专题1.9 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.9 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类： ① ② 【知识点二】数轴0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 【知识点三】相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；互为相反数，0的相反数0; （2）注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b； 【知识点四】绝对值 (1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。 (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ①非负性：|a|≥0 ②|a|=|-a| ③若|a|=b则a=±b ④； . 【知识点五】有理数的大小比较 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义 【例1】一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？ 【变式1】下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【变式2】某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y℃与向上攀登的高度 x km 的几组对应值如表： 若每向上攀登 1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.5km 时，登山队所在位置的气温约为 ． 【题型2】有理数的分类 【例2】（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【变式1】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习）将下列数分类：，12，，，，0，，． 正有理数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负分数集合{ …}． 【题型3】数轴（数形结合的应用） 【例3】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． （1）在数轴上标出原点O． （2）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【变式1】（2024·河北唐山·一模）如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正确的有（填序号） ． ①；②；③ 【题型4】数轴与相反数 【例4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）给出下列6个数：，，0，，4，，在这些数中： （1）负整数有 ，互为相反数的两个数是 ； （2）画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来． 【变式1】（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）如图，的相反数在数轴上的位置为（　 　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【题型5】绝对值 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、在数轴上如图， （1）在数轴上表示、； （2）用、或填空：______，______，______，______ （3）试用连接，0，， 【变式1】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【题型6】数轴上的动点问题 【例6】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______． （2）表示：_________；表示：__________． （3）根据以上结论，若，则=__________． 【变式1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（    ） A．或1 B．或2 C． D．1 【例2】（2019·山东枣庄·中考真题）点在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．        （1）求、两点相距多少个单位长度？ （2）若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； （3）点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类： ① ② 【知识点二】数轴0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 【知识点三】相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；互为相反数，0的相反数0; （2）注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b； 【知识点四】绝对值 (1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。 (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ①非负性：|a|≥0 ②|a|=|-a| ③若|a|=b则a=±b ④； . 【知识点五】有理数的大小比较 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义 【例1】一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？ 【答案】向西运动米怎样表示米；运动0m米表示物体没有运动． 解：分析：利用向东前进记为“＋”，向西前进记为“−”，再根据正负数表示相反意义的量，可得结果． 解：一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动5米记作＋5米，那么向西运动6.8米怎样表示−6.8米； 如果运动6m米表示物体向东运动6米，运动−15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动． 点拨：本题考查了正数与负数，正确理解正负数表示相反意义的量是解题关键． 【变式1】下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【答案】C 【分析】根据有理数的概念和性质判断即可． 解：∵0既不是正数，也不是负数， ∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； 故选C． 【点拨】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键． 【变式2】某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y℃与向上攀登的高度 x km 的几组对应值如表： 若每向上攀登 1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.5km 时，登山队所在位置的气温约为 ． 【答案】-10 【分析】根据题意和表格中各个数据的变化规律即可推测向上攀登的海拔高度为2.5km 时，登山队所在位置的气温大于是多少． 解：由表格中的数据可知， 每上升 0.5km，温度大约下降 3℃， ∴向上攀登的海拔高度为 2.5km 时，登山队所在位置的气温约为﹣10℃， 故答案为﹣10． 【点拨】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，此题答案不唯一，在﹣10.8≤t≤﹣9.6 范围内即可． 【题型2】有理数的分类 【例2】（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、分数、非负整数的定义进行分类即可． 解：正数集合：，，，，，； 整数集合：，，，； 正分数集合：，，，； 非负整数集合：，． 【变式1】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分； ②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数； ③、非负数指的是正数和0，说法错误； ④、整数和分数统称有理数，说法正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习）将下列数分类：，12，，，，0，，． 正有理数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负分数集合{ …}． 【答案】 12，，， 12，，0 ， 【分析】本题主要考查了有理数的相关定义，正确化简各数是解题关键． 化简各数，进而分别利用正有理数、非负整数、负分数分析，再分类填写． 解： 正有理数集合{12，，，…}； 非负整数集合{12，，0…}； 负分数集合{，…}． 故答案为： 12，，，；  12，，0；，． 【题型3】数轴（数形结合的应用） 【例3】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． （1）在数轴上标出原点O． （2）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较： （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“＜”连接起来即可． 解：（1）解：原点O如图， （2）解：， 各点在数轴上表示为： 故． 【变式1】（2024·河北唐山·一模）如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，熟悉掌握从数轴上提取信息是解题的关键； 根据数轴得到，，，逐一判断即可． 解：由题意可得：，，， ①，正确； ②，正确； ③，正确； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正确的有（填序号） ． ①；②；③ 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可求解． 解：由数轴可知：， ∴， 故①②正确，③错误， 故答案为：①②． 【题型4】数轴与相反数 【例4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）给出下列6个数：，，0，，4，，在这些数中： （1）负整数有 ，互为相反数的两个数是 ； （2）画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来． 【答案】(1)，；，； (2)图见解析， 【分析】本题考查了绝对值的意义，用数轴上的点表示有理数，相反数和有理数的大小比较等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先将各数化简，再根据有理数的分类和相反数的意义作答即可； （2）先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 解：（1）， ∴负整数有，；互为相反数的两个数是，； 故答案为：，；，； （2）如图所示： 故． 【变式1】（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）如图，的相反数在数轴上的位置为（　 　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可得的相反数为2，再在数轴上确定其位置即可． 解：的相反数为2， 结合数轴可知，2在数轴上的位置为点， ∴的相反数在数轴上的位置为点． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了相反数和数轴的知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查相反数．根据相反数的性质得，求解即可，解题的关键是熟知相反数的性质． 解：∵与互为相反数， ， 解得：， 故答案为：2． 【题型5】绝对值 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、在数轴上如图， （1）在数轴上表示、； （2）用、或填空：______，______，______，______ （3）试用连接，0，， 【答案】(1)见解析； (2)，，，；(3) 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出、； （2）根据数轴得到，再利用绝对值的意义可得结论； （3）根据数轴得到，，，再判断式子的正负和大小． （1）解：与a，与b都是关于原点对称的， 与在数轴上的位置如下图： （2）由图可知：， ，，，， 故答案为：，，，； （3），，， ，， ，， ． 【变式1】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 解：， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【题型6】数轴上的动点问题 【例6】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______． （2）表示：_________；表示：__________． （3）根据以上结论，若，则=__________． 【答案】(1)15； （2)数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离；数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； (3)． 【分析】本题考查了利用数形结合解决含有绝对值的计算问题，关键是利用数轴确定算式的结果； （1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离．代入数值计算即可求两点间的距离； （2）根据两点间的距离求解即可； （3）比较每个绝对值中数的大小，根据数轴上两点之间的距离化简即可． 解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：15； （2）A、B两点之间的距离为：， 表示数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离； 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离；数轴上表示x的点与表示的点之间的距离； （3）表示的点之间的距离； 表示的点1之间的距离； 表示的点m之间的距离； 表示的点m之间的距离； 表示到点1之间的距离； 故答案为： 【变式1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则、绝对值的性质、相反数的意义逐项判断即可求解，掌握有理数的大小比较法则和绝对值的性质是解题的关键． 解：、∵，，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（    ） A．或1 B．或2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可． 解：由题意得：|2a+1|=3 当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1 当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2 所以a的值为1或-2． 故答案为A． 【点拨】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键． 【例2】（2019·山东枣庄·中考真题）点在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和数轴可以用含 a的式子表示出点 B表示的数，本题得以解决． 解：为原点，，，点所表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为：， 故选． 【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2、拓展延伸 【例1】解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    【答案】（1）6或8． （2）． 【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解． （2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决． 解：（1）∵，， ∴或，或， ①当，时，（舍去）， ②当时，， ③当时，， ． ④当时，， ． 则②3④满足，则或8． （2）由题得：， ∴ ． 【点拨】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合的思想解答． 【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．        （1）求、两点相距多少个单位长度？ （2）若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； （3）点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)个单位长度；(2)或；(3)． 【分析】（）先由绝对值和平方数的非负性求出和，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解； （）根据点的位置分情况讨论即可求解； （）点向左移个单位，再向右移动个单位，依次规律，列出算式即可求解． 解：（1）因为，，， 所以，， 所以，， ， 答：、两点相距12个单位长度； （2）若点在B点的右侧，则． 所以． 所以点表示的数为． 若点在A，B点之间，则． 所以． 所以点表示的数为． 综上，点表示的数为或． （3）， 答：点表示的数为． 【点拨】此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离及数轴上的动点问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$