专题02 二项式定理及其应用常考题型归类（考题猜想，8大题型40题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）

专题02 二项式定理及其应用 一．二项展开式的特定项 1．（23-24高二下·河南濮阳·月考）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东茂名·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．90 C． D．30 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．14 B．12 C．7 D． 4．（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，含项的系数是（    ） A．219 B．220 C．165 D．164 5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知的展开式中项的系数为，则实数 . 二．三项展开式的特定项 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·月考）展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东珠海·月考）的展开式中含的项的系数为（ ） A． B． C．20 D．60 5．（23-24高二下·山东枣庄·月考）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 三．多项乘积展开的特定项 1．（23-24高二下·湖北·月考）的展开式中含项的系数为（    ）． A． B． C．50 D．10 2．（23-24高二下·河北·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．-75 B．-79 C．-39 D．-35 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）的展开式中的系数为（   ） A．-200 B．-120 C．120 D．200 4．（23-24高二下·广东清远·月考）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若的展开式中的系数为40，则实数 ． 四．二项式系数的最值 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 2．（23-24高二下·四川南充·月考）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高二下·河南·期中）已知展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项. 5．（23-24高二下·四川内江·月考）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答） 五．系数的最值 1．（23-24高二下·河北邢台·月考）的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 2．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 六．赋值法求系数和问题 1．（23-24高二下·河北张家口·月考）若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高二下·重庆·月考）已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建南平·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 七．整除求余问题 1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 2．（23-24高二下·河北邢台·期中）令，则当时，a除以15所得余数为（    ） A．4 B．1 C．2 D．0 3．（23-24高二下·重庆·月考）若能被12整除，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．10 D．11 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 八．杨辉三角及其应用 1．（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（    ） A．136 B．153 C．190 D．210 2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东聊城·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）    A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二项式定理及其应用 一．二项展开式的特定项 1．（23-24高二下·河南濮阳·月考）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为.故选：D. 2．（23-24高二下·广东茂名·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．90 C． D．30 【答案】C 【解析】由二项式的展开式的通项为， 令，可得的系数为.故选：C. 3．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．14 B．12 C．7 D． 【答案】A 【解析】的展开式中的通项， 令，得，所以的展开式中的常数项为.故选：A 4．（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，含项的系数是（    ） A．219 B．220 C．165 D．164 【答案】A 【解析】展开式的通项为，则项的系数为， 所以在的展开式中， 含项的系数是 .故选：A. 5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知的展开式中项的系数为，则实数 . 【答案】 【解析】二项式展开式的通项为（）， 令，解得， 所以，依题意，解得. 二．三项展开式的特定项 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【答案】B 【解析】的展开式的通项为， 要得到项，必有，所以，所以，或. 当时，，而展开式中的项为， 故中项的系数为； 当时，，而中的常数项为1， 故中项的系数为，所以所求项的系数为.故选：B. 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素， 从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为.故选：D 3．（23-24高二下·江苏南京·月考）展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 其中展开式的通项为（且）， 令，得，∴， 故展开式中的常数项是.故选：D. 4．（23-24高二下·广东珠海·月考）的展开式中含的项的系数为（ ） A． B． C．20 D．60 【答案】A 【解析】由题意，含的项在相乘的6项里需要有1项乘的1， 剩下5项里有3项乘的，最后2项乘的， 故含的项为.故选：A 5．（23-24高二下·山东枣庄·月考）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为多项式可看成的5个三项式的乘积， 根据组合数的定义和计算公式，可得项为， 所以的系数为.故选：C. 三．多项乘积展开的特定项 1．（23-24高二下·湖北·月考）的展开式中含项的系数为（    ）． A． B． C．50 D．10 【答案】D 【解析】的展开式通项为，令，3， 得的展开式中含项的系数为．故选：D 2．（23-24高二下·河北·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．-75 B．-79 C．-39 D．-35 【答案】B 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以当时，当时， 所以项的系数为-79，故选：B. 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）的展开式中的系数为（   ） A．-200 B．-120 C．120 D．200 【答案】B 【解析】后面括号内的通项为， 所以当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即， 此时系数为； 当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即， 此时系数为； 所以展开式中 的系数为，故选：B. 4．（23-24高二下·广东清远·月考）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】展开式的通项公式为， 令，得， 令，得， 所以展开式中项的为， 所以展开式中项的系数为. 5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若的展开式中的系数为40，则实数 ． 【答案】3 【解析】多项式的展开式中含的项为， 所以，解得. 四．二项式系数的最值 1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】C 【解析】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．故选：C. 2．（23-24高二下·四川南充·月考）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大， 根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大， 所以，解得.故选：B. 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】当为偶数时，二项式系数最大项为第项， 又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得， 当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项， 由题有或，得到或，故选：D. 4．（23-24高二下·河南·期中）已知展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1)；(2)60 【解析】（1）由题意，展开式前三项的二项式系数和为22. 则二项式定理展开前三项的二项式系数和为：， 解得：或（舍去），即的值为6， 因为是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. （2）二项式展开式的通项公式， 令，可得：. 所以展开式中的常数项为. 5．（23-24高二下·四川内江·月考）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答） 【答案】(1)；(2)495 【解析】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则，解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项二项式系数为495. 五．系数的最值 1．（23-24高二下·河北邢台·月考）的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】C 【解析】因为的展开通项公式为， 又当时，取最大值， 则系数最大的项是第13项．故选：C. 2．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【答案】B 【解析】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即.故选：B 3．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B. 4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）二项式通项公式为 ， 所以第一项的系数为：， 第二项的系数为：，第三项的系数为：， 由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去）， 二项式通项公式为， 根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为. （2）设第k项的系数最大，故， 即，即，解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或． 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则 令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得： 故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： 六．赋值法求系数和问题 1．（23-24高二下·河北张家口·月考）若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】令，得， 所以.故选：D 2．（23-24高二下·重庆·月考）已知，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】A 【解析】等式两边同时求导可得， 令，得，故选：A. 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确．故选：ACD. 4．（23-24高二下·福建南平·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】在中， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，因此，B正确； 对于C，令，得，则，C正确； 对于D，令，得，则，D错误. 故选：BC 5．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得， 当时，代入（*）可得， 所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， 当时，，故D项错误.故选：C. 七．整除求余问题 1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 【答案】B 【解析】因为， 所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．故选：B. 2．（23-24高二下·河北邢台·期中）令，则当时，a除以15所得余数为（    ） A．4 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【解析】， 当时， 故a除以15所得余数为0.故选：D. 3．（23-24高二下·重庆·月考）若能被12整除，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．10 D．11 【答案】D 【解析】因为 ， 又因为能被12整除， 所以能被12整除，观察选项可知可以是，其它选项均不适合.故选：D. 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 【答案】A 【解析】， ， 所以除以7的余数是，除以7的余数是2， 选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0， 29除以7的余数是1.故选：A 5．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】令，得，令，得， 两式相减，． 因为， 其中被8整除，所以被8除的余数为1， 从而能被8整除．故选：D. 八．杨辉三角及其应用 1．（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（    ）    A．136 B．153 C．190 D．210 【答案】C 【解析】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数， 所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数， 所以，，所以.故C正确.故选：C. 2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误.故选：D 3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 4．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据广义杨辉三角的定义：； 故； 关于的多项式的展开式中项的系数为． 故选：D． 5．（23-24高二下·山东聊城·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）    A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【解析】因为第10行中第5个数是，又，故A错误； 因为第2023行中第1011个数和第1012个数分别为，， 因为，所以，故B错误； 因为，故C错误； 因为，故D正确.故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$