B班学生对冬奥知识的了解情况要好，请从统计量的角度给出两条支持B班好的理由． 21. 如图，如图，矩形的对角线、相交于点， （1）判断四边形的形状，并进行证明； （2）点E是否在的垂直平分线上？若在，请进行证明；若不在，请说明理由． 22. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 23. 一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． （1）根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 05 （2）观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； （3）对于三个数a，b，c，用表示这三个数中最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 24. 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：． （1）请你解答小明的这道题； （2）在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”） （3）如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由； （4）连接，． ①求证：是定值； ②求的最小值（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉环市实验初级中学2023学年第二学期期中测试卷 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题有且只有一个答案正确，选错、多选和不选都不得分．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【详解】解： A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确解答的关键． 2. 以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴以2，3，4为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误； B、∵， ∴以3，4，5为三角形的三条边长能组成直角三角形，故此选项正确； C、∵， ∴以4，5，6为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误； D、∵， ∴以5，6，7为三角形的三条边长不能组成直角三角形，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形． 3. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 如图，在△ABC中，，，点D是AB边上的中点，连接CD，则CD的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：∵，，点D是AB边上的中点， ∴CD＝AB＝5cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5. 将直线向上平移2个单位长度，得到的直线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将直线y＝－x＋4向上平移2个单位长度，得到的直线解析式为：y＝－x＋6， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 6. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减和乘除运算，解题的关键是根据二次根式的加减、乘除运算法则，进行运算，然后进行判断即可． 【详解】解：A．，错误，故不符要求； B．，错误，故不符合要求； C．，正确，故符合要求； D．，错误，故不符合要求． 故选：C． 7. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得∠BCA=∠BAC=65°，由三角形中位线定理可得EF∥BC，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，且∠B=50° ∴∠BCA=∠BAC=65° ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC ∴∠AFE=∠BCA=65° 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形中位线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键． 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. ，ABDC B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用矩形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．，ABDC， ∴无法判定四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B．∵OA＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD， ∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意； C．∵，， 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴四边形ABCD是平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意； D．∵， 四条边都相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形和矩形的判定，掌握矩形的判定方法是本题的关键． 9. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，故①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，即，故②错误； 由图象可得：当时，，故③错误； 当时，，故④正确； 综上分析可知：①④正确，共2个． 故选：B． 10. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．已知四边形中，，，是四边形的和谐线，且，则四边形的面积为（ ） A. B. 或4 C. 或4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是四边形的和谐线，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出四边形的面积． 【详解】解：∵是四边形和谐线， ∴是等腰三角形． ∵， 如图，当时，过点C作于点E，于点F， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴； 如图，当时， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 综上分析可知：四边形的面积为或4． 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．根据题中二次根式的被开方数为非负数列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵要使二次根式有意义 ∴ 解得： 故答案为：． 12. 如图，在中，，平分交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，再由平行线的性质得出，然后由角平分线定义求出，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13. 点和点都在直线上，则与的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再比较出3与−2的大小，根据函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵直线y＝−2x＋3中，k＝−2＜0， ∴此函数中y随x的增大而减小， ∵3＞﹣2， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，根据题意判断出函数的增减性是解答此题的关键． 14. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，则∠AFE的度数为_________°． 【答案】65 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明△BEC≌△DEC，得∠DEC=∠BEC=∠DEB=70°，再求∠AFE的度数即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA， ∵CE=CE， ∴△BEC≌△DEC， ∴∠DEC=∠BEC=∠DEB=70°， ∴∠AEF=∠BEC=70°， ∵∠DAC=45°， ∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°． 故答案是：65 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质． 15. 某校“校园之声”社团招新时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目，布布的三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占计算加权平均数来作为最终成绩，则布布的最终成绩为______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：布布的最终成绩为： ， 故答案为：90． 16. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或7 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 如图2中，当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或7． 故答案为：或7． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20~21题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据平方差公式，利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，根据下列条件画出图形． （1）在图1中，画一个以格点为顶点，三条边长分别为，，的三角形； （2）在图2中，画一个以格点为顶点，面积为5的正方形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，结合网格特点作图即可； （2）根据勾股定理，结合网格特点作边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：如图1，即为求作的三角形， 其中AB，BC，AC； 【小问2详解】 解：如图2，正方形DEFG即为所求， 其中边长为，面积为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图． 19. 已知一次函数（b为常数）． （1）若图象经过，求b的值； （2）当时，函数有最小值3，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数解析式，利用方程来求b的值． （2）将函数值带入解析式即可得出b的值． 【小问1详解】 ∵一次函数图象经过 ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴y随x的增大而减少 ∴当时，时 即 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式． 20. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从八年级各班随机抽取7人进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分）．下面是其中两个班被抽取的学生的成绩： A班：78，82，83，83，83，84，88 B班：80，81，84，85，85，86，87 通过整理，得到数据分析表如图所示： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 A班 88 a 83 83 B班 87 b c （1）直接写出a，b，c的值； （2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班学生对冬奥知识的了解情况比B班好”，但也有人说B班学生对冬奥知识的了解情况要好，请从统计量的角度给出两条支持B班好的理由． 【答案】（1）83；85；85 （2）B班学生对冬奥知识的了解情况要比A班好；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的概念分别求解即可； （2）从平均数和众数方面比较即可． 【小问1详解】 解：A班的平均分a为：， ∵将B班的成绩按从小到大的顺序排列为：80，81，84，85，85，86，87 ∴B班的中位数b为：85， ∵B出现次数最多的数据为85， ∴B班的众数c为：85； 【小问2详解】 解：B班的平均分为：， A班的平均数为83，B班的平均数为84，A班的平均数班的平均数， A班的众数为83，B班的众数为85，A班的众数班的众数， ∴B班学生对冬奥知识的了解情况要比A班好． 【点睛】本题考查平均数，中位数，众数和方差的求解以及运用以上数据做决策，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 21. 如图，如图，矩形的对角线、相交于点， （1）判断四边形的形状，并进行证明； （2）点E是否在的垂直平分线上？若在，请进行证明；若不在，请说明理由． 【答案】（1）菱形，证明见解析； （2）点E在的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）先证明该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）结合菱形的性质，证明得，即可作答； 本题考查矩形的性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【小问1详解】 证明：∵ 四边形是平行四边形， 矩形的对角线、相交于点， ， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：点E在的垂直平分线上． 理由：连接， 四边形为菱形， ， ∴ ∵在矩形中，，， ， 在和中， ， ， ． 点在的垂直平分线上． 22. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元 【解析】 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得： 解得 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金元． 由题意得：． 解得 ∵，随增大而减小 ∴当时，（元）． 答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元． 【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键． 23. 一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． （1）根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5 （2）观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； （3）对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求出y的值，然后进行描点，连线，画出图象即可； （2）根据图象求出y最小值；根据图象得出当时，求出x的取值范围即可； （3）根据函数图象分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的最小值，即可求出结果。 【小问1详解】 解：填表如下： x 0 1 2 y 2 1.5 1 0 1 函数图象，如图所示： 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当时，y有最小值； ， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， 联立， 解得：， ∴与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与的交点坐标为； 根据函数图象可知：当时，． 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， 当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义运算，画函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解题意． 24. 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：． （1）请你解答小明的这道题； （2）在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”） （3）如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由； （4）连接，． ①求证：是定值； ②求的最小值（直接写出答案即可）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）是．证明画图见解析 （4）①是定值，，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出． （2）证得，则在以为一条边的角的另一边上，当点与重合，与重合；当点与重合时，的长最长，可得出结论； （3）过作于，证明，得出．则可得出结论． （4）①延长交直线于，证得四边形是矩形，得出，，在中，得出，则答案得出． ②过作关于的对称点，连接，交直线于，则，由勾股定理求出即可得出答案． 【小问1详解】 证明：和是等边三角形， ，，，， ， 即， ， ． 【小问2详解】 解：是； 证明：，， ， 在以为一条边的角的另一边上， 当点与重合，与重合； 当点与重合时，的长最长，即为的长； 故点在一条线段上运动． 【小问3详解】 解：是． 证明：过作于， 四边形和四边形是正方形， ，，， ，， ， 又，， ， ． 又， 点是在与的距离为2的直线上，过作直线，即点在直线上运动． 【小问4详解】 ①延长交直线于，由（1）可得， ． ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， 在中，， 定值． ②过作关于的对称点，连接，交直线于，则， 在△中，，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$