第8章整式乘法和因式分解单元测试卷2023-2024学年沪科版数学七年级下册

沪科版七年级数学下册第8章整式乘法和因式分解单元测试卷 一、单选题 1.若 , ,则代数式 的值为 A.1 B. C. D.6 2.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) B.a(x﹣y)=ax﹣ay C.x2+2x+1=x(x+2)+1 D.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 3.计算a3•a3结果正确的是( ) A.a9 B.a6 C.2a3 D.2a9 4.多项式因式分解的结果是( ) A. B. C.a D. 5.下列计算正确的是( ) A.x3 x2=x B.x3•x2=x6 C.x3+x2=x5 D.(x3)2=x9 6.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 7.下列运算正确的是( ) A.a2+a2=a4 B.(a2)3=a5 C.a+2=2a D.(ab)3=a3b3 8.若(x﹣2)(x+3)=x2+ax+b,则a、b的值分别为( ) A.a=5,b=6 B.a=1,b=﹣6 C.a=1,b=6 D.a=5,b=﹣6 9.不定方程 的正整数解 的组数是( ) A.0组 B.2组 C.4组 D.无穷多组 10.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.计算(a-1)(2a+1)= . 12.分解因式:x2y﹣2xy+y= . 13.因式分解:x3﹣4x2= . 14.已知,,为正整数,且若,,是三个连续正整数的平方,则的最小值为 . 三、解答题 15.有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图甲,将A,B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13,则正方形A,B的面积之和为 16.如图所示,一扇窗户的上部是由4个扇形组成的半圆形,下部是边长为a的4个小正方形组成,请计算这扇窗户的面积和窗框的总长. 17.阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题: . (1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次; (2)若分解因式,则需应用上述方法 次,结果是 ; (3)分解因式:(为正整数). 18.先化简再求值:,其中. 四、综合题 19.整式乘法和乘法公式 (1)计算:(﹣x)2(2y)3 (2)化简:(a+1)2+2(a﹣1)(a+1)+(a﹣1)2 (3)如果(x+1)(x2+ax+b)的乘积中不含x2项和x项,求下面式子的值:(a+2b)(a+b)﹣2(a+b)2 (4)课本上,公式(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2是由公式(a+b)2=a2+2ab+b2推导得出的,已知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,则(a﹣b)3= . 20.已知am=2,an=4,求下列各式的值 (1)am+n (2)a3m+2n. 21.如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示). (1)写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式: . (2)请应用(1)中的等式,解答下列问题: ①已知4a2﹣b2=24,2a+b=6,则2a﹣b= ; ②计算:2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12. 22.实验材料:现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片. 实验过程: 用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积,得到相应的等式,从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如,选取正方形、长方形硬纸片共6块,拼出一个如图②的长方形,计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)或(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. 探索问题: (1)小明想用拼图的方法解释多项式乘法(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么需要两种正方形纸片 张,长方形纸片 张; (2)选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形,计算图③的面积,并写出相应的等式; (3)试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式,并把所拼的图形画在方框内. 23.如图,有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类),发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式. 比如图②可以解释为:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2 (1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为(2a+b)(a+2b),在虚框中画出图形,并根据图形回答(2a+b)(a+2b)= (2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2+5ab+6b2.根据你画的长方形,可得到恒等式 (3)如图③,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个矩形的两边长(x>y),观察图案,指出以下正确的关系式_填写选项). A.xy = B.x+y=m C.x2-y2=m n D.x2+y2 = 答案解析部分 1.【答案】C 【解析】【解答】解: , , . 故答案为: . 【分析】直接提取公因式将原式分解因式,进而将已知代入求出答案. 2.【答案】A 【解析】【解答】A、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),把一个多项式化为几个整式的积的形式,属于因式分解,故此选项符合题意; B、a(x﹣y)=ax﹣ay,是整式的乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意; C、x2+2x+1=x(x+2)+1,没把一个多项式化为几个整式的积的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意; D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3,是整式的乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意; 故答案为:A. 【分析】根据因式分解的定义:将和差的形式转换为乘积的形式逐项判断即可。 3.【答案】B 【解析】【解答】解:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 所以 故答案为:B. 【分析】此题目考查的知识点是同底数幂相乘.把握同底数幂相乘,底数不变,指数相加的规律就可以解答. 4.【答案】B 【解析】【解答】解: =x(x-1), 故答案为:B. 【分析】利用提公因式法分解即可. 5.【答案】A 【解析】【解答】解:A、x3 x2=x,故A符合题意; B、x3•x2=x5,故B不符合题意; C、x3+x2≠x5,故C不符合题意; D、(x3)2=x6,故D不符合题意; 故答案为:A. 【分析】利用同底数幂相除,底数不变,指数相减,可对A作出判断;利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对B作出判断;只有同类项才能合并,可对C作出判断;利用积的乘方法则,可对D作出判断. 6.【答案】D 【解析】【解答】解:A. ,故不符合题意; B. ,故不符合题意; C. ,故不符合题意; D. ,符合题意; 故答案为:D 【分析】利用同底数幂的乘法,除法法则,幂的乘方,积的乘方法则计算求解即可。 7.【答案】D 【解析】【解答】解:A、 a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是错误的,不符合题意; B、 (a2)3=a6 ≠a5,所以此答案是错误的,不符合题意; C、 a+2不能合并,所以此答案是错误的,不符合题意; D、 (ab)3=a3b3 , 所以此答案是正确的,符合题意; 故答案为:D。 【分析】A、整式加法的实质就是合并同类项,合并的时候,只把系数相加减,字母和字母的指数都不变,故 a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是错误的,不符合题意; B、幂的乘方,底数不变,指数相乘,故 (a2)3=a6 ≠a5,所以此答案是错误的,不符合题意; C、整式加法的实质就是合并同类项,合并的时候,只把系数相加减,字母和字母的指数都不变,但不是同类项的不能合并,故 a+2不能合并,所以此答案是错误的,不符合题意; D、积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,故 (ab)3=a3b3 , 所以此答案是正确的,符合题意。 8.【答案】B 【解析】【解答】解:∵(x﹣2)(x+3)=x2+x﹣6=x2+ax+b, ∴a=1,b=﹣6. 故答案为:B. 【分析】将等式的右边去括号,可转化为x2+x﹣6=x2+ax+b,利用对应项的系数相等,就可得出a、b的值。 9.【答案】A 【解析】【解答】解: 若有解,x必为奇数, 令x=2n+1, (2n+1)2=2y2+5, 整理得2n(n+1)=2+y2, y为偶数,令y=2m, 2n(n+1)=2+4m2, n(n+1)=1+2m2, 左边为偶数,右边为奇数. 所以无整数解, 故答案为:A. 【分析】根据式子特点,若有解,x必为奇数,将原式整理,得出两侧分别为奇数与偶数,矛盾,即可得出结论.此题考查了非一次不定方程的解,将原式变形转化为奇偶性问题并推出矛盾是解题的关键. 10.【答案】B 【解析】【解答】解:A、 ,故此选项错误,不符合题意; B、 ,此选项正确,符合题意; C、 ,此选项错误,不符合题意; D、 ,此选项错误,不符合题意. 故答案为:B. 【分析】整式加法的实质就是合并同类项,所谓同类项就是所含字母相同,而且相同字母的指数也分别相同的项,同类项与字母的顺序没有关系,与系数也没有关系,合并同类项的时候,只需要将系数相加减,字母和字母的指数不变,但不是同类项的一定就不能合并,从而即可判断A;利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可对B作出判断;利用积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,可对C作出判断;利用幂的乘方,底数不变,指数相乘,可对D作出判断. 11.【答案】2a2﹣a﹣1 【解析】【解答】解:(a﹣1)(2a+1)=a(2a+1)-(2a+1)=2a2+a﹣2a﹣1=2a2﹣a﹣1. 故答案为:2a2﹣a﹣1. 【分析】多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。 12.【答案】y(x﹣1)2 【解析】【解答】解:x2y﹣2xy+y, =y(x2﹣2x+1), =y(x﹣1)2. 故答案为:y(x﹣1)2. 【分析】先提取公因式y,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2. 13.【答案】x2(x﹣4) 【解析】【解答】解:原式=x2(x﹣4), 故答案为:x2(x﹣4). 【分析】直接提公因式x2即可. 14.【答案】1297 【解析】【解答】解:设b+c=(n-1)2,则a+c=n2,a+b=(n+1)2,n为正整数,且n>1. ∴2(a+b+c)=(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2, ∴n为偶数,且a+b+c=, ∴a=,b=,c=, ∴n≥6,当n增大时,a2+b2+c2的值也增大, 而n=6时,a=30,b=19,c=6符合题意, ∴a2+b2+c2的最小值为:302+192+62=1297. 故答案为:1297. 【分析】根据题意“b+c、a+c、a+b是三个连续正整数的平方”可设b+c=(n-1)2,则a+c=n2,a+b=(n+1)2,n为正整数,且n>1;把这三个等式相加可判断n为偶数,于是可将a、b、c用含n的代数式表示出来,且n≥6,当n增大时,a2+b2+c2的值也增大,于是取n=6分别计算可求出a、b、c的值,再求a2+b2+c2即可求解. 15.【答案】15 【解析】【解答】解:设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b(a>b), 由图乙得(a+b)2-a2-b2=13, ∴a2+2ab+b2-a2-b2=13, ∴2ab=13; 由图甲得(a-b)2=2, ∴a2-2ab+b2=2, ∴a2+b2=2+2ab=2+13=15,即正方形A,B的面积之和为15. 故答案为:15. 【分析】设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b(a>b),由图乙得(a+b)2-a2-b2=13,整理得2ab=13;由图甲得(a-b)2=2,然后利用完全平方公式展开后整体代入可得a2+b2=15,此题得解. 16.【答案】解:这扇窗户的面积=2a•2a+ •a2=(4+ )a2; 窗框的总长=6•2a+3a+ a=(15+ )a. 【解析】【分析】 窗户的面积=边长为2a的正方形的面积+半径为a半圆的面积,窗框的总长 =所有小正方形的边长+三条半径的长+圆弧的长,据此分别计算即可. 17.【答案】(1)提公因式法;2 (2)2023; (3)解: ; 【解析】【分析】(1)观察可知,分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次; (2)由(1)的计算过程得出结论即可; (3)根据(1)(2)的结果总结规律即可得出答案. 此题有特殊推广到一般,要善于观察思考,注意结果和指数之间的关系. 18.【答案】解: , 当时,原式 【解析】【分析】原式利用完全平方公式、平方差公式计算,再合并同类项即可化简,最后将m的值代入即可求解. 19.【答案】(1)解:(﹣x)2(2y)3 =x2•8y3 =8x2y3 (2)解:(a+1)2+2(a﹣1)(a+1)+(a﹣1)2 =a2+2a+1+2(a2﹣1)+a2﹣2a+1 =a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1 =4a2 (3)解:(x+1)(x2+ax+b) =x3+ax2+bx+x2+ax+b =x3+(a+1)x2+(a+b)x+b, ∵(x+1)(x2+ax+b)的乘积中不含x2项和x项, ∴ ,得 , 当a=﹣1,b=1时, (a+2b)(a+b)﹣2(a+b)2 =(﹣1+2 1)(﹣1+1)﹣2(﹣1+1)2 =1 0﹣2 02 =0﹣0 =0 (4)a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 【解析】【解答】(4)∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, ∴[a+(﹣c)]3=a3+3a2•(﹣c)+3a•(﹣c)2+(﹣c)3=a3﹣3a2c+3ac2﹣c3, ∴(a﹣b)3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3, 故答案为:a3﹣3a2b+3ab2﹣b3. 【分析】(1)根据幂的乘方与积的乘方即可解答本题;(2)根据完全平方公式和平方差公式即可解答本题;(3)根据(x+1)(x2+ax+b)的乘积中不含x2项和x项,可以求得a、b的值,从而可以求得所求式子的值;(4)根据(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,可以求得所求式子的结果. 20.【答案】(1)解:∵am=2,an=4, ∴am+n=am an=2 4=8 (2)解:∵am=2,an=4, ∴a3m+2n=(am)3 (an)2=8 16=128 【解析】【分析】(1)利用同底数幂的乘法运算法则求出即可;(2)利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可. 21.【答案】(1) (2)解:①4 ② 【解析】【解答】解:(1)图1中阴影部分面积 ,图2中阴影部分面积 , 所以,得到公式 故答案为: ; (2)①∵ ∴ 又∵2a+b=6, 故答案为:4; 【分析】(1)由图形可得:图1中阴影部分面积为a2-b2,图2中阴影部分面积为(a+b)(a-b),然后根据两个图形阴影部分面积相等可得等式; (2)①根据4a2-b2=(2a+b)(2a-b)进行计算; ②将待求式子从左至右两项一组进行分组,组内利用平方差公式分解因式后再利用1+2+3+……+n=进行计算即可. 22.【答案】(1)3;3 (2)解:a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)或(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2 (3)解:如图④,2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 【解析】【解答】解:(1)由(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,可知需要两种正方形纸片3张,长方形纸片3张; 故答案为:3;3; 【分析】(1)根据多项式乘以多项式法则可得(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,可知需要两种正方形纸片3张,长方形纸片3张; (2)正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b,宽为a+b的矩形面积,所以a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b); (3)正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b,宽为2a+b的矩形面积,则2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 23.【答案】(1)解:2a2+5ab+2b2 (2)解:a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b) (3)A;B;C;D 【解析】【解答】解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2, 画图如下: ;(2)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,;(3)根据图③得:x+y=m, ∵m2-n2=4xy, ∴xy= , x2-y2=(x+y)(x-y)=mn, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2 = , ∴选项A、B、C、D都符合题意. 【分析】(1)根据题意画出图形,如图所示,即可得到结果.(2)根据图形和面积公式得出即可;(3)根据题意得出x+y=m,m2-n2=4xy,根据平方差公式和完全平方公式判断即可. 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $$