专题07 数列通项与数列求和常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）

专题07 数列通项与数列求和 一．由Sn与an关系求通项 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（    ） A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·辽宁·期中）设数列满足，则的前项和（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 5．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二．累加、累乘法求通项 1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 2．（23-24高二下·江西九江·月考）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·月考）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列各项均不为零，且（且），若，则（    ） A．19 B．20 C．22 D．23 三．待定系数法求通项 1．（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 2．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 四．取倒数法求通项 1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 5．（23-24高三下·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 五．逆序相加法求和 1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 2．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 4．（22-23高二下·辽宁·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 六．并项法求和 1．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 2．（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 . 3．（23-24高二下·北京·期中）对于数列，令.若，则 ；若，则 . 4．（23-24高二下·广东佛山·期中）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ． 5．（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则数列的前20项和 ． 七．分组转化法求和 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 2．（23-24高二下·湖南娄底·月考）设的整数部分为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 5．（23-24高二下·江西·月考）设数列的前n项和为，，且． (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，． （i）写出数列的前4项； （ii）求数列的前项和． 八．含绝对值数列求和 1．（23-24高二下·内蒙古·月考）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)当时，求数列的前n项和. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（23-24高二下·江西·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（23-24高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 九．错位相减法求和 1．（23-24高二上·广东湛江·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求的前项和． 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式： (2)设的前项和为，证明：； (3)设，求数列的前项和. 3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前n项和. 4．（23-24高二下·四川成都·期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和. (1)求数列，的通项公式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围； (3)求数列的前项和. 5．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求； (3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 十．裂项相消法求和 1．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，求的前n项和． 2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 3．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 5．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列通项与数列求和 一．由Sn与an关系求通项 1．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（    ） A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 【答案】A 【解析】易知，， 故，当时符合题意，故成立, 显然.故选：A 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①中，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，，即， 故为首项为6，公比为3的等比数列， 故.故选：B 3．（21-22高二下·辽宁·期中）设数列满足，则的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，． 当时，， 可得，故当时，． 当时，不满足上式,故， 设的前项和为，当，； 当，，当，满足. 故的前项和为.故选：C. 4．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 【答案】D 【解析】由， 且， 显然，所以是以为首项，为公比的等比数列， 即，故.故选：D 5．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以.故选：B 二．累加、累乘法求通项 1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【解析】在数列中，，， 所以.故选：B 2．（23-24高二下·江西九江·月考）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意：，所以， 当时，，则， 所以 ，故选：A. 3．（23-24高二上·山东青岛·月考）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【解析】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为.故选：B 4．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 因为，所以 ， 所以， 所以， 因为，所以由对勾函数的性质可知， 当时，取得最小值.故选：C 5．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列各项均不为零，且（且），若，则（    ） A．19 B．20 C．22 D．23 【答案】A 【解析】由，令， 则数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以，所以. 所以， 当时也符合上式，所以； 所以,解得，所以， 所以.故选：A 三．待定系数法求通项 1．（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【解析】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以.故选：C 2．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 即， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以.故选：D. 3．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 所以，两边取倒数得， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， .故选：A 4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故，∴.故答案为：19． 5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 四．取倒数法求通项 1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又，令，可得，解得， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得，故．故选：C． 2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由可得， 所以，则是公比为的等比数列， 所以，所以.故选：B. 3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由，得， 则， 又，则，则， ，， ，故答案为：. 4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则.故答案为：. 5．（23-24高三下·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 五．逆序相加法求和 1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【解析】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即.故选：C 2．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【答案】D 【解析】由， 得, , , 又， 所以， 所以.故选：D. 3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 【答案】A 【解析】因为为正项等比数列，且， 所以， 由可得， 所以， 所以设， 则， 所以两式相加可得：，故，故选：A. 4．（22-23高二下·辽宁·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 【答案】 【解析】 ，， 因为①， 所以②， 两式相加得 ， 所以.故答案为： 5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 六．并项法求和 1．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【解析】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 .故选：A 2．（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 . 【答案】 【解析】由则. 故答案为： 3．（23-24高二下·北京·期中）对于数列，令.若，则 ；若，则 . 【答案】 【解析】由题意可知时，则， 时，则， ， 作差得.故答案为：； 4．（23-24高二下·广东佛山·期中）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ． 【答案】 【解析】由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 设数列的前项的和为， 则 . 5．（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则数列的前20项和 ． 【答案】 【解析】因为， 又， 所以， 故答案为：. 七．分组转化法求和 1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和为． 【答案】(1)）；(2) 【解析】（1）设的公比为，则， 因为，所以，依题意可得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （2）由（1）可知， 故 2．（23-24高二下·湖南娄底·月考）设的整数部分为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，； 当时，； 当时，，所以. 故. （2）当时，； 当时，； 当时， . 因为，所以. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）当时，，则． 因为，所以当时，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）知，，所以， 故 . 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为成等差数列，所以，即， 又，所以，所以通项公式为，； （2）由（1）可知， 则， 所以 ． 5．（23-24高二下·江西·月考）设数列的前n项和为，，且． (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，． （i）写出数列的前4项； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2)（i）0，0，3，0；（ii） 【解析】（1）由得，时，， 两式相减得 ，， 数列为等差数列，公差， ，，． （2）（i）因为，所以，则， 因为，所以，则， 因为3不能表示成的形式，所以，则， 因为，所以，则， 所以的前4项为：0，0，3，0； （ii）设的前项和记为 因为， ， 所以． 八．含绝对值数列求和 1．（23-24高二下·内蒙古·月考）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为， 则，所以 当时， 又也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）当时，，数列的前n项和； 当时，， 数列的前n项和 ， . 综上所述： 2．（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)当时，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知当时，，所以. 又，所以 ， 所以； （2）因为，， 所以， ， ，， 令，可得， 所以当时，， 当时， ， 所以. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得（）， 两式相减得，即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式，故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 4．（23-24高二下·江西·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为在数列中，，， 所以，， 所以，等式两边同加上得， 因为， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，． （2）因为， 即 所以，为单调递减数列， 因为，， 所以，时，，时，， 记的前项和为，则， 所以，当时，，； 当时，，，① ，② 所以，①②得：， 即， 综上， 5．（23-24高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】(1)当时，， 由，得，即， 当时，，当时，， 所以； 设正项等比数列的公比为，则， 所以，解得或(舍)， 所以. (2)， 所以当时,， 当时， ， 即 九．错位相减法求和 1．（23-24高二上·广东湛江·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求的前项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）数列中，，，当时，， 两式相减得，整理得， 而，因此，又，即，解得， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，令数列的前项和为， ， 于是， 两式相减得， 所以. 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式： (2)设的前项和为，证明：； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则，所以， 则，即， 所以 （2）因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，即. （3）由（1），记的前n项和为， 所以① 则②， ①-②，得：， 所以. 3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意知①， 当时，. 当时，②. ①-②得适合上式， ③，则④. 得， 两边同时取以2为底的对数，得， 则，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由题意及（1）知，则， 所以， 两式相减得， . 4．（23-24高二下·四川成都·期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和. (1)求数列，的通项公式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）设，所以，， 即， 因为，所以， 所以. 又因为，所以， 作差得，化简得， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2），， 因为，所以，， 所以，解得， 所以的取值范围是. （3）因为， 所以， 所以 作差得， 所以. 5．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求； (3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)7 【解析】（1）设，则． 因为是公差为2的等差数列，所以． 设，则， 所以时， ． 所以，即， 又，满足上式，所以 （2）（方法一）因为， 所以 两式相减得． 设， 则， 两式相减得 ， 则． 所以，即． （方法二）因为， 所以． 所以 则， 即． （3）当时，，且，所以的定值为9． 所以当时，． 令，则， ， 所以单调递减． 因为，所以，即正整数的最小值为 十．裂项相消法求和 1．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 所以， 两边同时除以得， 即， 所以数列是公差为4的等差数列． （2）由（1）得是公差为4的等差数列，首项， 所以，所以， ， 所以 ． 2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）， 由， 所以， 所以． （2） 所以 3．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， 当时，所以； 当时， 所以，所以， 经检验当时也成立， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 当时，， 且， 所以单调递增，所以． 4．（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以 ， 整理得 5．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$