精品解析：安徽省亳州市第二完全中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

2023-2024学年高一数学第二次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为 A. 1 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 向是能作为平面内所有向量一组基底 B. C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若，且与夹角为锐角，则 11. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为________. 13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 14. 已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A﹔ （2）若的面积为，求的周长. 17. 如图，在中，，点满足． （1）若点是线段上一点，且，求实数的值； （2）若，求的余弦值． 18. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图. （1）求四面体外接球的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学第二次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求出复数，再求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：B. 3. 如图，一个平面图形斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可. 【详解】由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为. 故选：B. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理， 得. 故选：A. 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 分析】逐项举反例判断选项A,B,D错误，证明选项C正确. 【详解】对于A，如图，若，但直线平行，A错误； 对于B，如图，若，但是平面不平行，B错误； 对于C：如图，若，过直线作两个平面，可得则，C正确； 对于D，如图，若，则，D错误； 故选：C. 6. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，将用表示，在中，由余弦定理得出关于的方程，求解，即可得到结论. 【详解】设，在中，， 所以. 在中，，所以. 在中，，， 由余弦定理得， 解得（舍去）. 故选:D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，以及计算求解能力，属于中档题. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项根据大边对大角结合正弦定理分析，B选项利用正弦函数的单调性可判断，C选项利用余弦定理统一成边化简后可判断，D选项利用余弦定理进行判断. 【详解】A选项，根据大角对大边，， 根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 于是，正确； B选项，若为锐角三角形，则，所以， 则，正确； C选项，因为，即， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，错误； D选项，由于，， 由余弦定理可得，可得，解得， 所以，故是等边三角形，正确. 故选：ABD 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为 A. 1 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据条件解△ABC可得：C和△ABC外接圆的半径R，由此建立直角坐标系，可得：.A（，0），B（，0），外心O为（0，），重心G.从而求得|OG|2sinθ，即可得解. 【详解】A=5sin（B），c=5， ∴acsin（B）， 由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB）， ∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB， 化为：sinBcosC=sinCsinB，sinB0， ∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）. ∴C. ∴△ABC外接圆的半径R . 如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）. △ABC外接圆的方程为：x2. 设C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π） 则G. |OG|2sinθ， ∴|OG|的最小值为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了较强的计算能力，解决该类问题常用如下方法： （1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形； （2）利用向量，结合向量的数量积进行求解； （3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的定义、几何意义，共轭复数的概念，乘法运算法则一一判定选项即可. 【详解】不妨设， 若，即，显然，故A正确； 若，则， 则，该值不一定为0，故B错误； 若，则， 而，故C正确， ，故不一定成立，即D错误； 故选：AC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 向是能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若，且与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断、、、的结论． 【详解】对于：因为，所以不能作为平面内的一组基底，故错误； 对于：，故正确； 对于C，因为，所以， 所以有，所以，即，所以共线且反向，即C正确； 对于：已知，，则， 所以：，且和不共线． 即，且 解得且，故错误； 故选：BC． 11. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】在等腰梯形中求出判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D. 【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为，即与弧相离， 所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由A，B，D三点共线，必存在一个实数，使得 ，由此可得，即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以， 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得. 所以， 又因为与不共线， 所以，解得. 故答案为： . 13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得. 【详解】 如图，取的中点,连接. 则, 因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围. 根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 14. 已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意可作出图形，经分析可知点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上，得当且所在直线过圆心点时最小，然后结合图形即可求解 【详解】，， 如图作， ， 则，， 所以，即， 又为单位向量，所以， 在中，由正弦定理，则， 所以点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上， 由图可知，当且所在直线过圆心点时最小， 作于，于，于， 则， ， 则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹为圆，从而当且所在直线过圆心点时最小，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可； （2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值. 【小问1详解】 根据题意，， 又. 【小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A﹔ （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得：， 而， 于是， 又C三角形内角，有，解得，所以， 【小问2详解】 依题意，， 由余弦定理得，， 即， 所以的周长 17. 如图，在中，，点满足． （1）若点是线段上一点，且，求实数值； （2）若，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形以及平面向量的线性运算即可求解； （2）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值. 【小问1详解】 设，， 因为，所以， ， 又， 所以，所以，所以实数的值为； 【小问2详解】 因为，所以， 由题意设，所以， 在中，①， 在中，②， 由①②可得， 所以， 所以，又，，所以， 所以的余弦值为. 18. 如图：在正方体中，为中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图. （1）求四面体外接球的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，根据矩形的性质可知四面体外接球的半径，即可求出外接球的体积； （2）依题意，，即可得到平面，从而得证； （3）过点作交于点，连接，即可证明平面，再假设平面，即可得到平面平面，由面面平行的性质得到，推出矛盾，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接、，因为四边形是矩形， 所以， 所以四面体外接球的半径， 所以四面体外接球的体积； 【小问2详解】 因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问3详解】 因为，所以，所以 即， 在中，，所以， 过点作交于点，连接， 易知，且，平面，平面，所以平面， 假设平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以， 又点为棱的中点，所以点为线段的中点， 事实上，而， 所以，即点不是线段的中点， 故假设不成立，所以在将沿翻折过程中，直线不能平行于面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$