精品解析：海南省2023-2024学年高二下学期期末数学考试试题

海南省2023-2024学年高二下学期期末数学考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算的定义求解即可. 【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故. 故选：D 2. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B. 3. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 4. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法写出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”有（金、石），（金、土），（金、革），（金、丝）， （石、土），（石、革），（石、丝），（土、革），（土、丝），（革、丝）共10个基本事件， 其中含“丝”的有（金、丝），（石、丝），（土、丝），（革、丝），共个基本事件， 故所求概率. 故选：A 5. 袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】从袋中个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 6. 某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定正视图及相关信息，还原几何体，用几何法确定异面直线的夹角， 求出圆柱底面圆半径，再确定其外接球半径即可计算作答. 【详解】依题意，圆柱的直观图如图所示， 连接，设圆柱底面圆的圆心为O，半径为r，由知，E为的中点，C为的中点， 连接，则，即异面直线所成角为或其补角，连接， 由正视图知，则，在中，，即， 在中，有，而异面直线所成角的余弦值为，即， 在中，由余弦定理得：，即， 解得，该圆柱的轴截面矩形对角线， 又圆柱的轴截面矩形是其外接球截面大圆的内接矩形，则该圆柱的外接球的半径， 所以该圆柱的外接球的表面积为. 故选：A 7. 双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ） A. B. －1 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由离心率求出，即可得渐近线方程，求两直线交点得的坐标，设AB的中点为P，根据即可求解. 【详解】由离心率为，有，故双曲线的渐近线方程为. 由解出；由解出. 设AB的中点为P，则点P的坐标为，且， 于是，解出. 故选:C. 8. 设函数，其中，若有且仅有一个整数n，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，则有且仅有一个整数n，使得在直线的下方，由此利用导数性质能求出的取值范围. 【详解】函数，其中， 设，， ∵有且仅有一个整数n，使得， ∴有且仅有一个整数n，使得在直线的下方， ∵， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； ∴当时，， 当时，，当时，， 直线恒过，斜率为， 故，且，解得， ∴的取值范围是：， 故选：D. 【点睛】关键点点睛： （1）利用数形结合思想将题意转化为两图象相交的问题； （2）利用导数判断函数的单调性，分析临界位置处函数值的大小关系. 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分） 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象可由的图象平移得到 B. 在上单调递增 C. 图象的一个对称中心为 D. 图象的一条对称轴为直线 【答案】BD 【解析】 【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到，由图象平移的性质可得A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入可得C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确； 【详解】， 因为最小正周期为，所以， 所以， A：由以上解析式可得的图象不可由的图象平移得到，故A错误； B：当时，， 由余弦函数的单调性可得在上单调递增，故B正确； C：，故C错误； D：当时，，此时为最小值， 所以图象的一条对称轴为直线，故D正确； 故选：BD. 10. 定义在的函数满足：任意，则（ ） A. 恒成立 B. 可能是周期函数，且没有最小正周期 C. 若在上单调，则一定是奇函数 D. 若在上单调，则存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，令，则，则根据的符号，结合基本不等式即可判断；对于B，根据函数判断；对于C，令得或，再根据函数单调性得，最后令即可判断；对于D，结合C选项，分别讨论与的情况即可得到矛盾，进而判断. 【详解】解：对于A，令，则， 当时，，故，即； 当时，，故，即； 当时， 所以，，于是恒成立，故A选项正确； 对于B，令，显然符合题意，是周期函数，且没有最小正周期，故B选项正确； 对于C，令，则，解得或， 当时，令，于是，这与在上单调矛盾， 所以，同理，所以， 令，则， 所以，则一定是奇函数，故C选项正确； 对于D，由C，在上单调，则一定是奇函数，， 假设存在，使得，则， 若，则， 令，则，这与在上单调矛盾， 所以不存在， 同理，若，则， 令，则，这与在上单调矛盾， 不存在，故D选项错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于通过取特殊值，结合基本不等式，函数单调性，奇偶性的概念，反证法等判断求解. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解. 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计20分） 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，解得， 所以的面积为. 故答案为： 13. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________株.（若，，）. 【答案】1359 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线特点求得概率即可. 【详解】由已知发现株高服从正态分布 所以，，所以， 株高在的约有 故答案为： 14. 椭圆与双曲线有相同的焦点，，若曲线，有一个公共点，则的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义，根据焦点三角形为直角三角形即可求解. 【详解】长轴为，的实轴长为2，焦点为，即， 不妨设在第一象限， 根据双曲线的定义和椭圆的定义可得 ， 解得，又,因此, 所以为直角三角形，因此, 故答案为：24 三、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明） 15. 已知数列的首项，其前n项和为，且对任意的，点均在直线上． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由条件得到，再通过退位相减法得到数列是等比数列，由等比数列的通项公式求解即可； （2）先求出，再表示出，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ∵对任意的，点均在直线上，∴，∴当时，， ∴，即，又∵，∴， ∴，∴，∴数列是以3为首项，9为公比的等比数列，∴． 【小问2详解】 ，∴， ∴，即． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，求切点和导数，进而利用导数求斜率即可到切线方程； （2）由题意得，在区间上恒成立，分离参数可得，令，利用导数求函数的最小值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为，也是最小值. 所以，即实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，是正三角形.已知，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面夹角. 【小问1详解】 证明：分别作的中点，连接， 因为分别为的中点， 且四边形为等腰梯形，， 所以， 又，易知， 所以， 因为是正三角形，是中点，所以，且由，可知， 又，所以，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，如（1）图，以为原点， 以所在直线分别为轴 建立空间直角坐标系，则， ， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为， 则 取，可得，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 因为在上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点在定直线上. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，从而求出轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，设，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点在定直线上； （ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断. 【小问1详解】 由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 设曲线的方程为，则，解得， 所以， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为， 从而得，， 由（ⅰ）知，，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示. 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 （1）从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元）. 【答案】（1），；不独立 （2） 3000 2000 1000 ， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式、条件概率和事件独立性定义进行计算和判断； （2）根据奖金额对应的情况计算相对应的概率，再列出分布列，最后利用期望公式计算解出； 【小问1详解】 模型内饰为米色的共有20个，所以， 红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所， 红色外观模型且内饰为米色的共有15个， 所以，， 因为，所以，不独立； 【小问2详解】 设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”， ， ， ， 因为， 所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为， 其分布列为 3000 2000 1000 期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省2023-2024学年高二下学期期末数学考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，那么集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 4. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ） A. B. －1 C. 1 D. 3 8. 设函数，其中，若有且仅有一个整数n，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分） 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象可由的图象平移得到 B. 在上单调递增 C. 图象的一个对称中心为 D. 图象的一条对称轴为直线 10. 定义在的函数满足：任意，则（ ） A. 恒成立 B. 可能是周期函数，且没有最小正周期 C. 若在上单调，则一定是奇函数 D. 若在上单调，则存在，使得 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计20分） 12. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为______． 13. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________株.（若，，）. 14. 椭圆与双曲线有相同的焦点，，若曲线，有一个公共点，则的面积为___________． 三、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明） 15. 已知数列的首项，其前n项和为，且对任意的，点均在直线上． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，是正三角形.已知，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示. 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 （1）从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $