精品解析：四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

田家炳中学七年级数学下学期期中试卷 （ 试卷满分：100分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑） 1. 在实数，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是( ) A. 的立方根是 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 是的算术平方根 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，下列条件能判断两直线和平行的是（ ） A. B. C. D. 5. 若在y轴上，则P到x轴的距离是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度． A. AE B. CF C. BD D. BE 8. 如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，转弯沿北偏西再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 10. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 12. 已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上） 13. 如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是______________． 14. 将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为___________________________． 15. 一个正数的两个平方根是和，则的立方根为________. 16. 用“*”定义新运算:对于任意实数都有，如，那么_____． 17. 如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 _____平方米． 18. 如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2024秒时点所在位置的坐标是_______________． 三、解答题（本题共7个小题，共46分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）解方程：． 20. 已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 （1）求的值； （2）求的平方根． 21. 已知中，点，，． （1）在直角坐标系中画出，将向右平移4个单位长度，然后再向下平移5个单位长度、得到，画出平移后的图形； （2）求的面积； （3）点在的边上，求点M′在上的对应点M的坐标． 22. 如图，已知，，垂足分别为，F，，试说明． 将下面的解答过程补充完整． 证明：，（已知） 　　 　　 　　 又　　 　　 　　 　　． 23. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 24. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又如：∵，∴，∴的整数部分为4，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）如果的小数部分为x，的整数部分为y，求的值； （3）已知a是的整数部分，b是其小数部分，先化简，再求值：． 25. 在平面直角坐标系中，，，且． （1）求两点的坐标； （2）如图1．将平移至，点对应点为，若的面积为11，求点的坐标； （3）如图2，在（2）中，若分别与轴交于点．点是轴上的一个动点． ①当点在线段（不含端点）上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家炳中学七年级数学下学期期中试卷 （ 试卷满分：100分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑） 1. 在实数，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的概念及立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】解：∵， ∴无理数的有，，共2个； 故选B． 【点睛】本题主要考查无理数、算术平方根及立方根，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 2. 下列说法正确的是( ) A. 的立方根是 B. 的平方根是 C. 的算术平方根是 D. 是的算术平方根 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根、平方根及算术平方根的定义依次做出判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，故该选项错误，不符合题意； B、∵等于，平方根是，∴的平方根是，故该选项错误，不符合题意； C、的算术平方根是，故该选项错误，不符合题意； D、是的算术平方根，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根及算术平方根的定义、表示及计算，熟练掌握立方根及算术平方根的定义及计算是解题关键． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限． 故选：D． 4. 如图，下列条件能判断两直线和平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；得出A能判断，B、C、D不能判断；即可得出结论． 【详解】解：能判断直线的条件是；理由如下： ， （内错角相等，两直线平行）； B、C、D不能判定； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 5. 若在y轴上，则P到x轴的距离是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，求得是解题的关键．根据轴上的点的横坐标为得出，进而得出纵坐标即可求解． 【详解】解：∵在轴上， ∴， ∴， ∴， 则到轴的距离是， 故选：C． 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，，则表示棋子“車”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．根据“馬”和“炮”的点的坐标分别为，，得出原点的位置，进而建立坐标，即可求解． 【详解】解： “馬”和“炮”的点的坐标分别为，，建立坐标系如图所示， 表示棋子“車”的点的坐标为 故选：A． 7. 如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度． A. AE B. CF C. BD D. BE 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案． 【详解】解：如图所示： 点A到BC所在直线的距离是线段AE的长度， 点C到AB所在直线的距离是线段CF的长度， 点B到AC所在直线的距离是线段BD的长度， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键． 8. 如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，转弯沿北偏西再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、方位角等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴． 故选：C． 9. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值和二次根式都大于等于零，所以，，求得x，y的值，即可求得最后结果． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，准确计算是本题的解题关键． 10. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，根据，，进而得出，根据，，得出，利用梯形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，平移距离为，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标可得智能机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是10，即每过10秒点P回到A点一次，判断的余数可知智能机器人的位置． 【详解】解：∵，， ∴， ∴机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是：， ∴每过10秒点P回到A点一次， ∵， ∴第2023秒时于第3秒时机器人所在的位置相同， ∵， ∴此时机器人在上，距离B为1个单位长度， ∴机器人所在点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 12. 已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）； ①； ②若，则； ③如图（2）中，若，，则； ④如图（2）中，若，，则． A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答． 【详解】解：分别过、作，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即，①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，②正确， 与上同理，， ∴， ∴，③正确， 由题意，④不一定正确， ∴①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上） 13. 如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是______________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的应用，根据“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：由垂线段最短可得，点A到上任意一点的连线段中，线段的长度最短， 故答案为：垂线段最短． 14. 将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为___________________________． 【答案】如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；准确找出题设和结论是解题关键．根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可． 【详解】解：因为命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为：这两条直线互相平行； 所以“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：“如果，在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”； 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 15. 一个正数的两个平方根是和，则的立方根为________. 【答案】3 【解析】 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴， ∴， 即的立方根为3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 16. 用“*”定义新运算:对于任意实数都有，如，那么_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据新定义运算，将，代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则，是解题的关键． 17. 如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 _____平方米． 【答案】540 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的应用，确定绿化部分的长变为米，宽为米的长方形，进而求出面积即可． 【详解】解：绿化的面积为（平方米 ）． 故答案为：540． 18. 如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即，它每运动一次需要1秒，那么第2024秒时点所在位置的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的运动规律，解题的关键是找到点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环的规律．根据给定的坐标，可得点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：第1秒，点的坐标为， 第2秒，点的坐标为， 第3秒，点的坐标为， 第4秒，点的坐标为， 第5秒，点的坐标为， ， ∴点的横坐标与运动时间相同，纵坐标按照，四次一循环， ∵， ∴第2024秒，点的横坐标为2024，纵坐标与第4秒的纵坐标相同，为， ∴点所在位置的坐标是； 故答案为：． 三、解答题（本题共7个小题，共46分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，利用平方根求方程，解题的关键是熟练掌握定义，准确计算． （1）根据算术平方根和立方根定义，进行计算即可； （2）根据平方根定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，． 20. 已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的运算可求出的，算术平方根的运算及的值可求出的值，立方根的运算可求出的值； （2）把（1）中的的值代入，根据平方根的运算即可求解． 【小问1详解】 解：∵的平方根为， ∴，即，解得，， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有或，且， ∴，即，且， ∴，解得，， ∵的立方根是， ∴，即，解得，， ∴，，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键． 21. 已知中，点，，． （1）在直角坐标系中画出，将向右平移4个单位长度，然后再向下平移5个单位长度、得到，画出平移后的图形； （2）求的面积； （3）点在的边上，求点M′在上的对应点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）的面积6（平方单位） （3）点在上的对应点M的坐标为 【解析】 【分析】（1）先根据ABC的坐标画出，再利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点得到； （2）用1个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算即可； （3）根据平移可知，将点向左平移4个单位长度，然后再向上平移5个单位长度，得到M的坐标为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为：； 【小问3详解】 解：根据平移可知，将点向左平移4个单位长度，然后再向上平移5个单位长度，得到M的坐标． 【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 22. 如图，已知，，垂足分别为，F，，试说明． 将下面的解答过程补充完整． 证明：，（已知） 　　 　　 　　 又　　 　　 　　 　　． 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质即可完成证明过程． 【详解】证明：，（已知）， （垂直定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， ， ， （等量代换）． 故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；已知；；；等量代换． 23. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解； （2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 24. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又如：∵，∴，∴的整数部分为4，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）如果的小数部分为x，的整数部分为y，求的值； （3）已知a是的整数部分，b是其小数部分，先化简，再求值：． 【答案】（1），； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分； （2）分别估算，的大小，进而求得的值，代入代数式进行计算即可求解； （3）由已知条件可先求出的值，再进行整式的化简求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴,， ∵a是的整数部分，b是其小数部分， ∴，， ∴ ． 当，时， 原式 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分，整式的化简求值等知识，正确计算是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，，，且． （1）求两点的坐标； （2）如图1．将平移至，点对应点为，若的面积为11，求点的坐标； （3）如图2，在（2）中，若分别与轴交于点．点是轴上的一个动点． ①当点在线段（不含端点）上运动时，证明：； ②当点在轴上线段之外运动时，请直接写出之间的等量关系． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）点的坐标为 （3）①证明：由平移的性质可得：， ， ； ②当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时， 【解析】 【分析】（1）由可得，求出的值即可得到答案； （2），过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，再由，求出的值，从而得到的坐标，得出的平移方式，最后由平移的性质即可得出答案； （3）①由平移的性质可得：，再由，进行代换即可得到答案；②分四种情况：当点在点以上的轴上时；当点在线段上时；当点在线段上时；当点在点以下的轴上时，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ， ， ， 将平移至，点对应点为， ，， ， 过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ，，， 四边形是梯形， ， ， ， 解得：， ， 将平移至，点对应点为， 的平移方式为：向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度， ， ； 【小问3详解】 ①略 ②当点在点以上的轴上时，如图， ， 由平移的性质可得：， ， ， 即； 当点在线段上时，如图， ， 由平移的性质可得：， ， 即； 当点在线段上时，如图， ， 由平移的性质可得：， ， ， 即； 当点在点以下的轴上时，如图， ， 由平移的性质可得：， ， ， 即； 总上所述：当点在点以上的轴上时，；当点在线段上时，；当点在线段上时，；当点在点以下的轴上时，． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、平移的性质、坐标与图形，熟练掌握非负数的性质、平移的性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $