精品解析：湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

永州一中2024年高二第二次月考（数学）试题 命题：唐小智 审题：杨振华 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是复数为纯虚数的（ ） A 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中x的系数是（ ） A. 8 B. C. 32 D. 6. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 1 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为1 B. ， C. D. 11. 已知函数是自然对数的底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. “”是“”的充分不必要条件 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是_________. 13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． （1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 16. 投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分. （1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）记次抛掷得分恰为分概率为，求的前项和； 17. 如图，在四棱锥，，，E为PC的中点． （1）证明：直线平面PAD； （2）若平面平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）求面积的最大值. 19. 已知曲线在点处的切线为． （1）求直线方程； （2）证明：除点外，曲线在直线的下方； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永州一中2024年高二第二次月考（数学）试题 命题：唐小智 审题：杨振华 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 是复数为纯虚数的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义可得. 【详解】当复数为纯虚数时且． 所以是复数为纯虚数的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【详解】由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C 3. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复合函数的单调性的求法，列出相应不等式求解即可. 【详解】设， 因为函数在上是减函数， 可得在上是增函数， 故有对称轴，即，且， 解得，即实数的范围是. 故选：B. 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，，记， ，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，， 即当时，，记， 对于任意，存在，使得等价于， 所以，解得. 故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域，指数函数、二次函数的单调性，属于中档题. 5. 的展开式中x的系数是（ ） A. 8 B. C. 32 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用二项式定理的展开式从而可求解. 【详解】由题意得，其展开式为， 则对于的展开式为，， 令，则当，时符合题意，此时系数为，故C正确. 故选：C. 6. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 8. 设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题目可知，利用均值不等式可得当取得最大值时，，所以，令，结合一元二次函数图像求最大值即可. 【详解】因为是正实数， 所以由得， 由均值不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 则当取最大值时，解得， 所以， 令，则， 由二次函数的图像可知当时，取得最大值，， 即的最大值为1， 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为1 B. ， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD. 【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确． 因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误． 因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ACD 11. 已知函数是自然对数的底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，判断函数的单调性和函数的最大值，判断AC，由特殊值判断B，根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义判断D. 【详解】，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，， ，，故A正确； 由单调性可知，当时，函数取得最大值，故C正确； 若，则，即， 由可知，，故B错误； 不等式等价于， 当，，因为函数在单调递增， 所以，即，故， 当时，则， 因为函数在单调递增，在单调递减， ，，又， 所以，即， 所以当时，， 故“”是“”的充分条件， 又因为，所以，即， 即时，也成立， 故“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，数形结合，由题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可. 【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去， 其概率为， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为， 故答案为：. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又，， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以， 又. 故答案为：； 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． （1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 【答案】（1）列联表见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意即可完善列联表； （2）求出即可求解. 【小问1详解】 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 【小问2详解】假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关， 则根据列联表中的数据计算， 所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于. 16. 投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分. （1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）记次抛掷得分恰为分的概率为，求的前项和； 【答案】（1）分布列见解析， （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出得2分的概率和得1分的概率，再得到的可能取值为，分别求出概率写出分布列即可. （2）因为次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分，得到，再利用错位求和求即可. 【小问1详解】 得2分的概率为，得1分的概率为的可能取值为，， 的分布列为 2 3 4 数学期望. 【小问2详解】 因为次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分， 于是，则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥，，，E为PC的中点． （1）证明：直线平面PAD； （2）若平面平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行及面面平行判定定理，面面平行性质定理可证； （2）根据面面垂直性质定理，应用空间向量法求线面角即可. 【小问1详解】 取CD的中点M，连接EM，BM， 因为，所以． 因为，，所以，，． 又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD 因为E为PC的中点，M为CD的中点，所以． 又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD 又因为，，所以平面平面PAD． 而平面BEM，故平面PAD． 【小问2详解】 因为平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，连PO，由对称性知，O为BD中点，且． 如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，过点O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，． 设，则，，得，，． 设平面PCD的一个法向量为， 由于，， 则得 令，得，，故， 设直线AB与平面PCD所成角为，由于， 则， 故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据化简即可得出结论； （2）由（1）得，根据求出的范围，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，列出面积的的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以椭圆的标准方程为， 设， 由得， ， ， 解得， 所以直线的斜率为定值； 【小问2详解】 由（1）得， 与椭圆方程联立得， 则， ， 点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得或，即在和上单调递减， 又， 所以当时，取到最大值， 所以的面积得最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 已知曲线在点处的切线为． （1）求直线的方程； （2）证明：除点外，曲线在直线的下方； （3）设，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义写出切线方程； （2）令，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以，当且仅当等号成立，得到证明； （3）求导得到的单调性，结合函数图象得到，不妨令，结合曲线在点的切线方程为，得到，转化为证明，又，只要证，令，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以直线的方程为：，即 【小问2详解】 令，则， 令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以除切点之外，曲线在直线的下方． 【小问3详解】 由，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，． 因为，则，不妨令． 因为曲线在点的切线方程为， 设点在切线上，有，故， 由（1）知时，， 则，即， 要证：， 只要证：， 只要证：， 又， 只要证：， 令， 则， 易证在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减，所以成立， 所以原命题成立． 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到，且，从而只需证明，再勾股函数进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$