精品解析：河北省衡水市部分示范性高中2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

河北省高一下学期5月联考 数 学 本试卷满分100分，考试用时75分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教版必修2第5章～第8章. 一、单项选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从空间一点P向二面角的两个面、分别作垂线PE、PF，E，F为垂足，若二面角的大小为60°，则∠EPF的大小为（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】按点P与二面角的位置分别作出图形，结合已知求解作答. 【详解】过点P作平面垂直于棱l，垂足为O，与、分别交于直线a，b，记此平面为， 由，，则，显然， 在平面内过点P作于E，于F，于是得，为二面角的平面角， 依题意，点P不在平面和平面内，当点P在二面角内或二半平面与的反向延长面所夹区域内时，如图， 四边形中，，于是得， 当点P在二面角的半平面的反向延长面与半平面所夹区域或半平面的反向延长面与半平面所夹区域内时， 如图，，不妨令，由得：， 所以∠EPF的大小为60°或120°. 故选：C 2. 已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解． 【详解】因为为纯虚数， 所以，． 故选：B． 3. 在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理边化角可得，从而可求出，再根据余弦定理以及基本不等式可得，最后根据三角形面积公式即可求出面积的最大值． 【详解】因为，， 所以，即 故． 因为，所以，故，即， 由余弦定理得，得（当且仅当时等号成立）， 所以的面积，即面积的最大值为． 故选：C． 4. 如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（ ） （1），，三点共线；   （2），，，四点共面；  （3）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）. 【详解】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 5. 如图1，一个正三棱柱容器，高为4，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求得容器内水的体积，进而求得图1中容器水面的高度. 【详解】设该中截面与的交点分别为, 则,则容器内水的体积为总容积的倍， 则图1中容器水面的高度为该正三棱柱高度的倍， 则图1中容器水面的高度是 故选：B 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中错误的是（ ） A. 新农村建设后，养殖收入增加 B. 新农村建设后，种植收入减少 C. 新农村建设后，养殖收入与种植收入的总和超过了经济收入的一半 D. 新农村建设后，其他收入是建设前的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】设出建设前总收入，根据给定条件，求出建设前后各部分的收入，逐项判断作答. 【详解】设建设前总收入为1，则建设后总收入翻一番为2， 对于A，建设前养殖收入为，建设后养殖收入为，A正确； 对于B，建设前种植收入为，建设后种植收入为，B错误； 对于C，养殖收入与种植收入比例总和为，超过经济收入一半，C正确； 对于D，建设前其它收入为，建设后其它收入为，D正确. 故选：B 7. 在中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由，可知分别为的中点，所以, 故选：B 8. 已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球的性质及圆的性质即得. 【详解】设两圆的圆心分别为，公共弦为，其中点为，，， 则为矩形，，， ∴， 即另一圆的半径为. 故选：D． 9. 某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 这8天里，每天图书借出数的极差大于50 B. 这8天里，每天图书借出数的平均数大于105 C. 这8天里，每天图书借出数的中位数大于101 D. 前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差 【答案】C 【解析】 【分析】利用折线图求出极差、平均数、中位数判断A、B、C；应用方差的求法分别求出前4天、后4天图书借出数方差判断D. 【详解】A：每天图书借出数的极差为，错； B：每天图书借出数的平均数，错； C：由数据从小到大排序为，则中位数为，对； D：前4天平均数，则方差为， 后4天平均数，则方差为， 所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，错. 故选：C 二、多选题 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若与平行，与平行，则与平行 C. 若且则 D. 和的数量积就是在上的投影向量与的数量积 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A；当为零向量时，利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B；由移项变形，利用数量积的性质，进而判定C；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D. 【详解】，故A正确； 当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故B错误； 等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误； 在上的投影向量为，， 所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故D正确. 故选：AD. 11. 2021年2月到7月，两家店每月的营业额（单位：万元）如图所示，根据营业额折线图，下列说法正确的是（ ） A. 店营业额的极差比店营业额的极差小 B. 店2月到7月营业额的分位数是45 C. 店2月到7月每月增加的营业额越来越多 D. 店2月到7月的营业额的平均数为29 【答案】ABD 【解析】 【分析】由统计图求出店营业额的极差和店营业额的极差，判断A，再求店2月到7月营业额的分位数判断B，求店2月到7月的营业额的平均数判断D，由统计图数据判断C. 【详解】由统计图可得店营业额的最大值为64，最小值为14，故店营业额的极差为50， 店营业额的最大值为63，最小值为2，故店营业额的极差为61，所以店营业额的极差比店营业额的极差小，A对， 将店2月到7月营业额按从小到大排列可得14，20，26，36，45，64， 因为，所以店2月到7月营业额的分位数为45，B对， 由统计图店5月的营业额比4月的营业额多19万元，6月的营业额比5月的营业额多15万元，店2月到7月每月增加的营业额不是越来越多，C错， 店2月到7月的营业额的平均数为，D对， 故选：ABD. 12. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A:利用线面平行的判定定理即可判断；对于选项B:结合题意可得为异面直线与所成的角，借助截面是正方形求解即可；对于选项C:结合题意利用，，并借助截面是正方形即可判断；对于选项D:利用分析法并借助线面垂直的性质可得到不一定成立，即可判断. 【详解】对于选项A:点分别是棱的中点，， 平面，平面，截面，故A正确； 对于选项B: 点分别是棱的中点，， 为异面直线与所成的角， 截面是正方形，， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 对于选项C:截面是正方形，， 又点分别是棱的中点， ，，，故C正确； 对于选项D:若要使平面，则需要，， 但由题意知不一定成立，故D错误． 故选：AC. 三、解答题 13. 如图，平面与平面交于平面，EF∥平面，四边形为正方形，且． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面． 【答案】（1） 如图，设与交于点，则为正方形的中心， 连接，不妨令，则． ∵四边形为正方形，∴． ∵∥平面，平面平面面， ∴∥， ∴∥，即四边形为平行四边形， ∴∥， 又平面平面， ∴∥平面． （2） 连接， ∵∥，， ∴四边形为菱形． ∴． 又四边形为正方形， ∴． ∵平面平面， ∴． 而，且平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴． 又平面， ∴平面． 【解析】 【分析】（1）如图，设与交于点，则为正方形的中心，连接，不妨令，则，再由线面平行的性质可证得∥，则可得四边形为平行四边形，得∥，再由线面平行的判定可证得结论； （2）连接，可得四边形为菱形，则，而四边形为正方形，所以，再由已知线面垂直可得，所以由线面垂直的判定可得平面，则，再由线面垂直的判定可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 14. 某校在全校开展党史学习教育活动的问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级用比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本．如果样本中高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，试用样本平均数估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分． 【答案】84.8（分）． 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解各层的人数，进而可求解平均数. 【详解】该校共有学生（人），抽样比为， 高一年级应抽取（人）， 高二年级应抽取（人）， 高三年级应抽取（人）． 估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为（分）． 15. 某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）： 组别 频数 5 20 30 30 10 5 （1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数； （2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案： 方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天； 方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天； “小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？ 【答案】（1）平均数为6.85万元，中位数为万元；（2）方案一. 【解析】 【分析】（1）直接利用平均数的定义计算，由样本数字特征及频率之和为的关系估算出中位数即可； （2）计算两种方案的平均数进行比较可得哪个方案有利 【详解】（1）这100天该大型超市日纯利润的平均数为： （万元）. 前2组频率之和为，前3组频率之和为， 故中位数位于第3组. 设中位数为，则有，解得， 即这100天该大型超市日纯利润的中位数为万元. （2）设选择方案一时小张每天的奖金为元， 则的可能取值为40，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15， 所以获得奖金的平均数（元）. 设选择方案二时小张每天的奖金为元， 则获得奖金的平均数（元）. 因为，所以从统计角度看，小张选择方案一更有利. 【点睛】此题考查了样本的数字特征及频率布表的应用，属于基础题 16. 已知的内角的对边分别是，． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理求； （2）由同角关系求，由余弦定理结合基本不等式求的最大值，根据三角形面积公式求面积的最大值． 【小问1详解】 由， 知， 则． 【小问2详解】 由（1）知， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时等号成立， 故的面积，当且仅当时等号成立， 即时，面积的最大值取最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省高一下学期5月联考 数 学 本试卷满分100分，考试用时75分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教版必修2第5章～第8章. 一、单项选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从空间一点P向二面角的两个面、分别作垂线PE、PF，E，F为垂足，若二面角的大小为60°，则∠EPF的大小为（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 不确定 2. 已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（ ） （1），，三点共线；   （2），，，四点共面；  （3）. A. B. C. D. 5. 如图1，一个正三棱柱容器，高为4，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中错误的是（ ） A. 新农村建设后，养殖收入增加 B. 新农村建设后，种植收入减少 C. 新农村建设后，养殖收入与种植收入的总和超过了经济收入的一半 D. 新农村建设后，其他收入是建设前的4倍 7. 在中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ） A. 这8天里，每天图书借出数的极差大于50 B. 这8天里，每天图书借出数的平均数大于105 C. 这8天里，每天图书借出数的中位数大于101 D. 前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差 二、多选题 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若与平行，与平行，则与平行 C. 若且则 D. 和的数量积就是在上的投影向量与的数量积 11. 2021年2月到7月，两家店每月的营业额（单位：万元）如图所示，根据营业额折线图，下列说法正确的是（ ） A. 店营业额的极差比店营业额的极差小 B. 店2月到7月营业额的分位数是45 C. 店2月到7月每月增加的营业额越来越多 D. 店2月到7月的营业额的平均数为29 12. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 三、解答题 13. 如图，平面与平面交于平面，EF∥平面，四边形为正方形，且． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面． 14. 某校在全校开展党史学习教育活动的问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级用比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本．如果样本中高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，试用样本平均数估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分． 15. 某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）： 组别 频数 5 20 30 30 10 5 （1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数； （2）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案： 方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天； 方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天； “小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？ 16. 已知的内角的对边分别是，． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $