暑假作业12 分式方程中的参数问题与应用（知识梳理+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业12 分式方程中的参数问题与应用 知识点01 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： ①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； ②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 知识点02 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： ①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 知识点03 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 知识点04 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 注：所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 知识点05 分式方程的实际应用常见题型： ①工程问题：常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 ②行程问题：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离 ③销售问题：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率= ④方案问题：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。 1．若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 2．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B．24 C． D．27 4．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．若关于x的分式方程 的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．若分式方程有增根，则 ． 7．关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 8．若关于的一元一次不等式组至少有6个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数的值的和是 ． 9．若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 10．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 11．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 12．已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 13．已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 14．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若，求分式方程的解． 15．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解为，求k的值． (2)若分式方程有正数解，求k的取值范围． 1．若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 2．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 3．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．28 B． C．7 D．56 5．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是 ． 7．若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 8．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 9．若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 10．若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 11．若关于的分式方程的解为负数，求的取值范围． 12．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程的解为，求的值． 13．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 14．已知：关于的分式方程． (1)若的值为，求该方程的解； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 15．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 1．（2022·四川德阳·中考真题）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．－26 B．－24 C．－15 D．－13 6．（2020·云南·中考真题）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 7．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 8．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ． 9．（2023·重庆·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业12 分式方程中的参数问题与应用 知识点01 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： ①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； ②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 知识点02 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： ①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)；②讨论整式方程无解的情况：1）当a=0时，方程满足无解；2）当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 知识点03 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 知识点04 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 注：所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 知识点05 分式方程的实际应用常见题型： ①工程问题：常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 ②行程问题：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离 ③销售问题：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率= ④方案问题：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。 1．若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解并掌握增根的实际意义．找出分式方程的最简公分母并确定出x的值，即为增根． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 去分母得：， 整理得， 由分式方程有增根，得到，即或， 把代入得：，解得， 则它的增根可以是1． 把代入得：，无解， 则它的增根不可以是． 故选：B． 2．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 先解含有的分式方程，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 3．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B．24 C． D．27 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，根据已知条件求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， ∵为整数，不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ， ∵为整数， ， ， 故选：C． 4．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得． ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：C． 5．若关于x的分式方程 的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的特殊解求参数，熟悉掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据分式方程算出与的表达式，再根据的取值求的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， ∵为非负数， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上且； 故选：A． 6．若分式方程有增根，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 即增根为3， 方程两边同乘得， 化简得， 将代入， ， 故答案为：3． 7．关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 解得： 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故答案为∶且 8．若关于的一元一次不等式组至少有6个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数的值的和是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，掌握分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义是关键．根据分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义进行解答． 【详解】解：解不等式组， 可得， 不等式组至少有6个整数解， ， ， 解分式方程， 解得， 又分式方程有非负整数解， ，且为整数，且， 且， 满足条件的整数的值为：，2 ∴． 故答案为：1． 9．若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∵只有两个偶数解， 即为， ∴， 解得， 解方程得，且， ∵是整数， ∴的值为，0，， ∴满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 10．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式组，掌握它们的求解方法是本题的关键．解不等式组，根据其解集求出的取值范围；解分式方程，根据其解的情况确定的可能值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组有解且最多有4个整数解， ， ； 解分式方程，得， 是原分式方程的增根， ， 此分式方程有非负数解， ， ； 综上，且， 满足条件的整数为2、3、5， 故答案为：10 11．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 即增根为1， 方程两边同乘得， 化简得， 将代入， ． 12．已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算． （1）把代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）先解分式方程可得，然后根据题意可得且，从而可得答案． 【详解】（1）解：当时，原方程即为：， ∴， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ∴， 解得：， 该分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， 的取值范围为：且． 13．已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程有解（无解）的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据分式方程的解为正数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 关于的分式方程的解为正数， ， 解得：且， 即实数的取值范围为且． 14．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若，求分式方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，利用转化思想是解题的关键，解分式方程注意检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可得到答案； （2）把代入，解分式方程，检验即可． 【详解】（1）解：两边同时乘以得： ， 分式方程的解是， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：把代入分式方程， 去分母得， 整理得：， 解得：， 检验：把代入， 故是原分式方程的解． 15．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解为，求k的值． (2)若分式方程有正数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入方程，即可求出k的值； （2）先解分式方程，得，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 即， 解得； （2）解：将去分母， 得， 解得， 因为分式方程有正数解， 则， 即， 所以， 又因为分母不为0， 即， 那么， 所以， 故且． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 1．若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到的范围，再根据，得到的取值，即可确定出的范围． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 根据题意得： ， 解得：， 又∵， ∴； 又∵ ∴， 则的取值范围为且． 故选：A． 2．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论． 【详解】解：不等式组的解集为， ． ． 关于的分式方程的解为． 是原分式方程的增根， ． ． 关于的分式方程的解为正整数， 为正整数． ，4，7． ， ，4． 所有满足条件的所有整数的和为：． 故选：C． 3．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0．先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出的取值范围． 【详解】解：根据题意解分式方程，得， ， ，即，解得， ， ，解得， 综上，的取值范围是且， 故选：D 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．28 B． C．7 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得答案． 【详解】解：∵， 解不等式 ， 去分母得： ， 移项合并同类项得：， 的解集为， 由“同小取小”得：； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得： ， 系数化为1得：， ∵分式方程有正整数解， ， ∴， ， ∴满足条件的整数可以取7，1， 其积为． 故选C． 5．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解分式方程，先根据不等式组的解集确定m的范围，再解分式方程可得m的另一个范围，进而得出m的取值范围，确定整数解，即可得出答案． 【详解】， 解得， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． ， 解得，且， ∴， 解得， ∴，且， ∴m的值为，0，2，3， 则． 故选：C． 6．用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：把分式方程去分母得： ， 解得：， 分式方程有增根， ， 把代入中得： ， 解得：， 故答案为：1． 7．若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，掌握分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义是关键．根据分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义进行解答． 【详解】解：解不等式组， 可得， 不等式组至少有3个整数解， ， ， 解分式方程， 解得， 又分式方程有非正整数解， ，且， 且， 且， 满足条件的整数的值为：，，，0，2， 满足条件的整数的值为：． 故答案为：． 8．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解一元一次不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，求出，最后再求出同时满足已知的两个条件，求出答案即可． 【详解】， 由①得：， 由②得：， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 或4或6或8或， 解得：或1或3或5或7， ， ， ，即 满足条件的整数的值为：1或3或5， 所有满足条件的整数的值之和是：， 故答案为：9． 9．若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】首先分别解一元一次不等式组及分式方程得到，，再根据一元一次不等式组恰好有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 再根据分式方程有整数解可得 【详解】解：∵， 由得：， 由得：， ∵不等式组恰好有个偶数解， ∴， ∴不等式组的个偶数解为， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程可化为， 解得：， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴为整数，必须为的倍数， ∵且， ∴符合条件的整数为， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用一元一次不等式组及分式方程的解求参数，学会解一元一次不等式组及分式方程是解题的关键． 10．若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 【详解】， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴，即或或4或， ∵ 解得：或1或， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a的值为：3或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：， 故答案为：4 11．若关于的分式方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到的范围，再根据，得到的取值，即可确定出的范围． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 根据题意得： ， 解得：， 又∵， ∴； 又∵ ∴， 则的取值范围为且． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，求出不等式的解集得到的范围，且根据分式不等于0可确定出的范围是解本题的关键． 12．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程，再去分母，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）把代入方程，即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； 经检验，是原分式方程的解； （2）解：把代入得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤． 13．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)10或． 【分析】（1）将代入方程，然后解分式方程即可； （2）先将分式方程化成整式方程，然后将、分别代入求得k即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴方程， ∴， 解得：， 经检验，是这个方程的根， ∴这个方程的解为． （2）解：分式方程去分母得， ∵这个方程有增根， ∴或， 将代入整式方程得， 将代入整式方程得， 则k的值为10或． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的增根等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解答本题的关键． 14．已知：关于的分式方程． (1)若的值为，求该方程的解； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先将代入方程，根据分式方程的一般解法求解即可． （2）根据分式方程的解法求得，再根据且可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得． 解得． 经检验，是原方程的根． ∴原方程的解为． （2）解：，解得． ∵，∴， 解得． 又∵，即， ∴，解得， ∴的取值范围为且． 【点睛】本题考核的重点是解分式方程，去分母是关键，要注意分母不等于0． 15．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)是“易解方程”， ， (2) (3) 【分析】（1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断； （2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）解：是“易解方程”， 理由：可化为，， ∴是“易解方程”． 该方程的解为，； （2）解：由题意可得，， 故； （3）解：由题意得是“易解方程”， 设，方程可化为， 易知n和是这个方程的解， ∵n为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 【点睛】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题的关键． 1．（2022·四川德阳·中考真题）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 3．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 4．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 5．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．－26 B．－24 C．－15 D．－13 【答案】D 【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可． 【详解】∵ ， 解①得解集为，解②得解集为， ∵ 不等式组的解集为， ∴， 解得a＞-11， ∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数， ∴a＜1且a≠-2， ∴-11＜a＜1且a≠-2， 故a=-8或a=-5， 故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键． 6．（2020·云南·中考真题）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案． 【详解】解： 由①得： 由②得：＞， 因为不等式组有且只有45个整数解， ＜ ＜ ＜ ＜ 为整数， 为 ， 而 且 又 综上：的值为： 故选B． 【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答． 【详解】解：解，可得， 的方程的解为非负数， ， 解得， ， ， 即， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键． 8．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出． 【详解】， 解：方程两边同时乘以，得， ∴， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根． 9．（2023·重庆·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】13 【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ， 解得， 方程可化为， 解得， 关于的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ． 【答案】m >0且m≠1 【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得到：， 整理得到：， ∵分式方程的解大于1， ∴，解得：， 又分式方程的分母不为0， ∴且，解得：且， ∴m的取值范围是m >0且m≠1． 故答案为：m >0且m≠1． 【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$