2024年四川省内江市中考数学试题

内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 1 - 页 共 8 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数 学 试 题 班级： 学号： 姓名： 成绩： 本试卷分为 A 卷和 B 卷两部分。A 卷 1至 5页，满分 100分；B 卷 6至 8页，满分 60分。全卷 满分 160分，考试时间 120分钟。 题号 A 卷 B 卷 总分 一 二 三 四 五 17 18 19 20 21 26 27 28 得分 A 卷（共 100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好。 2、答 A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。 第Ⅰ卷（选择题 共 36分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分。） 1、下列四个数中，最大数是（ ） A、 2 B、0 C、 1 D、3 2、2024年 6月 5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反 映季节的变化，指导农事活动。 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中 是中心对称图形的是（ ） A B C D 3、下列单项式中， 3ab 的同类项是（ ） A、 33ab B、 322 ba C、 22ba D、 ba 3 4、2023年我国汽车出口 491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中 491万用 科学记数法表示为（ ） A、 41091.4  B、 51091.4  C、 61091.4  D、 71091.4  5、16的平方根是（ ） A、2 B、 4 C、4 D、 4 6、下列事件时必然事件的是（ ） A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C、小明在 i内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 2 - 页 共 8 页 7、已知 ABC 与 DEF 相似，且相似比为 3:1 ，则 ABC 与 DEF 的周长之比是（ ） A、 1:1 B、 3:1 C、 6:1 D、 9:1 8、不等式 43  xx 的解集是（ ） A、 2x B、 2x C、 2x D、 2x 9、如图， CDAB // ，直线 EF分别交 AB、CD于点 E、F，若  64EFD ，则 BEF 的大小是 （ ） A、 136 B、 64 C、 116 D、 128 D F 第 9题图 BA C E S3 第 11题图 S2 S1 x y O BA B3 第 12题图 O2 A1 O1 B1 B2 A2 A3 O4 O3 10、某市 2021年底森林覆盖率为 64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该 市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 69%。如果这两年森林覆盖率的年平均增长 率为 x，则符合题意得方程是（ ） A、   69.0164.0  x B、   69.0164.0 2  x C、   69.02164.0  x D、   69.02164.0 2  x 11、如图所示的电路中，当随机闭合开关 1S 、 2S 、 3S 中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A、 3 2 B、 2 1 C、 3 1 D、 6 1 12、如图，在平面直角坐标系中， yAB  轴，垂足为点 B，将 ABO 绕点 A逆时针旋转到 11OAB 的位置，使点 B的对应点 1B 落在直线 xy 4 3  上，再将 11OAB 绕点 1B 逆时针旋转到 211 OBA 的位置， 使点 1O 的对应点 2O 也落在直线 xy 4 3  上，如此下去，………，若点 B的坐标为（0，3），则点 37B 的坐标为（ ） A、（180，135） B、 （180，133） C、（ 180 ，135） D、 （ 180 ，133） 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 3 - 页 共 8 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数 学 试 题 第Ⅱ卷（非选择题 共 64分） 注意事项： 1、第Ⅱ卷共 3页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。 2、答题前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13、在函数 x y 1 中，自变量 x的取值范围是 ； 14、分解因式：  mm 52 ___________； 15、已知二次函数 122  xxy 的图象向左平移两个单位得到抛物线 C，点 P（2， 1y ），Q（3， 2y ）在抛物线 C上，则 21 ____ yy （填“>”或“<”）； 16、如图，在矩形 ABCD中， 3AB ， 5AD ，点 E在 DC上，将矩形 ABCD沿 AE折叠，点 D恰好落在 BC边上的点 F处，那么 ________tan EFC . 三、解答题（本大题共 5小题，共 44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17、（本题两个小题，每个小题 4分，满分 8分） （1）计算：    30sin2221 0 （2）化简：    222 xxx  18、（本小题满分 8分） 如图，点 A、D、B、E在同一条直线上， BEAD  ， DFAC  ， EFBC  （1）求证： DEFABC  ； （2）若  55A ，  45E ，求 F 的度数． D E B F C A D EB FC A 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 4 - 页 共 8 页 19、（本小题满分 9分） 某校为了解学生对“生命.生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分 学生进行综合测试。测试结果分为 A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两 幅不完整的统计图。根据统计图中的信息解答下列问题： 12 10 8 6 4 2 0 14 6 12 8 人数 B级 C级 D级A级 等级 学生综合测试等级条形统计图 30% 35% B级 C级 D级 A级 学生综合测试等级条形扇形图 （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）扇形统计图中表示 D级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为 A级的学生大约有多少 人？ 20、（本小题满分 9分） 如图，一次函数 baxy  的图象与反比例函数 x ky  的图象相交于 A、B两点，其中点 A的坐标 为（ 2 ，3），点 B的坐标为（3，n） （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于 x的不等式 x kbax  的解集； x y O B A -2 3 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 5 - 页 共 8 页 21、（本小题满分 10分） 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多 20元，某商 家用 5000元购进的猪肉粽盒数与 3000元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每 盒售价 52元时，可售出 180盒；每盒售价提高 1元时，少售出 10盒。 （1）求这两个函数的表达式； （2）设猪肉粽每盒售价 x元（ 7052  x ），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求 y 关于 x的函数表达式并求出 y的最大值。 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 6 - 页 共 8 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数 学 试 题 B 卷（共 60分） 注意事项：加试卷共 3页，请将答案直接填写在试卷上。 四、填空题（本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分。） 22、已知实数 a、b满足 1ab 的两根，则     1 1 1 1 22 ba ___________； 23、 如图，在 ABC 中，  40DCE ， ACAE  ， BDBC  ，则 ACB 的度数为___________； 第 23题图 D E C BA P I 第 25题图 D E CB A 24、一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上的数字之和也为 9，则 称该数为“极数”。若偶数 m为“极数”，且 33 m 是完全平方数，则 _____m ； 25、如图，在 ABC 中，  60ABC ， 8BC ，E是 BC边上一点，且 2BE ，点 I是 ABC 的 内心，BI的延长线交 AC于点 D，P是 BD上一动点，连接 PE、PC，则 PCPE  的最小值为______． 五、解答题（本大题共 3小题，每小题 12分，共 36分） 26、已知关于 x的一元二次方程 012  pxx （p为常数）有两个不相等的实数根 1x 和 2x . （1）填空： __________21  xx ， ___________21 xx ； （2）求 21 11 xx  ， 1 1 1 x x  ； （3）已知 1222 2 1  pxx ，求 p的值。 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 7 - 页 共 8 页 27、如图，AB是⊙O的直径，C是 ⌒ BD的中点，过点 C作 AD的垂线，垂足为点 E. （1）求证： ACE ∽ ABC ； （2）求证：CE是⊙O的切线； （3）若 CEAD 2 ， 2OA ，求阴影部分的面积。 O B D E C A 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题————第 - 8 - 页 共 8 页 28、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 62  xy 的图象与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， 抛物线 cbxxy  2 经过 A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D作 xDC  轴于点 C，交 AB于点 E. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点 D，使得 BDE 和 ACE 相似？若存在，请求出点 D的坐标，若不存在，请说 明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D重合），过点 F作 x轴的垂线交 AB于点 G，连 接 DF，当四边形 EGFD为菱形时，求点 D的横坐标。 备用图 y xO AC D E B y xO AC D E B 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 1 - 页 共 11 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题参考答案及评分意见 班级： 学号： 姓名： 成绩： 本试卷分为 A 卷和 B 卷两部分。A 卷 1至 5页，满分 100分；B 卷 6至 8页，满分 60分。全卷 满分 160分，考试时间 120分钟。 题号 A 卷 B 卷 总分 一 二 三 四 五 17 18 19 20 21 26 27 28 得分 A 卷（共 100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好。 2、答 A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。 第Ⅰ卷（选择题 共 36分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分。） 1、下列四个数中，最大数是（ D ） A、 2 B、0 C、 1 D、3 2、2024年 6月 5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反 映季节的变化，指导农事活动。 下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中 是中心对称图形的是（ D ） A B C D 3、下列单项式中， 3ab 的同类项是（ A ） A、 33ab B、 322 ba C、 22ba D、 ba 3 4、2023年我国汽车出口 491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中 491万用 科学记数法表示为（ C ） A、 41091.4  B、 51091.4  C、 61091.4  D、 71091.4  5、16的平方根是（ D ） A、2 B、 4 C、4 D、 4 6、下列事件时必然事件的是（ B ） A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C、小明在 i内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 2 - 页 共 11 页 7、已知 ABC 与 DEF 相似，且相似比为 3:1 ，则 ABC 与 DEF 的周长之比是（ B ） A、 1:1 B、 3:1 C、 6:1 D、 9:1 A、 2 8、不等式 3x  x  4的解集是（ A ） x B、 2x C、 2x D、 2x 9、如图， CDAB // ，直线 EF分别交 AB、CD于点 E、F，若  64EFD ，则 BEF 的大小是 （ C ） A、 136 B、 64 C、 116 D、 128 D F 第 9题图 BA C E S3 第 11题图 S2 S1 x y O BA B3 第 12题图 O2 A1 O1 B1 B2 A2 A3 O4 O3 10、某市 2021年底森林覆盖率为 64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该 市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 69%。如果这两年森林覆盖率的年平均增长 率为 x，则符合题意得方程是（ B ） A、   69.0164.0  x B、   69.0164.0 2  x C、   69.02164.0  x D、   69.02164.0 2  x A 11、如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1、S 2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（ A ） 、 3 2 B、 2 1 C、 3 1 D、 6 1 12、如图，在平面直角坐标系中， yAB  轴，垂足为点 B，将 ABO 绕点 A逆时针旋转到 11OAB 的位置，使点 B的对应点 1B 落在直线 xy 4 3  上，再将 11OAB 绕点 1B 逆时针旋转到 211 OBA 的位置， 使点 1O 的对应点 2O 也落在直线 xy 4 3  上，如此下去，………，若点 B的坐标为（0，3），则点 37B 的坐标为（ C ） A、（180，135） B、 （180，133） C、（ 180 ，135） D、 （ 180 ，133） 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 3 - 页 共 11 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题参考答案及评分意见 第Ⅱ卷（非选择题 共 64分） 注意事项： 1、第Ⅱ卷共 3页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。 2、答题前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13、在函数 x y 1 中，自变量 x的取值范围是 ；【答案】 0x 14、分解因式：  mm 52 ___________；【答案】  5mm 15、已知二次函数 122  xxy 的图象向左平移两个单位得到抛物线 C，点 P（2， 1y ），Q（3， 2y ）在抛物线 C上，则 21 ____ yy （填“>”或“<”）；【答案】  16、如图，在矩形 ABCD中， 3AB ， 5AD ，点 E在 DC上，将矩形 ABCD沿 AE折叠，点 D恰好落在 BC边上的点 F处，那么 ________tan EFC .【答案】 3 4 三、解答题（本大题共 5小题，共 44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17、（本题两个小题，每个小题 4分，满分 8分） （1）计算：    30sin2221 0 【详解】解原式 1111 2 1211  【点评】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值，零次幂和特殊三角函数是解决本题的关 键。 （2）化简：    222 xxx  【详解】解原式 44 22  xx 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练地掌握平方差公式及合并同类项是解决本题的关 键。 18、（本小题满分 8分） 如图，点 A、D、B、E在同一条直线上， BEAD  ， DFAC  ， EFBC  （1）求证： DEFABC  ； （2）若  55A ，  45E ，求 F 的度数． 【详解】（1）证明：∵ BEAD  ∴ DBBEDBAD  ，即 DEAB  ∵ DFAC  ， EFBC  ∴ DEFABC  （SSS） D E B F C A D EB FC A 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 4 - 页 共 11 页 （2）∵ DEFABC  ，  55A ∴  55FDEA ∵  45E ∴  80180 EFDEF 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决 本题的关键。 19、（本小题满分 9分） 某校为了解学生对“生命.生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分 学生进行综合测试。测试结果分为 A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两 幅不完整的统计图。根据统计图中的信息解答下列问题： 12 10 8 6 4 2 0 14 6 12 8 人数 B级 C级 D级A级 等级 学生综合测试等级条形统计图 30% 35% B级 C级 D级 A级 学生综合测试等级条形扇形图 （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）扇形统计图中表示 D级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为 A级的学生大约有多少 人？ 【详解】（1）本次抽样测试的学生人数为： 40%3012  （名） 答：答案为 40 （2）扇形统计图中表示 D级的扇形圆心角的度数是：  72360 40 8 C级的人数为： 14%3540  （名） 补充完整的条形统计图如图所示： 12 10 8 6 4 2 0 14 6 12 8 人数 B级 C级 D级A级 等级 学生综合测试等级条形统计图 30% 35% B级 C级 D级 A级 学生综合测试等级条形扇形图 （3） 90600 40 6  （人） 答：该校八年级共有学生 600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为 A级的学生大约有 90人。 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 5 - 页 共 11 页 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答。 20、（本小题满分 9分） 如图，一次函数 baxy  的图象与反比例函数 x ky  的图象相交于 A、B两点，其中点 A的坐标 为（ 2 ，3），点 B的坐标为（3，n） （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于 x的不等式 x kbax  的解集； 【详解】（1）把 A的坐标（ 2 ，3）代入 x ky  ，得 2 3   k ，解得 6k ∴反比例函数的解析式为： x y 6 把 B的坐标（3，n）代入 x y 6 ，得 2 3 6 n ∴B的坐标（3， 2 ） 把 A（ 2 ，3），B（3， 2 ）代入 baxy  ，得      23 32 ba ba 解得：      1 1 b a ∴一次函数的解析式为： x y 6 （2）根据图象，关于 x的不等式 x kbax  的解集为： 02  x 或 3x 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析 式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键。 21、（本小题满分 10分） 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多 20元，某商 家用 5000元购进的猪肉粽盒数与 3000元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每 盒售价 52元时，可售出 180盒；每盒售价提高 1元时，少售出 10盒。 （1）求这两个函数的表达式； （2）设猪肉粽每盒售价 x元（ 7052  x ），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求 y 关于 x的函数表达式并求出 y的最大值。 【详解】解：设豆沙粽每盒的进价为 x元，则猪肉粽每盒的进价为（ 20x ）元 由题意得： xx 3000 20 5000   解得： 30x 经检验： 30x 是原方程的解且符合题意 ∴ 5020 x 答：猪肉粽每盒 50元，豆沙粽每盒 30元。 （2）设猪肉粽每盒售价 x元（ 7052  x ），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 x y O B A -2 3 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 6 - 页 共 11 页        10006010521018050 2  xxxy ∵ 7052  x ∴当 60x 时，y取得最大值为 1000元。 【点评】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等 量关系及二次函数配方求最值问题。 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 7 - 页 共 11 页 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题参考答案及评分意见 B 卷（共 60分） 注意事项：加试卷共 3页，请将答案直接填写在试卷上。 四、填空题（本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分。） 22、已知实数 a、b满足 1ab 的两根，则     1 1 1 1 22 ba ___________；【答案】1 23、 如图，在 ABC 中，  40DCE ， ACAE  ， BDBC  ，则 ACB 的度数为_____； 【答案】 100 第 23题图 D E C BA P I 第 25题图 D E CB A 24、一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上的数字之和也为 9，则 称该数为“极数”。若偶数 m为“极数”，且 33 m 是完全平方数，则 _____m ；【答案】1188或 4752 25、如图，在 ABC 中，  60ABC ， 8BC ，E是 BC边上一点，且 2BE ，点 I是 ABC 的 内心，BI的延长线交 AC于点 D，P是 BD上一动点，连接 PE、PC，则 PCPE  的最小值为______． 【答案】 132 五、解答题（本大题共 3小题，每小题 12分，共 36分） 26、已知关于 x的一元二次方程 012  pxx （p为常数）有两个不相等的实数根 1x 和 2x . （1）填空： __________21  xx ， ___________21 xx ； （2）求 21 11 xx  ， 1 1 1 x x  ； （3）已知 1222 2 1  pxx ，求 p的值。 【详解】解：（1）由根与系数的关系得： pxx  21 ， 121 xx （2）∵ pxx  21 ， 121 xx ∴   2 211 2 21 21 2 21 21 2 2 2 1 21      p xx xxxx xx xx xx 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 8 - 页 共 11 页 ∵关于 x的一元二次方程 012  pxx （p为常数）有两个不相等的实数根 1x 和 2x ∴ 011 2 1  pxx ∴ 01 1 1  x px ，即 p x x  1 1 1 （3）由根与系数的关系得： pxx  21 ， 121 xx ∵ 1222 2 1  pxx ∴   122 21221  pxxxx ∴ 1222  pp 解得： 31 p ， 12 p 当 3p 时， 054942  p ；当 1p 时， 0342  p ∴ 3p 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键。 27、如图，AB是⊙O的直径，C是 ⌒ BD的中点，过点 C作 AD的垂线，垂足为点 E. （1）求证： ACE ∽ ABC ； （2）求证：CE是⊙O的切线； （3）若 CEAD 2 ， 2OA ，求阴影部分的面积。 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径 ∴  90ACB 又∵ ADCE  ， ∴  90AEC ∴ AECACB  ∵C是 ⌒ BD的中点 ∴  ⌒ BC ⌒ DC ∴ EACBAC  ∴ ACE ∽ ABC （2）连接 OC ∵ OCOA  ∴ ACOCAO  ∴ EACBAC  ∴ ACOEAC  ∴ AEOC // ∵ ADCE  O B D E C A 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 9 - 页 共 11 页 ∴ OCCE  ∵OC是⊙O的半径 ∴CE是⊙O的切线 （3）连接 DB、OD ∵AB是⊙O的直径 ∴  90ADB ∵  90ECOAEC ∴四边形 DECF是矩形 ∴ ECDF  ∵OC是半径，C是 ⌒ BD的中点 ∴ FBDF  ， DBOC  即 ECDFDB 22  ∵ CEAD 2 ∴ DBAD  ∴  45DBADAB ∴  902 DBADOA ∴   1 2 122 2 1 360 290 2       AODAOD SSS 扇形阴影部分 【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及圆中的计算问题，熟练地掌握相似三角形的 判定和切线的判定是解决本题的关键。 28、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 62  xy 的图象与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， 抛物线 cbxxy  2 经过 A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D作 xDC  轴于点 C，交 AB于点 E. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点 D，使得 BDE 和 ACE 相似？若存在，请求出点 D的坐标，若不存在，请说 明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D重合），过点 F作 x轴的垂线交 AB于点 G，连 接 DF，当四边形 EGFD为菱形时，求点 D的横坐标。 备用图 y xO AC D E B y xO AC D E B O B D E C A F 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 10 - 页 共 11 页 图 1 y xO AC D E B 【详解】解：（1）令 0y ，则 062  x ，则 3x ；令 0x ，则 6y ∴A（3，0），B（0，6） 把 A（3，0），B（0，6）代入 cbxxy  2 ，得：      6 039 c cb 解得：      6 1 c b ∴这条抛物线所对应的函数表达式为： 62  xxy （2）存在点 D，使得 BDE 和 ACE 相似。过点 B作 DCBH  于 H 设点 D（t， 62  tt ），则 E（t， 62  t ），C（t，0），H（t， 6） ∴ 62  tEC ， tAC  3 ， tBH  ， ttDH  2 ， ttDE 32  ∵ BDE 和 ACE 相似， AECBED  ∴ ACE ∽ BDE 或 ACE ∽ DBE ①如图 1，当 ACE ∽ BDE 时，  90ACEBDE ∴ ACBD // ∴D点纵坐标为 6 ∴ 662  tt ，解得： 0t 或 1t ∴D（1，6） ②如图 2，当 ACE ∽ DBE 时， CAEBDE  ∵ DCBH  ∴  90BHD ∴ OA OBCAEBDE DH BH  tantan ∴ 2 3 6 2  tt t ∴ ttt  22 2 ，解得： 0t （舍去）或 2 1 t ∴D（ 2 1 ， 4 25 ） 综上所述，点 D的坐标为（1，6）或（ 2 1 ， 4 25 ） （3）如图 3，∵四边形 EGFD为菱形 ∴ FGDE // ， FGDE  ， EGED  设点 D（m， 62  mm ），E（m， 62  m ），F（n， 62  nn ），G（n， 62  n ） ∴ mmDE 32  ， nnFG 32  ∴ nnmm 33 22  ，即    03  nmnm ∵ 0 nm ∴ 03  nm ，即 3 nm 或 mn  3 过点 G作 DEGK  于 K ∴ ACKG // y xO AC D E B H 图 2 内江市 2024年初中学业水平考试暨高中阶段招生考试数学试题参考答案及评分意见———第 - 11 - 页 共 11 页 ∴ BACEGK  ∴ AB OABACEGK EG KG  coscos ，即 53 3   EG mn ∴    mmnEG 2355  ∵ EGDE  ∴  mmm 23532  ∴   0535232  mm 解得： 2 29523  m （不合题意，舍去）或 2 29523  m 故 2 29523  m 答：点 D的横坐标为 2 29523  【点评】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定 系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学 知识，要会分类讨论。 图 3 C K E Dy xO A B F G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数 学 试 题 总分 A 卷 第Ⅰ卷（选择题，36 分） 一、选择题（每小题 4分，共 36分） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 11 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 12 A B C D 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考 证号、姓名，在规定的位置贴好条形码。 2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅 笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注 意 事 项 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 18、（8分） 如图，点 A、D、B、E在同一条直线上， BEAD  ， DFAC  ， EFBC  （1）求证： DEFABC  ； （2）若  55A ，  45E ，求 F 的度数 21（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进 价比豆沙粽的进价每盒多 20 元，某商家用 5000 元购进的猪肉粽盒数 与 3000元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每盒 售价 52元时，可售出 180盒；每盒售价提高 1元时，少售出 10盒。 （1）求这两个函数的表达式； （2）设猪肉粽每盒售价 x元（ 7052  x ），y表示该商家销售猪肉粽 的利润（单位：元），求 y关于 x的函数表达式并求出 y的最大值。 二、填空题 （每小题 5分，共 20分） 13、 。 14、 。 15、 。 16、 。 16 （5分） cm。 20、（共 9分） 三、解答题（共 44分） 17、（本题两个小题，每个小题 4分，满分 8分） （1）计算：    30sin2221 0 （2）化简：    222 xxx  班 级 ： 姓 名 ： 考 号 ： ------------------------------------------- 密-------------------------------------------- 封---------------------------- 线----------------------------- 19、（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 五、解答题（共 36分） 26（本小题满分 12分） 已知关于 x的一元二次方程 012  pxx （p为常数）有两个不相等的实 数根 1x 和 2x . （1）填空： __________21  xx ， ___________21 xx ； （2）求 21 11 xx  ， 1 1 1 x x  ； （3）已知 1222 2 1  pxx ，求 p的值。 28 题（本小题满分 12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 62  xy 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 cbxxy  2 经过 A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D， 过点 D作 xDC  轴于点 C，交 AB于点 E. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点 D，使得 BDE 和 ACE 相似？若存在，请求出点 D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D重合），过点 F作 x轴的垂线交 AB于点 G，连接 DF，当四边形 EGFD为菱形时，求 点 D的横坐标。 B 卷 加试卷（共 60 分） 四、填空题（每小题 6分，共 24分） 22、 23、 24、 25、 27 题（本小题满分 12分） 如图，AB是⊙O的直径，C是 ⌒ BD的中点，过点 C作 AD的垂线，垂足为 点 E. （1）求证： ACE ∽ ABC ； （2）求证：CE是⊙O的切线； （3）若 CEAD 2 ， 2OA ，求阴影部分的面积。