精品解析：江苏省淮安市洪泽湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

洪泽湖初级中学2023-2024学年度第二学期期中测试八年级数学试卷 一、选择题．（每小题3分，合计30分） 1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 为了了解我市年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. B. 被抽取的名考生 C. 被抽取的名考生的中考数学成绩 D. 我市年中考数学成绩 3. 下列各式不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 5. 下面各项不能判断是平行四边形是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 6. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 7. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 8. 下列调查中，适合普查的是（　　） A. 一批手机电池的使用寿命 B. 中国公民保护环境的意识 C. 你所在学校的男、女同学的人数 D. 端午节期间苏州市场上粽子的质量 9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B=40°，则∠BDE的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 140° D. 150° 10. 如图，四边形中，，点M、N分别为、上的动点（含端点），E、F分别为、的中点，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 调查市场上某品牌酸奶的质量情况，采用调查方式是________．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 当________时，分式有意义. 13. ．_______ 14. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 15. 我国不同年份的国内生产总值如下： 年份 1970 1980 1990 2000 2010 2020 国内生产总值/亿元 2279.7 4587.6 18872.9 100280.1 412119.3 1015986.2 请你选用合适的统计图反映我国经济建设的成就，应选用_____统计图为宜． 16. “a是实数， ”这一事件是_________事件． 17. 平行四边形中，，则______度． 18. 如图，矩形中，，，是上的一个动点，于，于，则的值为__________． 三、解答题．（共8小题，共66分） 19. 通分 （1） （2） 20. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0596 0.590 0.605 _______ （1）填写表中的空格； （2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； （3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 21. 某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图； （2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度； （3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？ 22. 如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△，画出△； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称△. （3）作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△的内部（不含落在△的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度） 23. 已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 24. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE=CF． （1）求证：OE=OF； （2）连接BE、DF，若BD平分∠EBF，试判断四边形EBFD的形状，并给予证明． 25. D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 26. 我们定义：只有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形． （1）四边形是等对角四边形，，若，，则_____，______． （2）如图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等． （3）如图③，在平行四边形中，，，，点E为的中点，过点E作，交于点F．点P是射线上一个动点，设，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洪泽湖初级中学2023-2024学年度第二学期期中测试八年级数学试卷 一、选择题．（每小题3分，合计30分） 1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2. 为了了解我市年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（ ） A. B. 被抽取的名考生 C. 被抽取的名考生的中考数学成绩 D. 我市年中考数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，解题的关键是明确考查的对象． 【详解】解：根据定义，样本是抽取名考生的中考数学成绩， 故选：． 3. 下列各式不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的概念逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是最简分式，本选项不符合题意； B、，所以不是最简分式，本选项符合题意； C、 是最简分式，本选项不符合题意； D、是最简分式，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简分式的概念，属于基础概念题型，熟知定义是关键． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可． 【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项不符合题意， B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项符合题意， C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项不符合题意， D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 下面各项不能判断是平行四边形是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C 6. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质、菱形的判定、三角形全等的判定等，掌握相关知识点是解题关键． 由矩形性质得到、，结合中点得到，用证明，得到，同理可得，四边形是菱形得证． 【详解】解：由题画图，得 如图，四边形是矩形点分别是中点． 四边形是矩形， ， ， 点分别是的中点， ， 又， ， ∴在和中， ， （）， ， 同理可得， 四边形是菱形， 故选：B． 7. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 详解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B． 点睛：本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点． 8. 下列调查中，适合普查的是（　　） A. 一批手机电池的使用寿命 B. 中国公民保护环境的意识 C. 你所在学校的男、女同学的人数 D. 端午节期间苏州市场上粽子的质量 【答案】C 【解析】 【详解】一批手机电池的使用寿命适合抽样调查； 中国公民保护环境的意识适合抽样调查； 你所在学校的男、女同学的人数适合普查； 端午节期间苏州市场上粽子的质量适合抽样调查， 故选C. 9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B=40°，则∠BDE的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 140° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知DE是△ABC的中位线，即DE∥BC，根据平行线的性质即可求出∠BDE的度数为140°． 【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， 即：∠B+∠BDE=180°， ∴∠BDE=180°-∠B=180°-40°=140°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，以及平行线的性质的应用，掌握中位线的性质是解题的关键． 10. 如图，四边形中，，点M、N分别为、上的动点（含端点），E、F分别为、的中点，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作DH⊥AB于H，连接DN，得到BH=CD=5，得到AH=3，根据勾股定理求出DH，根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：作DH⊥AB于H，连接DN， 则四边形DHBC为矩形， ∴BH=CD=5， ∴AH=3， ∵E、F分别为DM、MN的中点， ∴EF=DN， 在Rt△ADH中，DH= =4， 当点N与点H重合，点M与点B重合时，DN最小，此时EF最小， ∴EF长度的最小值=DN=2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 调查市场上某品牌酸奶的质量情况，采用调查方式是________．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：调查市场上某品牌酸奶的质量情况，采用调查方式是抽样调查． 故答案为：抽样调查． 12. 当________时，分式有意义. 【答案】 【解析】 【详解】∵要使分式有意义, ∴x-2≠0, ∴x≠2. 故答案是：≠2. 13. ．_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式子，结果仍相等是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 15. 我国不同年份的国内生产总值如下： 年份 1970 1980 1990 2000 2010 2020 国内生产总值/亿元 2279.7 4587.6 18872.9 100280.1 412119.3 1015986.2 请你选用合适的统计图反映我国经济建设的成就，应选用_____统计图为宜． 【答案】折线 【解析】 【分析】此题考查了统计图的选择，要求我们熟练掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图的特点． 根据折线统计图表示的是事物的变化情况，即可得出答案． 【详解】解：反映我国经济建设的成就，应选用折线统计图为宜． 故答案为：折线． 16. “a是实数， ”这一事件是_________事件． 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据实数的乘方法则、事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“a是实数， ”这一事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 17. 平行四边形中，，则______度． 【答案】130 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， 又∵， ， 又， ． 故答案为：130 【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 18. 如图，矩形中，，，是上的一个动点，于，于，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，勾股定理的应用．过点作于，连接，根据勾股定理列式求出的长度，再根据的面积求出，然后根据的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ，， ， ， 即， 解得， 在矩形中，， ， ． 故答案为：． 三、解答题．（共8小题，共66分） 19. 通分 （1） （2） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【小问1详解】 解：∵最简公分母为， ∴，； 【小问2详解】 解：∵最简公分母为， ∴， ． 20. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0590 0.605 _______ （1）填写表中的空格； （2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； （3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】（1）298；0.601 （2）0.60 （3）3个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：298；0.601； 【小问2详解】 解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． 【小问3详解】 解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 21. 某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图； （2）C组学生的频率为 ，在扇形统计图中D组的圆心角是 度； （3）请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名？ 【答案】（1）50；（2）0．32；72（3）360 【解析】 【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可； （2）由图表得出C组学生的频率，并计算出D组的圆心角即可； （3）根据样本估计总体即可． 【详解】（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50，B组的频数=50﹣4﹣16﹣10﹣8=12， 补全频数分布直方图，如图： （2）C组学生的频率是0.32；D组的圆心角=×360°=72°； （3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人， 该校初三年级体重超过60kg的学生=×100%×1000=360（人）． 22. 如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△，画出△； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△. （3）作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△的内部（不含落在△的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5.5＜x＜8 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、，则可得到△； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点即可得到△； （3）先利用关于x轴的对称点的坐标特征写出P点坐标，再描点得到P点，然后观察图形可判断x的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，△为所作； 【小问2详解】 解：如图，△为所作； 【小问3详解】 解：如图，点P为所作； x的取值范围为5.5＜x＜8． 故答案为：5.5＜x＜8． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 23. 已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和定理，通过证明三角形全等可以等到，再由对角线相等的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 24. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE=CF． （1）求证：OE=OF； （2）连接BE、DF，若BD平分∠EBF，试判断四边形EBFD的形状，并给予证明． 【答案】（1）详见解析；（2）四边形EBFD是菱形 【解析】 【分析】（1）连接BE、DF，证明四边形EBFD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解. （2）根据BD平分∠EBF，可得∠1=∠2，由平行线的性质可得∠3=∠2，等量代换可得∠1=∠3，即可证明BE=ED，即可判定四边形EBFD的形状. 【详解】解：（1）证明：连接BE、DF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， 又∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∴OE=OF； （2）解：四边形EBFD是菱形．理由如下： ∵BD平分∠EBF， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∴BE=ED， ∴平行四边形EBFD是菱形． 【点睛】考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键. 25. D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 【答案】（1）见解析 （2）时，平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件． （1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形； （2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明: ∵分别是边的中点, 且， 同理，且， ∴且 ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当时，平行四边形是菱形.理由为： 分别是边的中点, ∴， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 26. 我们定义：只有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形． （1）四边形是等对角四边形，，若，，则_____，______． （2）如图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等． （3）如图③，在平行四边形中，，，，点E为的中点，过点E作，交于点F．点P是射线上一个动点，设，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、含的直角三角形和矩形的判定和性质；解决本题的关键通过作辅助线运用以上的性质即可得出结果． （1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出； （2）根据题目已给信息作图即可； （3）过D点作于H，则四边形为矩形，根据含的直角三角形的性质求出和，分两种情况讨论进行求值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是等对角四边形，， ∴， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 由题意可得：等对角四边形如图所示 【小问3详解】 如图③，作于H， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 如图③，当时，， ∴， 在含的中， ， 如图④，连接， ∵， ∴为等边三角形， 当， 在含的中 ， ∴． 综上所述或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$