精品解析：2024年河南省南阳市内乡县九年级调研测试（三模）数学试题

2024年九年级调研测试（三）数学试题 （满分：120分 时间：100分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 这四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里，远地点高度约380000公里的预定地月转移轨道．将380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 44° D. 54° 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. “端午节”是我国的传统佳节，小明的妈妈包了“原味”“红枣”“鲜肉”“蛋黄”四种口味的粽子各一个，粽子外观上没有任何区别．小明从中拿了一个粽子，食用后发现很好吃，再从中拿了一个粽子食用，小明取出的两个粽子是“红枣”和“鲜肉”的概率（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从A点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到A点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书． 12. 关于x的不等式组 的解集为_____ ． 13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 14. 如图，在菱形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在矩形中，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若点E是恰好是边的中点，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 18. 如图，是的直径，是上一点，连接． （1）使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； （2）点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 19. 如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 20. 心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． （1）求注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式； （2）开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 21. 初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． （1）求篮球、实心球的单价各是多少元？ （2）该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 23. 【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是________； （2）在（1）的基础上，求四边形的面积； （3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点M，交于点N，连接，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级调研测试（三）数学试题 （满分：120分 时间：100分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 这四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据绝对值的定义化简，再根据“正数负数”即可得出答案． 【详解】解：， ， 即在这四个数中，最大的数是． 故选：C． 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里，远地点高度约380000公里的预定地月转移轨道．将380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ） A. 26° B. 36° C. 44° D. 54° 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解． 【详解】解： EO⊥CD， ， ， ． 故选：B ． 【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则，完全平方公式对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A.和不是同类项，无法合并，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项错误； D. ，故本选项正确； 故选D 【点睛】本题主要考查同类项合并，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 6. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，圆周角定理等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，圆周角定理是解题的关键． 由为切线，可得，由，可得，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 方程有两个不等实根． 故选：A． 8. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，利用二次函数的性质结合所给的二次函数图像可以判断、、的符号，然后结合一次函数和反比例函数的性质可以推断正确的图像． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴的正半轴， ∴， ∵对称轴 得出， ∴一次函数经过一、三、二象限，反比例函数 经过一、三象限， 故选：A． 【点睛】结合已知的二次函数图像正确判断a、b、c的符号的关键． 9. “端午节”是我国的传统佳节，小明的妈妈包了“原味”“红枣”“鲜肉”“蛋黄”四种口味的粽子各一个，粽子外观上没有任何区别．小明从中拿了一个粽子，食用后发现很好吃，再从中拿了一个粽子食用，小明取出的两个粽子是“红枣”和“鲜肉”的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式（概率所求情况数与总情况数之比）求解即可． 【详解】解：记“原味”“红枣”“鲜肉”“蛋黄”粽子分别为，，，，画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中抽取的口味恰好是“红枣”（即）和“鲜肉”（即）的可能结果有种可能， ∴（抽取的口味恰好是“红枣”和“鲜肉”的可能结果）． 故选：C． 10. 如图1，动点P从A点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到A点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量． 当两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意，结合函数图象，可知： 当时，点P在上运动； 当时，点P运动到点B，即； 由图知，点P在上运动时间均为，则在上运动了， 即由A到C运动了； 当时，点P在上运动； 当时，点P运动到点C，即． 在矩形中，，则， 故答案为：B． 二、填空题（共15分） 11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据每班可分到的图书图书总数班级总数，即可求解． 【详解】解：由题意得每班可分到的图书为 故答案为： 12. 关于x的不等式组 的解集为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别求出每个不等式的解集，依据：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 故答案为： 13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 【答案】460 【解析】 【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只）， 故答案为：460． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确． 14. 如图，在菱形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及菱形的性质，连接、相交于点，将图中不规则的阴影部分的面积转化为规则的扇形和三角形的面积之间的关系即可得出答案，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积之差是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，平分， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若点E是恰好是边的中点，则的长为________． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．根据题意分情况求解是解题的关键． 由矩形，可得，，由题意知，，由题意知，当在边上时，如图1，作于，则四边形是矩形，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当在边上时，如图2，作于，则四边形是矩形，则，，由折叠的性质可知，，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由题意知，， 由题意知，当在边上时，如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当在边上时，如图2，作于，则四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知，，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 综上所述，的长为或4． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可； （2）先通分，然后利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，最后进行除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，分式的化简，利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解等知识．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，分式的化简，利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解是解题的关键． 17. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 18. 如图，是的直径，是上一点，连接． （1）使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； （2）点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：如图，为的切线： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线，切线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧交和的延长线玩点为M，N，分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，将于两点，过两点作直线，则为的切线； （2）由切线的性质得，求出，由垂径定理和勾股定理可求出，再证明，可求出，从而可求出的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∴， 又 ∴AB=10， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 19. 如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的判定与性质，先分析题干得出，，，再得出，然后证明，把数值代入，算出，即可作答． 【详解】解：过点作于点， 由题意知，， 在中，，， 设，则． ，， ， 即， 解得， 则（米）． 答：塔顶到水平面的距离为20米． 20. 心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． （1）求注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式； （2）开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【答案】（1）注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式为 （2）开始学习后第分钟时注意力更集中 （3） 解：根“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成， ∴当时，， ∴这样安排不合理． 【解析】 【分析】（1）根据图示，运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）中函数解析式，将，代入计算，即可求解； （3）根据题意，将代入计算，再与注意力指标数比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，，设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴； 当时，，设双曲线的解析式为， ∴， ∴双曲线的解析式为； ∴注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，；当时，； ∵， ∴开始学习后第分钟时注意力更集中． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查函数图象与实际问题的综合，掌握待定系数法求解析式，根据自变量的不同值求对应的函数值的方法是解题的关键． 21. 初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． （1）求篮球、实心球的单价各是多少元？ （2）该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）篮球的单价是30元，实心球的单价是20元 （2） 最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下： 设该校购进个篮球，则购进个实心球， 根据题意得：， 解得：． 设该校购进篮球、实心球共花费元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时（个， 最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设篮球的单价是元，实心球的单价是元，根据“购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购进个篮球，则购进个实心球，根据“总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校购进篮球、实心球共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，实心球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元； 【小问2详解】 略 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是________； （2）在（1）的基础上，求四边形的面积； （3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点M，交于点N，连接，求的周长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）的周长为4 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，有一个角是角的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）过作于E，根据，结合解答即可； （3）将绕点D顺时针方向旋转，得到，利用三角形全等的判定和性质，等量代换解答即可． 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质没接直角三角形，勾股定理，熟练掌握性质和解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）绕点D顺时针方向旋转，得到， 故， 则的形状是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）过作于E， 由（1）知，， ∴， ∴， 由（1）知为等边三角形， ∴， ∵四边形的面积=等边三角形的面积， ∴， ∴； （3）解：将绕点D顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴，，，， ∵是等腰三角形，且， ∴，， 又∵等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴N，C，P三点共线， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴的周长． 故的周长为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $