专题1.7 绝对值（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.7 绝对值（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点二】几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点三】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： ；若，则 ． 【变式1】的相反数是（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 【题型2】绝对值的几何意义 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【变式1】（22-23七年级上·广西玉林·期中）若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，，且，则 ， . 【题型3】绝对值的非负性： 【例3】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【变式1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【题型4】绝对值的化简 【例4】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【变式1】（2023·宁夏吴忠·模拟预测）已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【题型5】解绝对值方程 【例5】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【题型6】利用绝对值比较有理数的大小 【例6】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【变式1】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小： （1）0 ；（2） ；（3） ． 【变式2】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（   ） A． B． C． D． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【例2】（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．3 D． 2、拓展延伸 【例1】解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． （1）①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； （2）若，e是的“反比数”，求； （3）若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 绝对值（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点二】几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点三】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： ；若，则 ． 【答案】 4.5 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 点拨； ∵， ∴． 故答案为：4.5；． 【点拨】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 【变式1】的相反数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，相反数，根据绝对值和相反数的定义即可求解． 解：∵，的相反数是， ∴的相反数是． 故选：A 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 【答案】 2.4 3 0 【分析】根据绝对值的代数意义解答即可．绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 解：（1）2.4到原点的距离是2.4，所以； 故答案为：2.4 （2）到原点的距离是3，所以； 故答案为：3； （3）0到原点的距离是0，所以． 故答案为：0． 【点拨】本题主要考查了绝对值，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义． 【题型2】绝对值的几何意义 【例2】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【答案】（1）两个，4和；（2）一个，0；（3）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的定义以及性质解决此题；（2）根据绝对值的定义以及性质解决此题；（3）根据绝对值的非负性解决此题． 解：（1）绝对值等于4的数有两个，分别是4和． （2）绝对值是0的数有一个，是0． （3）不存在绝对值是的数，理由：任意实数的绝对值大于或等于0，是非负数． 【点拨】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解决本题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·广西玉林·期中）若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的绝对值等于本身，可得，即可求解． 解：∵， ∴， 即． 故选：C． 【点拨】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键． 【变式2】已知，，且，则 ， . 【答案】 -2018 -2019 【分析】根据绝对值意义求出各数. 解：因为， 所以x=±2018,y=±2019 因为 所以x=-2018，y=-2019 【点拨】考核知识点：绝对值.理解定义是关键. 【题型3】绝对值的非负性： 【例3】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】点拨本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，，， ∴，，． 【变式1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）若与互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 【题型4】绝对值的化简 【例4】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 【变式1】（2023·宁夏吴忠·模拟预测）已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查运用数轴上的点表示实数，绝对值．先根据数轴确定出的符号，再去绝对值即可．解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零． 解：由图可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【题型5】解绝对值方程 【例5】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】2010或2036 【分析】本题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的意义进行化简即可． 解：， ， ， ， ， ∴， ∴或2010． 故答案为：2010或2036． 【变式2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 【题型6】利用绝对值比较有理数的大小 【例6】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简绝对值、化简多重符号，熟练掌握正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，是解此题的关键． （1）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案； （2）先将各数化简，再进行比较即可得出答案； （3）先将各数化简，再进行比较即可． 解：（1），，， ； （2），，， ； （3），， ． 【变式1】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小： （1）0 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解． 解：（1）； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以． 故答案为：；； 【变式2】（23-24六年级上·山东烟台·期中）下列比较大小错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，分别根据正数与负数、正数与正数、负数与负数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 解：A、∵，∴，故本选项正确； B、∵，∴，故本选项正确； C、∵，∴，故本选项正确； D、∵，∴，故本选项错误． 故选：D． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 解：∵ 正数>0>负数，， ∴ ∴， ∴比小的是． 故选：D． 【例2】（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 解：∵， ∴最小的数是； 故选：A． 2、拓展延伸 【例1】解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    【答案】（1）6或8． （2）． 【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解． （2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决． 解：（1）∵，， ∴或，或， ①当，时，（舍去）， ②当时，， ③当时，， ． ④当时，， ． 则②3④满足，则或8． （2）由题得：， ∴ ． 【点拨】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合的思想解答． 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② ； (2)0或；(3)6或或或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行分类讨论． （1）根据定义列式计算即可； （2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可； （3）根据中点定义得出，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比数”时，分别列式计算即可． 解：（1）①∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． （3）∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$