专题13 导数与函数的单调性（七大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题13导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 考点01函数与导函数图象的关系 【例1】已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A．B．C．D． 【例2】已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数的图象如下图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】函数在定义域内可导，记的导函数为的图象如图所示，则的单调增区间为（    ） A．， B．， C．， D．，， 【变式1-3】（多选）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 考点02求函数的单调区间 【例3】（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【变式2-1】函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 考点03由函数的单调区间求参数 【例5】若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【例6】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【变式3-1】如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【变式3-2】若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【变式3-3】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04已知函数在区间上（不）单调求参数 【例7】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 考点05已知函数在区间上存在单调求参数 【例9】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ． 【变式5-1】已知函数在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【变式5-2】已知函数在上存在单调递减区间，求实数m的取值范围． 【变式5-3】已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围． 考点06构造函数解不等式 【例11】已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例12】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 【变式6-3】已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点07含参讨论单调区间 【例13】已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【例14】已知函数，．求函数的单调区间. 【变式7-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【变式7-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 【变式7-3】已知函数,其中.求的单调区间． 易错01对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 注意：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 1．在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（多选）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 易错02对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 注意：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0 1．已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 11．，均有成立，求a的取值范围，以下选项错误的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，其单调增区间为 ； 13．已知函数，若，，且，则的最小值是 14．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．若函数，求 的单调区间. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 17．函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 18．设函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间内单调递增，求k的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题13导数与函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 考点01函数与导函数图象的关系 【例1】已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增， 则先为负数，再为正数， 在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 所以先为正数，再为负数，最后为正数， 故只有B选项符合. 故选：B. 【例2】已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象可知， ， 所以当时，， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 结合选项可知：C正确，ABD错误. 故选：C 【变式1-1】已知函数的图象如下图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， , , 由图可知，， 在和单调递减，单调递增， 故的解集为, 所以二次函数开口向下，， 且的根为， 故，， 所以. 故选：C 【变式1-2】函数在定义域内可导，记的导函数为的图象如图所示，则的单调增区间为（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【详解】由图可知当且仅当或时，，从而的单调增区间为，. 故选：B. 【变式1-3】（多选）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 考点02求函数的单调区间 【例3】（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 【例4】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 【变式2-1】函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 令，解得， 所以单调递减区间为. 故选：A. 【变式2-2】（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故选：AC. 【变式2-3】（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】, 令，可得,解得或， 所以的单调递增区间是，, 所以在与上单调递增. 故选：BD. 考点03由函数的单调区间求参数 【例5】若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 【例6】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得在上恒成立， 因此， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 【变式3-1】如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：且，解得 此时，令解得符合题意，故. 故答案为：. 【变式3-2】若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】的定义域为， 因为函数在定义域上是增函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立， ，当且仅当时成立， 则. 故答案为： 【变式3-3】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 因为函数在区间上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，则，解得. 故选：B 考点04已知函数在区间上（不）单调求参数 【例7】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 【例8】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，， 所以 故选：D 【变式4-1】函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意, 因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 令，令，得 , 令，则 , 当时，单调递增，又， 所以，故, 所以的取值范围是 故选：D 【变式4-2】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递减，得，， 显然函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【变式4-3】已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 【答案】 【详解】函数，求导得， 由在上不单调，得函数在上存在变号零点， 而函数在上单调递增，，， 因此，又，解得， 所以a的取值范围为． 考点05已知函数在区间上存在单调求参数 【例9】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，若在区间内存在单调递增区间， 则在有解，故有解， 而在递增，，故. 故选：A. 【例10】已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得的定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在递减区间， 即在区间上能成立. 设，，开口向上，对称轴为， 所以当时，单调递增，所以， 所以，则，即实数a的取值范围为. 故答案为:. 【变式5-1】已知函数在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】因为，，， 若在上存在单调递增区间，则在上有解， 即在上有解，， 又，，则的取值范围是：. 故答案为：. 【变式5-2】已知函数在上存在单调递减区间，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】∵， ∴， 因为函数在上存在单调递减区间, 所以在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，此时， ∴，则， ∴，即． 【变式5-3】已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为， 因为存在单调递减区间，则在上有解， 即在上有解，可知， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围是 ． 考点06构造函数解不等式 【例11】已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 【例12】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由可得， 令，， 所以在上单调递增， 所以由，即， 当时，因为在上单调递增，所以， 当，因为在上单调递增，所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式6-1】已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于，解得， 所以不等式 的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解. 【变式6-2】已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则 因为当时，，即 所以当时，单调递减， 由不等式可得， 即,故有，解得：， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-3】已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 考点07含参讨论单调区间 【例13】已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【详解】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 【例14】已知函数，．求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为．由题意得, 当时, ，则在区间内单调递增； 当时，由，得或（舍去）, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式7-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即. （2）由题其定义域为R，可得， 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，由，解得， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间上，； 在区间上，； 所以在上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以在上单调递增；在上单调递减. 【变式7-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 曲线在处的切线与垂直， 所以， 得； （2）由得， 当时，的定义域为， 令得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，的定义域为， 令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式7-3】已知函数,其中.求的单调区间． 【答案】答案见解析 【详解】, 令，即解不等式:, ① 当时,解得:, 故的单调区间为： ② 当时, ,所以解得:, 故的单调区间为： ③ ,则,常值函数不具备单调性. ④ 时,解得:或, 故的单调区间为： 综上，当时, 在递减，在递增，在递减; 当时, 在递减，在递增，在递增，在递减； 当时,则,常值函数不具备单调性; 当时, 在递增，在递减，在递减，在递增. 易错01对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 注意：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负 1．在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况， 比如在R上单调递增，且， 故是函数在该区间严格增的充分不必要条件. 故选：A 2．（多选）设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知当时，；当时，； 由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，； 又在上单调递增，在上单调递减， 结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，当时，， 故当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故可以使成立的x的取值范围是，，， 故选：ABD 易错02对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 注意：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0 1．已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【详解】因为，所以， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，所以，故，即， 故选：AB. 2．（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误； B选项，定义域为， ，令，解得， 所以单调递增区间为，B正确； C选项，定义域为， ，令，解得或， 所以单调递增区间为，，C错误； D选项，定义域为， ，令，解得， 故单独递增区间为，D正确. 故选：BD 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 故选：B. 2．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的图象及导数的几何意义可知， 当时，为减函数，故，排除A、C； 当时，先增再减后增，故先正再负后正，排除B. 故选：D. 3．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，函数定义域为， 有，得是奇函数，图象关于原点对称，排除B； 当时，，， 函数在上单调递增，且值域为R，所以存在使得， 当时，；当时，， 所以在上先增后减，排除A，D； 故选：C． 5．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 6．若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知在恒成立， ， 取，则，即为函数的一个单调区间，所以的最大值为。 故选：C 7．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：A 8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， ，， 在定义上单调递减； 又为偶函数，，， ， 则不等式，即， 解得，即不等式的解集为. 故选：A． 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确． 故选：ACD． 10．函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得， 令，解得或， 结合选项可知函数的单调减区间可以为,, 故选:AC. 11．，均有成立，求a的取值范围，以下选项错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】不妨设，则， 由，得，即， 则，令，于是，， 因此在区间上单调递减，求导得对于恒成立， 即对于恒成立，从而对于恒成立， 而函数在区间上单调递减，当时，，则， 所以a的取值范围是，B正确，ACD错误. 故选：ACD 三、填空题 12．已知函数，其单调增区间为 ； 【答案】 【详解】由题得函数的定义域为 由，则， 令，得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13．已知函数，若，，且，则的最小值是 【答案】8 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．若函数，求 的单调区间. 【答案】减区间为，增区间为. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得：． 当时，，． 故曲线在处的切线方程为． （2）(方法一) 定义域为，当时，． 设，则在单调递增． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，从而． 当且仅当且时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. (方法二) 定义域为，． 设，则为单调递增函数等价于且没有连续的值使． ，设，则在单调递增． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以， 当且仅当时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. 17．函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2) 【详解】（1）当时，, 令，得或，所以的增区间为，， 令，得，所以的减区间为 故当时，的增区间为和，减区间为. （2）由题可得，要使在上为单调函数， 则在上恒成立， 则，即，解得：, 所以的取值范围为 18．设函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间内单调递增，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当，，，， 又. 所以， 整理得：. （2）由题意，在内导数非负， 即在上恒成立，令， 从而需满足：且， 所以且，经检验符合题意， 所以k的取值范围是. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意知，当时，， 则， 故曲线在处的切线方程为． （2）的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$