专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（16题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类 目录 题型一：奇偶性基础 1 题型二：单调性基础 3 题型三：周期性基础 4 题型四：中心与轴对称应用：左右平移 5 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 6 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 7 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 7 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 8 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 9 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 10 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 10 题型十二：函数型不等式：“优函数”型 11 题型十三：类周期型函数 12 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 13 题型一：奇偶性基础 判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）： 1.加减型： 奇+奇→ 奇 偶+偶→ 偶 奇-奇→ 奇 偶-偶→ 偶 奇+偶→ 非 奇-偶→ 非 2.乘除型（乘除经验结论一致） 奇X奇→ 偶 偶X偶→ 偶 奇X偶→ 奇 奇X偶X奇→ =偶 简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变 3.上下平移型： 奇+c→ 非 偶+c→ 偶 4.复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数， 是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为 A． B． C． D． 5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B． C．12 D．10 6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 题型二：单调性基础 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（    ） A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 2.（23-24高三·福建厦门·模拟）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高三·浙江·模拟）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5.（23-24高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三：周期性基础 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（    ） A． B．-1 C．0 D．1 2.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 3.（23-24高三 ·湖南衡阳·阶段练习）已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（    ） A． B． C．2 D．1 4.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（   ） A． B． C． D． 题型四：中心与轴对称应用：左右平移 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．6 5.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ） A． B． C． D． 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移 平移变换：左右或者上下 左加右减 1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④ 2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 4.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（ ） A． B． C． D． 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数关于直线对称，则 ． 2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为 . 3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是 ． 4.（广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________. 5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考）.已知，，，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 轴变换，又叫直线镜面变换： 1、 1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 . 2.（2023·高三单元测试）函数与的图象关于直线对称,,则 ． 3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则 ． 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 函数变换，又叫原点变换： 1.（湖北省武汉二中2022-2023学年高三下学期4月第三次测试数学试题）已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.（四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题）已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________. 3.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______. 4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________. 5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________． 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 类比正弦： ①两中心 ②两垂直轴 ③一个中心 ，一条轴 1.（2022·广东惠州·模拟）已知是定义在上的奇函数， 且， 若，则 （  ） A．3 B．0 C．3 D．2018 2.（2022·广西南宁·一模）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，．则的值为（　　） A．2017 B．1010 C．1008 D．2 3.（2023·山东·一模）已知是定义在上的奇函数,且为偶函数,若,则 （    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 4.（22-23高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．2020 5.（2023·广东梅州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．10 B．20 C．15 D．5 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大． 1.（21-22高三·云南红河·模拟）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2022广西柳州·一模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（    ）(为自然对数的底) A． B． C． D． 4.（2023·河北衡水·一模）若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为 A．0 B．2 C．4 D．6 5.（22-23高三下·上海宝山·期中）若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是… A． B． C． D． 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 传递中心，对称轴，与周期 若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为， 若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为， 若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为. 1.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数的定义域均为R，且满足则（    ） A．3180 B．795 C．1590 D．1590 2.（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 3.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是 ．（只填序号） ①为偶函数；②为奇函数；③；④. 4.（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，是的导函数，，，则以下命题：①是偶函数；②；③的图象的一条对称轴是；④，其中正确的序号是 ． 5.（2023·四川南充·二模）设定义在上的函数和.若，，且为奇函数，则 . 题型十二：函数型不等式：“优函数”型 有，则称为优函数。 类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。 1.（2024年高考1卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2021·四川德阳·一模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2020高三·全国·专题练习）已知是定义在R上的函数，，且对任意都有：与成立，若，则 ． 4.（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为. . 5.（22-23高三·北京顺义·模拟）如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中，所有正确结论的序号是 ． 题型十三：类周期型函数 1.（2023·上海·统考模拟预测）在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 . 2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 . 3.已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 4.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为 ． 5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在上的函数满足. （i）___________. （ii）若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。 1.已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 2.（山西省朔州市怀仁市第一中学2022届高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（       ） A． B．4 C．8 D．或8 3.（上海市杨浦区统考2023届高三上学期考试数学试题）已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________ ① 对任何，都有； ② 函数的值域是； ③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条 件是“存在，使得”； 4.（湖南省衡阳市第八中学2022届高三第三次月考数学试题）定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得； 5.（上海市交大附中2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）． （1）任取，都有； （2）函数在上单调递增； （3），对一切恒成立； （4）函数有个零点； （5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类 目录 题型一：奇偶性基础 1 题型二：单调性基础 5 题型三：周期性基础 7 题型四：中心与轴对称应用：左右平移 9 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 11 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 14 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 17 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 19 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 22 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 24 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 26 题型十二：函数型不等式：“优函数”型 30 题型十三：类周期型函数 32 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 36 题型一：奇偶性基础 判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）： 1.加减型： 奇+奇→ 奇 偶+偶→ 偶 奇-奇→ 奇 偶-偶→ 偶 奇+偶→ 非 奇-偶→ 非 2.乘除型（乘除经验结论一致） 奇X奇→ 偶 偶X偶→ 偶 奇X偶→ 奇 奇X偶X奇→ =偶 简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变 3.上下平移型： 奇+c→ 非 偶+c→ 偶 4.复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】若，则， 则是偶函数，故A错误； 若，则,则是偶函数，故B错误； 若，则，则是奇函数，故C正确； 若，则， 则是偶函数，故D错误. 故选：C 2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意可得，解得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，，故选：B. 4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数， 是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把 转化为，求解的最小值可得. 【详解】因为是的奇函数，所以，所以； 因为，所以可得， 此时，易知为增函数. 因为 所以，即， 因为，所以.故选A. 5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B． C．12 D．10 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即，即或， 显然函数的定义域为关于原点对称， 且当时，有，从而有， 当时，有，但， 所以，即， 所以. 故选：D. 6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 题型二：单调性基础 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（    ） A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 【答案】C 【解析】根据函数单调性的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】因为f(x)在[a，b]上是增函数， 对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确， 而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b). 故不正确的是：. 故选：. 2.（23-24高三·福建厦门·模拟）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集. 【详解】不妨设， ， 故在上单调递增， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 故为偶函数， 因为，所以， ， 所以，解得或. 故选：A 3.（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解. 【详解】由可得， 即，也即， 当时，，当时，， 所以函数在单调递增， 又因为为偶函数，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，且， 所以由得解得, 故选:A. 4.（22-23高三·浙江·模拟）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误. 【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误； 对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确； 对于命题③，设，则，， ∴，∴，故单调递减，命题③正确. 对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误. 故选：C 5.（23-24高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解. 【详解】由题意知：， 可得， 且，即， 令，不妨设，可得，则， 即，所以在上单调递减， 则不等式，且，转化为， 因为，所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型三：周期性基础 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解. 【详解】将用替换，用替换， 由对任意实数，都有， 可得，由， 所以，即， 所以，所以函数的周期， 令，则，因为，所以， 所以，故选：D 2.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 【答案】A 【分析】根据对称性可判断周期，结合周期可得奇偶性. 【详解】∵为偶函数，∴， 又故， 因此可得，所以是以10为周期的周期函数， 结合周期可得。是一个偶函数．故选：A. 3.（23-24高三 ·湖南衡阳·阶段练习）已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】令，得，然后做恒等变形，得出函数的周期，然后求出一个周期内的各个值即可. 【详解】因为且， 令，得，则， 所以，即，所以， 所以，故函数是周期为6的周期函数. 令，，得，则， 令，，得，则， 由，得，，，，所以， 又，故由函数的周期性知，， 故选：D. 4.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知关系式可推导得到，可知周期为，结合的值可求得，由可得结果. 【详解】， ，是周期为的周期函数， ，，. 故选：B. 5.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意计算出、、、的值，然后根据计算出的值得出规律，并根据得出的规律求出的值. 【详解】因为，，所以， 则，，，由上述函数值可知： 当、、、、、时，函数的值按照、、、循环， 故，故选：D. 题型四：中心与轴对称应用：左右平移 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值. 【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且， 又为偶函数，，则关于对称，所以②， 由①②可得，即，所以， 于是可得，所以的周期， 则，所以为偶函数 则，所以，所以 所以，解得，所以当时， 所以. 故选：B. 2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数的周期性，及在上的单调性即可判断作答. 【详解】由为奇函数，得，即， 又由为偶函数，得，即， 于是，即，因此的周期为8， 又当时，，则在上单调递增， 由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称， ，，， ，显然，即有，即， 所以a，b，c的大小关系为.故选：D 3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即， 又为奇函数，则，即有，亦即， 因此，即，由，得， 则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数， 显然，而没有条件能求出，即CD错误； ，没有条件能求出，A错误； 由，得，即，所以，B正确. 故选：B 4.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性得出函数的周期，从而求值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，所以有， 由为偶函数可得：， 故有 即，，故， 所以周期， 故 故选：A 5.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性可确定图象关于直线和点对称，由此可推导得到结果. 【详解】为偶函数，，图象关于直线对称， ； 为奇函数，，图象关于点对称； . 故选：A. 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移 平移变换：左右或者上下 左加右减 1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】解：（法一）根据为奇函数，得到关于对称，再由是上的奇函数，得到过，然后由为偶函数，得到关于对称，再结合推出的周期为4即可.（法二）举例判断； 【详解】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称， 又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有； 又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有， 又，所以，所以周期为4， 所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确. （法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确. 故选：D. 2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 令可得， 又因为是偶函数，所以， 令则有， 中令可得， 所以， 故选:A. 3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】C 【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C. 【详解】由题意知是奇函数，即， 即，即， 故的图象关于点对称，B结论正确； 又是偶函数，故， 即，故的图象关于直线对称，A结论正确； 由以上可知，即， 所以，则， 故的一个周期为8，D结论正确； 由于，令，可得， 而的图象关于直线对称，故，C结论错误， 故选：C 【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决. 4.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 即，即函数图象关于对称，则， 因为为奇函数，所以， 即函数图象关于点对称， 则， 所以，则，所以函数以4为周期， ， 因为，所以， 即，即， 也即， 令，则有，所以， 由得，所以以4为周期， 所以， 所以，C正确， 对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4， 且关于点对称， ，故A错误； ，B错误； ，D错误， 故选:C. 5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数，得到，两边同时求导得到的图象关于直线对称，同理由为偶函数，得到函数的图象关于点对称，两者联立得到 为周期函数，且周期为求解. 【详解】解：因为为奇函数， 所以，即， 两边同时求导，则有， 所以的图象关于直线对称． 因为为偶函数， 所以，即， 两边同时求导，则有， 所以函数的图象关于点对称． 所以，，， 所以，函数为周期函数，且周期为， 则有，， 所以． 故选：B. 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】先通过定义域关于直线对称求出，再通过求出，证明函数关于直线对称后，代入值求即可. 【详解】函数的定义域为， 又函数关于直线对称，即定义域也关于直线对称， ，，解得， 证明：关于直线对称，， 故关于直线对称，.故答案为：. 2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为 . 【答案】、 【分析】利用函数的对称性可得出方程另外两根. 【详解】因为定义在上的函数满足， 则函数的图象关于直线对称， 因为方程有且仅有三个根，且为其一个根，则为该方程的一根， 在等式中，令，可得， 因此，方程的另外两根为、. 故答案为：、. 3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以， 当时，，所以在上是增函数. 因为，所以， 即，所以. 故答案为：. 4.（广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________. 【答案】 【分析】 易知：为偶函数，若要若函数有且只有一个零点，则，解得：，根据题意，直线过定点：，则点在以线段为直径的圆上，再根据圆外一点到圆上最短距离即可得解. 【详解】 由可得为偶函数， 若要若函数有且只有一个零点， 根据偶函数的性质有， 解得：，故点 直线过定点，定点：， 由点在动直线上的投影为点 则点在以线段为直径的圆上，圆心为，半径， 所以.故答案为：. 5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考）.已知，，，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用奇偶性的定义可知在为R上的偶函数，再利用导数可知在区间单调递增，于是，，即为，由函数的性质可得，，从而等价转化为，恒成立，不等号两侧分别构造函数，求得构造的左侧函数的最大值及右侧函数的最小值，即可求得实数m的取值范围． 解：函数的定义域为， 为R上的偶函数，又，，在R上单调递增，又， ∴当时，，在区间单调递增． 不等式，由偶函数性质可得：， 即，由函数的单调性可得：，， ，恒成立，令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ；令，，， ，故在区间单调递减， ，，故选：B 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 轴变换，又叫直线镜面变换： 1、 1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解. 【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则， 定义域为，且在上单调递减， 令，由，得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故答案为：（也正确）. 2.（2023·高三单元测试）函数与的图象关于直线对称,,则 ． 【答案】 【分析】根据两个图象关于直线对称,即与互为反函数,即是将解出的的值,解出即可. 【详解】解:由题意知与的图象关于直线对称, 故与互为反函数, 的值即是纵坐标为5时的的值, 令, 解得或(舍), 即.故答案为: 3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数性质可得，进而得到关于对称，结合已知与的对称关系，确定的对称中心，即可得结果. 【详解】由题设，若，则， 所以关于对称， 又与关于直线对称，则关于对称， 所以. 故答案为：2 4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图像关于直线 对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像， 如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为， 所以在点处的切线的倾斜角为，则，解得， 所以的取值范围为.故答案为： 5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解 【详解】在直线：上取两点， 点，关于对称的点分别为， 点关于直线对称的点为） 设直线关于直线对称的直线为，则过点， 则，直线的方程为，即 由得, 因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为 设切点为，则解得故答案为： 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 函数变换，又叫原点变换： 1.（湖北省武汉二中2022-2023学年高三下学期4月第三次测试数学试题）已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】是奇函数，， 易知均为减函数，故且在上单调递减， 不等式，即， 结合函数的单调性可得，即， 设，，故单调递减，故， 当，即时取最大值，所以.故选：. 2.（四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题）已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________. 【答案】 【分析】 证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果． 【详解】 显然函数定义域是， ， ∴的图象关于点对称， 原不等式可化为， 即，(*) 设，则， ∵，∴，∴， ∴，即， ，由得， ∴，∴是增函数， 不等式(*)化为，(**) 令，∵，∴，不等式(**)化为，， 问题转化为存在，使不等式成立，当时，的最小值为2． ∴．故答案为：． 3.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】 先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围. 【详解】，令，定义域为关于原点对称，∴， ∴为奇函数，∴，∴， ，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， ∴，，，∴， ∴，故答案为：. 4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________. 【答案】10 【分析】 由已知得到函数是关于点对称，函数经过化简也关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值. 【详解】 因为函数满足，即满足， 所以是关于点对称， 函数关于点对称， 所以函数与图像的交点也关于点对称， 故交点成对出现，且每一对点都关于对称， 故. 故答案为：10. 5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】 令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围． 【详解】 函数，若存在使得不等式成立， 令，， 所以，为奇函数． 不等式，即， 即， 所以， 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以在上为增函数， 由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， （1），（4），所以，， 所以由题意可得， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 类比正弦： ①两中心 ②两垂直轴 ③一个中心 ，一条轴 1.（2022·广东惠州·模拟）已知是定义在上的奇函数， 且， 若，则 （  ） A．3 B．0 C．3 D．2018 【答案】C 【分析】先分析推理得到即得函数的周期为4，再求得，再求 的值. 【详解】为的奇函数， 且，又， ， 是周期为4的函数，又， ，， ， . 故选：C 2.（2022·广西南宁·一模）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，．则的值为（　　） A．2017 B．1010 C．1008 D．2 【答案】B 【分析】由偶函数可得，结合可得函数是周期为2的周期函数，于是，由周期性可得所求的值． 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 因为，所以， ∴是周期为2的周期函数， ∴， 又， ∴于是， ∴． 故选：B． 3.（2023·山东·一模）已知是定义在上的奇函数,且为偶函数,若,则 （    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】C 【分析】，得，的周期为4，又由，，进而求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，①， 为偶函数，②， 在②式中，令用替代，则，③， 在①式中，令替代，则④， ，再根据②式关系，得 综上所述，得，的周期为4， 由已知得，是定义在上的奇函数，则，， ，， ，得， = 答案选C 【点睛】本题属于函数的周期性和单调性的综合运用，难点在于从等式中得到以下关系：，有一定的运算量，属于一般题. 4.（22-23高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．2020 【答案】B 【解析】根据奇偶性与可得函数的周期为4,再根据性质计算即可. 【详解】因为奇函数满足,即. 故周期为4.故,因为.故原式 . 令,则. 令,则. 又奇函数故. 故. 故选：B 5.（2023·广东梅州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．10 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值 ，，即可求和. 【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于 对称，又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即，则， 那么，所以2是函数的一个周期， 因为是定义在上的奇函数，所以，且， 所以，， 所以. 故选:A 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大． 1.（21-22高三·云南红河·模拟）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，关于原点对称的函数解析式，，根据题意只需，与，有交点，参变分离后，结合基本不等式求出，从而求出实数m的取值范围. 【详解】当时，，设，关于原点对称的函数解析式为， 当时，，，故， 故，， 要想存在“隐对称点”，则，与，有交点， 联立得，，即， 而，当且仅当时取等号， 故实数m的取值范围是. 故选：B 2.（2022广西柳州·一模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题中的问题转化为方程在上有解，即方程在有解的问题处理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围． 【详解】函数与的图像上存在关于轴对称的对称点， ∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解． 设，，则两函数的图象有公共点．由得．若为的切线，且切点为， 则有，解得，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足． 所以实数的取值范围是．故选A． 3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（    ）(为自然对数的底) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为关于轴对称的函数为转化为与的图象有交点，即方程有解，对、、进行讨论可得答案. 【详解】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意； 时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 4.（2023·河北衡水·一模）若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为 A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】分析：由题可知当时，与恰有两个交点.根据函数的导数确定的图象，即可求得实数的值. 详解：由题可知，当时，与恰有两个交点.       函数求导（） 易得时取得极小值；时取得极大值 另可知，所得函数图象如图所示. 当，即时与恰有两个交点. 当时，恰好有两个“孪生点对”，  故选A. 5.（22-23高三下·上海宝山·期中）若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是… A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则对于任意，有解，即有解．即有解，因为（）具有对称性，故有，即有m<t，即有，由于,故，选A. 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 传递中心，对称轴，与周期 若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为， 若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为， 若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为. 1.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数的定义域均为R，且满足则（    ） A．3180 B．795 C．1590 D．1590 【答案】D 【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和. 【详解】由，则，即， 由，则，即， 又， 即， 所以，故， 综上，，则，故关于对称， 且有， 令，则，即的周期为2， 由知：关于对称且， 所以，即，则， 由，可得，则， 所以则；则， 依次类推：，，……，， 所以. 故选：D 2.（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据的图象关于对称得到，，然后结合，得到的周期为4，再通过赋值得到，，，，最后根据周期求值即可. 【详解】因为的图象关于对称，所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以的周期为4， 当时，，所以，， 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 所以. 故选：B. 3.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是 ．（只填序号） ①为偶函数；②为奇函数；③；④. 【答案】①④ 【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项A；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项B；根据的性质分析可得，再根据的周期性即可判断选项C；结合函数的周期即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 又因为，则有， 且是奇函数，则，可得，即， 则， 即，所以是周期为4的周期函数， 因为，则， 可得， 故也是周期为4的周期函数． 对于①：因为，则，即， 所以，所以为偶函数．故①正确； 对于②：∵ ， ∴，故②错误； 对于③：因为，令，即，则， 又因为，令，所以， 令，则，即， 即， 所以，所以③错误； 对于④：因为， 所以 ， 所以，所以④正确． 故答案为：①④． 4.（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，是的导函数，，，则以下命题：①是偶函数；②；③的图象的一条对称轴是；④，其中正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据奇函数的定义，利用复合求导公式，可判断①正确； ②根据题意，赋值即可求出②正确； ③利用与的关系，结合复合函数求导公式可推出的对称中心是，③错误 ④可证明是周期为的周期函数，进一步求出即可求得答案. 【详解】对于①，由为定义在上的奇函数可知，则， 即，，即，为偶函数①正确； 对于②，对赋值x＝1，得，故②正确； 对于③，由与可知， ，则（c为常数）， 令x＝1，则c＝0，所以， 故，则关于中心对称，由题意可知不是常函数，故不是其对称轴，③错误； 对于④，为定义在上的奇函数，则，又，， 则，，，则的周期T＝4， 故，故④正确． 故答案为：①②④． 5.（2023·四川南充·二模）设定义在上的函数和.若，，且为奇函数，则 . 【答案】 【分析】由，，可得，再结合为奇函数，可得，从而可得函数是以为周期的一个周期函数，求出即可得解. 【详解】因为，所以， 即， 又因，所以，即， 因为为奇函数，所以，且， 所以，则， 所以函数是以为周期的一个周期函数， 由，得， 则， 所以 . 故答案为：. 题型十二：函数型不等式：“优函数”型 有，则称为优函数。 类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。 1.（2024年高考1卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B 2.（2021·四川德阳·一模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据奇偶性对不等式化简，再判断函数的单调性，然后利用单调性将不等式转化为，从而可求出实数的取值范围 【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数， 所以可化为，即， 任取，且，则 ，因为，所以，所以，即， 所以在上为增函数，所以由，得， 所以，所以，即实数的取值范围是，故选：D 3.（2020高三·全国·专题练习）已知是定义在R上的函数，，且对任意都有：与成立，若，则 ． 【答案】1 【解析】根据，得到，再结合与成立，可推理出，，两者结合进而推理出，得到是以1为周期的周期函数求解. 【详解】因为，所以． 所以， ， 所以，， 所以， 所以，所以是以1为周期的周期函数． 所以． 故答案为：1 4.（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为. . 【答案】 【分析】根据，得出，从而求出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：因为， 所以 ， 又因为，所以， 所以， 所以 ， 所以． 故答案为：． 5.（22-23高三·北京顺义·模拟）如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①计算出，故，得到①正确； ②赋值法得到，，依次类推得到； ③举出反例； ④由在上单调递减，得到，整理变形后相加得到，即，④正确. 【详解】因为， 所以 ， 故，故是优函数，①正确； 因为为优函数，故，即， ，故， 同理可得，……，，②正确； 例如，满足， 即，为优函数，但在上单调递减， 故③错误； 若在上单调递减， 任取，， 则，即， 变形为， 两式相加得：， 因为，所以， 则为优函数，④正确. 故答案为：①②④ 题型十三：类周期型函数 1.（2023·上海·统考模拟预测）在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算. 【详解】∵，即 对，则 ， 故对，则， ∵，则有： 1.当时，则， 可得，不成立； 2.当时，则， 可得，则， 若，解得，符合题意； 特别的：例如，取，则，解得； 例如，取，则，解得； 故； 3.当时，则， 可得，不成立； 4.当时，则， 可得，则， 若，解得，符合题意； 特别的：例如，取，则； 例如，取，则； 故； 5.当时，则， 可得，不成立； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值. 【详解】当时，，即，； 当时，，函数周期为2， 画出函数图象，如图所示： 与函数恰有个不同的交点， 根据图象知，直线与第个半圆相切， 故，故， . 故答案为：. 3.已知且方程恰有两解.则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】 构造函数g（x）＝f（x）-a＝ 作出函数g（x）的图象, 若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点， 结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数 有两个交点. 故答案为 4.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为 ． 【答案】2或3. 【详解】由题意得，当时，直线的方程为：，其与时的图象只有一个交点，当时，，则将直线的方程代入到中，得，由得， ，当时， ，在定义域内，此时在时，直线与有两个交点，综合有三个交点；当时， ，不在定义域内，此时在时，直线与有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与的图象的公共点个数为2或3. 5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在上的函数满足. （i）___________. （ii）若方程有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 （i）根据解析式，利用递推法即可得出； （ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得. 【详解】 （i） ; （ii）时， 所以的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示. 已知; 由图可知若方程有且只有两个解， 则实数k的取值范围是， 故答案为：； 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。 1.已知函数当时，，当时，，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 根据当时，，可得当时，函数为偶函数，再根据当时，，可得当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可，作出函数在时的函数图像，分和两种情况讨论，当是，结合图像根据临界点即可得出答案. 【详解】 解： 因为当时，， 所以当时，函数为偶函数， 又当时，， 则当时，， 则当时，函数可由当时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可， 作出函数在时的函数图像，如图所示， 当时，在区间上恰有三个不同的实数解，符合题意； 当时，当时，在上为增函数， 所以， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 当函数过点时，， 结合图像，若关于的方程在区间上恰有三个不同的实数解， 则或， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 2.（山西省朔州市怀仁市第一中学2022届高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（       ） A． B．4 C．8 D．或8 【答案】D 【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在时的图象，如图所示， 设， 则关于的方程的方程等价于 解得：或， 如图， 当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况: （1），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为8； （2），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为. 3.（上海市杨浦区统考2023届高三上学期考试数学试题）已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________ ① 对任何，都有； ② 函数的值域是； ③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条 件是“存在，使得”； 【答案】①②③④ 【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确；利用题目中的条件求出的值判断③正确；令3k≤a＜b≤3k+1，利用函数单调性的定义判断④正确． 【详解】对于①，对任何，都有，当时，， 所以，①正确； 对于②，取 从而函数的值域为[0，+∞），②正确； 对于③，时，，对任意，恒有成立，， 所以解得，∴③正确； 对于④，充分性：令 则所以 必要性：令， 由函数在区间上单调递减，所以 即，又当时，，且 为减函数， 所以存在，使得，则，所以⊆ ∴函数在区间⊆上单调递减，④正确； 综上所述，正确结论的序号是①②③④．故答案为①②③④． 4.（湖南省衡阳市第八中学2022届高三第三次月考数学试题）定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得； 【答案】①② 【分析】根据定义求值、求的值域、解方程 【详解】因为,所以①对; 因为当时，，当时，， 当时，， 当时，， 因此当时， ， 从而函数的值域为；所以②对; 因为，所以由上可得, 即，无解.所以③错； 综上正确结论的序号是①② 5.（上海市交大附中2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题对于函数，下列个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）． （1）任取，都有； （2）函数在上单调递增； （3），对一切恒成立； （4）函数有个零点； （5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则. 【答案】（1）（4）（5） 【详解】 由题意，得的图象如图所示， 由图象 ，则任取，,都有 ，故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时， ，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确； 在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当 时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$