精品解析：2024年湖南省长沙市立信中学九年级中考三模数学试题

立信中学2023-2024学年第二学期学业水平考试模拟试卷（三） 初三数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一．选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 化简的结果是（　　） A. 7 B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 经调查我市2024年参加中考学生人数为人，用科学记数法表示数据，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第一象限，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 8. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图， 是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为（ ） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 10. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 方程的解为________． 13. 如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为______m． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______． 16. 如图，点是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 21. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． (1)求证AD=ED； (2)若AC=AB，DE=3，求AC的长． 22. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． （1）八进制数3746换算成十进制数是_______； （2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 23. 如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． （1）证明是矩形； （2）求的面积． 24. 已知：如图，是的直径，为上一点，过作，为弧上一动点，连接、、，交与． （1）当为中点时，求证以、、、为顶点的四边形是菱形． （2）当时，设的长为，，求与的关系式． （3）在（2）的条件下，，，，自然数、满足以下关系，，，，求的长． 25. 已知将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点，研究发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．根据上述知识完成下列问题： （1）如图1，，，点绕顺时针旋转后，得到的点的坐标为______； （2）如图2，设，，点是反比例函数的图象上的动点，点绕顺时针旋转后得到的点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． （3）如图3，设，，点是二次函数图象上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立信中学2023-2024学年第二学期学业水平考试模拟试卷（三） 初三数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一．选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 化简的结果是（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意； B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意； C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意； D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 经调查我市2024年参加中考学生人数为人，用科学记数法表示数据，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 故答案为：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 5. 若点在第一象限，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出m、n的正负情况，再进行判断即可．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限． 故选：C． 6. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：将数据从小到大依次排列为：26，27，34，35，40， ∴中位数为第三个位置上的数即34． 故选：D． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为文，结合单价总价数量，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为株， 每株椽的价钱为文． 根据题意得：． 故选：B． 8. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，由三角板中角度的特点可得，则，即可判断A；由平角的定义即可判断B；过点F作，则，由平行线的性质得到，进而求出，即可判断C；再由平角的定义即可得到，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 如图所示，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴， ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为（ ） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】根据E、F分别是切点，可得，由此可得的周长． 【详解】解：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片， 根据切线长定理可得，，， 的周长 ， 故选：A． 【点睛】本题考查切线长定理，熟记概念是关键． 10. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解： 两边同时乘以，得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1：， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 13. 如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，圆形拱门所在圆的半径长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 设，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． 即圆形拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 15. 《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，由位似图形的性质可知四边形是正方形，得到，即得是四边形的外接圆直径，又由正方形的面积为，可得，利用勾股定理可得，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 16. 如图，点是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，，则由题意得，，，然后根据进行求解即可．熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：设，， ∴，， 则， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂及绝对值的性质， 根据特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂及绝对值的性质进行化简，然后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】先利用通分和同分母分式加法法则计算括号里的，在利用平方差公式和完全平方公式进行变形，最后进行约分求得最简结果，将其代入，即可求得最简值． 本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握运算法则． 【详解】解： ， 当时，． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 20. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 由题意得，选到的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 21. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． (1)求证AD=ED； (2)若AC=AB，DE=3，求AC的长． 【答案】(1)证明：∵AE是∠BAC的角平分线 ∴∠DAE=∠BAE， ∵DE∥AB ∴∠DEA=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE； (2)6. 【解析】 【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论． （2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长． 【详解】（1）略； （2）∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线 ∴AE⊥BC ∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°， ∵∠CAE=∠DEA， ∴∠C=∠CED， ∴DE=CD， ∴AD=DE=CD=3， ∴AC=6． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题． 22. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． （1）八进制数3746换算成十进制数是_______； （2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】（1）2022 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 ， 故答案为：2022； 【小问2详解】 根据题意有：， 整理得：， 解得n=9，（负值舍去）， 故n的值为9． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 23. 如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． （1）证明是矩形； （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得的长，进而即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，， 是矩形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 24. 已知：如图，是的直径，为上一点，过作，为弧上一动点，连接、、，交与． （1）当为中点时，求证以、、、为顶点的四边形是菱形． （2）当时，设的长为，，求与的关系式． （3）在（2）的条件下，，，，自然数、满足以下关系，，，，求的长． 【答案】（1）解∶连接，， 为直径，， ， 是中点， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为菱形． （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理证明，再证明，即可得出四边形为平行四边形，然后由，即可由菱形的判定定理得出结论． （2）连接，先证明，得，再证明，得，即，再代入即可求解． （3）先证明，得；再由；则，求解得，从而求得；；；，设，，，则，在中：；，然后根据，求得，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ 连接，如图所示∶ ，， ， ， ， 又为直径， ∴， 又∵， ， ， ∵，， ， ， ， 且， ． 【小问3详解】 解∶ ∴； ； ， ， ，为自然数， ∴或或， 解得：（舍去）或（舍去）或． ；； ；， 设，， 过点O作，连接， 则， ∵，，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中：由勾股定理，得 ； ∵，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．此题属圆与四边形的综合题目，掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 25. 已知将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点，研究发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．根据上述知识完成下列问题： （1）如图1，，，点绕顺时针旋转后，得到的点的坐标为______； （2）如图2，设，，点是反比例函数的图象上的动点，点绕顺时针旋转后得到的点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． （3）如图3，设，，点是二次函数图象上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的旋转即可得出答案； （2）分当和两种情况讨论，分别证明和 ，求出都等于． （3）连接，，将，绕点逆时针旋转得，，作轴于点，证明，利用待定系数法求出的函数表达式为：，设过且与平行的直线解析式为，由于，当直线与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解： 如图1，，， 轴，， 由旋转可得：轴，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 （Ⅰ）当时 过点作轴于，连接，过点作于，如图2 ， ， ， ，又， ， ， 故． （Ⅱ）当时 过点作轴于，过点作于如图 ， ， ， ，又， ， ． 综上所述：． 【小问3详解】 的面积有最小值， 如图4，连接，，将，绕点逆时针旋转得，，作轴于点， ，，， ，， ， 为等边三角形，此时与重合，即， 连接， ， ， 在和中， ， ， ，， 作轴于， 在中，， ， ， ，此时的函数表达式为：， 设过且与平行的直线解析式为， ， 当直线与抛物线相切时取最小值， 则， 即， ， 当时，得， ， 设与轴交于点，连接， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，反比例函数图象，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，是中考数学压轴题，综合性强，难度大，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $