精品解析：2024年河北省唐山市古冶区中考三模数学试题

2023—2024学年度九年级学业水平评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题：1~6小题，每题3分；7~16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算，则“”中的运算符号为（ ） A. ＋ B. C. D. 3. 若，互为倒数，且，则分式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 4. 如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 5. 某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（ ） A B. C. D. 6. 已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如果代数式，那么代数式（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 8. 如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ） A. C点 B. F点 C. E点 D. G点 10. 图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （ ） A. B. C D. 11. 某种正方形合金板材成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 12. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 13. 如图所示的长方体中，棱的长度为，矩形与矩形的面积如图所示，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 15. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点，顶点为点，则：①；②的面积为；③当时，若，在图象上，则．上述结论正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共10分） 17. 若，则________． 18. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．若设这个人步行的速度为x千米/小时， （1）这个人步行时间为______小时（用含x的代数式表示）； （2）这个人步行速度为______千米/小时． 19. 如图，在正六边形内部以为边作正方形，连接． （1）______； （2）若，则点到的距离为______． 三、解答题（本大题共7个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知算式“”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 21 实数，满足. （1）验证，是否满足上述等式； （2）若，，佳佳认为一定存在两个不同的的值使得成立，你认为佳佳的说法正确吗？请说明理由. 22. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上（含6分）为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条型统计图如下： （1）完成下表： 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6 乙 （2）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为乙组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由． （3）从甲、乙两组优秀的学生中抽取两名同学参加比赛，求两名都是甲组学生的概率． 23. 如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接． （1）分别求B点、C点坐标； （2）求k，b的值； （3）求的面积． 24. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接，．求点C到桌面的距离（结果保留根号）； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离． 25. 如图，国家会展中心的大门的截面图是由抛物线和矩形构成的，矩形的边米，米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑垂直轴，米，工人师傅站在木板上，他能刷到最大垂直高度是米． ①判断工人师傅能否刷到顶点； ②设点是上方抛物线上的一点，且点的横坐标为，直接写出他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围． 26. 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点M是边的中点，连接，与交于点O，当三角板的一边与重合时（如图2），与交于点N，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度九年级学业水平评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题：1~6小题，每题3分；7~16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查零指数次幂、绝对值、乘方、负整数指数次幂运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，计算正确； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，原计算错误； 故选：A． 2. 计算，则“”中的运算符号为（ ） A. ＋ B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法的法则进行运算即可得结果． 【详解】解： ∴“”中的运算符号为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 若，互为倒数，且，则分式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 4. 如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键；由两条斜边互相平行，可得，再用外角的性质即可求出． 【详解】如图所示， 由题意知，，，， ， ， ， 故选：C． 5. 某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方向角，角的和差．根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵由题意可得，， ∴． 故选：C 6. 已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，在数轴上表示数，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，然后在数轴上表示出来即可，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴a，b在数轴上的位置大致是B选项， 故选：B． 7. 如果代数式，那么代数式（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代入求值，先由题意得到，然后把化为整体代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 8. 如图，是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ） A 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解． 【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是点． 故选：D． 9. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ） A. C点 B. F点 C. E点 D. G点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，并延长， ∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点， ∴位似比， ∴点A的对应点是G， 故选：D． 10. 图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质，连接和，作于点，由等腰三角形性质可知，，三点共线， ，，利用解直角三角形得到，，最后利用计算求解，即可解题． 【详解】解：连接和，作于点， ，， ，，三点共线， ，， ，， ，， ． 故选：D． 11. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设， 当时，， ，， ， 当成本为元时， 有， ， ． 故选：B． 12. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，，，如图，连接，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，连接， ∵三角板的斜边与半圆相切于点， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：D． 13. 如图所示的长方体中，棱的长度为，矩形与矩形的面积如图所示，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，表示出和的长是解题关键．根据矩形的面积公式，分别求出，，即可得出矩形的面积． 【详解】解：矩形的面积为，， ,， 矩形的面积为, ， 矩形的面积为， 故选：B 14. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理逆定理，得到为直角三角形，作图得到平分，，推出，三线合一，得到垂直平分，得到，过点作，利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， 过点作， 则：为等腰直角三角形， 设，则：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键的掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形． 15. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用．由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，求得正方形的面积为． 【详解】解：由题意可得， 由正方形、、的面积依次为、、， 得， 求得正方形的面积为． 故正确 故答案为： 16. 二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点，顶点为点，则：①；②的面积为；③当时，若，在图象上，则．上述结论正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是确定顶点坐标和与轴交点． 根据解析式先确定顶点，和与轴交点，即可确定①②，再根据函数开口方向和对称轴确定③； 【详解】∵， ∴顶点，故①正确； 令，则， 解得：， ， ，故②错误； 对称轴为，当时，离对称轴越近值越小， ∵， ∴故③正确； 故选：C． 二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共10分） 17. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同． 18. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．若设这个人步行的速度为x千米/小时， （1）这个人步行时间为______小时（用含x的代数式表示）； （2）这个人步行速度为______千米/小时． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程，分式方程注意检验． （1）根据时间路程速度列代数式即可； （2）此题根据时间来列等量关系，根据等量关系为：步行时间加上骑车时间等于2列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：这个人步行时间为小时， 故答案为：； （2）设这个人步行的速度为x千米/小时，则改骑自行车的速度为千米/小时， 根据题意得： 解得：， 经检验：是原分式方程的解 这个人步行的速度为5千米/小时， 故答案为：5． 19. 如图，在正六边形内部以为边作正方形，连接． （1）______； （2）若，则点到的距离为______． 【答案】 ①. ##30度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握正六边形的性质和正方形的性质是解题的关键． （1）由正六边形的性质和正方形的性质即可求解； （2）过作于，证明，得出，再得出，即可求解； 【详解】解：（1）∵六边形是正六边形， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案：； （2）如图，过作于， 根据题意得， 同（1）得， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共7个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知算式“”． （1）请你计算上式结果； （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； （3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】（1） （2）嘉嘉把“8”错写成了3 （3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； 【小问3详解】 解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 21. 实数，满足. （1）验证，是否满足上述等式； （2）若，，佳佳认为一定存在两个不同的的值使得成立，你认为佳佳的说法正确吗？请说明理由. 【答案】（1）满足 （2）佳佳的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把m、n的值代入已知式子的左右两边计算即得结论； （2）把，代入原等式可得关于a的方程，然后计算此方程判别式即可进行判断. 【小问1详解】 解：当，时， ∵，， ∴； 即，满足上述等式； 【小问2详解】 当，时， 原式即为：， 整理得：， ∵， ∴上述关于a的方程有两个不相等的实数根， 即一定存在两个不同的的值使得成立， ∴佳佳的说法正确. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，正确理解题意、熟练掌握根的判别式是解题关键. 22. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上（含6分）为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条型统计图如下： （1）完成下表： 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6 乙 （2）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为乙组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由． （3）从甲、乙两组优秀的学生中抽取两名同学参加比赛，求两名都是甲组学生的概率． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数定义计算即可 （2）从平均分，方差，中位数，众数等角度去分析解答即可． （3）利用画树状图法活列表法计算概率即可． 本题考查了中位数，众数，平均数，画树状图法或列表法求概率，熟练掌握定义和概率计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，甲组，乙组都是10人，具体如下： 甲组：3分1人，6分5人，7分1人，8分1人，9分1人，10分1人， 乙组：5分2人，6分1人，7分2人，8分4人，9分1人，10分0人， 甲组的中位数是(分)；合格率为：； 乙组的平均数是(分)；众数为：(分)； 完善表格如下： 组别 平均分 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6 6 乙 8 【小问2详解】乙组同学的平均分高于甲组，说明乙组同学整体水平高于甲组；乙组同学的成绩的方差低于甲组，说明乙组成绩比甲组同学成绩稳定． 【小问3详解】 把甲组两名优秀学生记为，乙组优秀的学生记为，列表如下： A B C A B C 由表可知，一共有6种等可能的结果，两名都是甲组学生有2种等可能的结果， ． 23. 如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接． （1）分别求B点、C点坐标； （2）求k，b的值； （3）求的面积． 【答案】（1），； （2）， （3）6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键． （1）先根据勾股定理得到长，然后由菱形的性质可解题； （2）点代入反比例函数，求出k；将点代入，求出b； （3）求出直线与x轴和y轴的交点，即可求的面积； 【小问1详解】 过点D作轴，垂足为F， 点A的坐标为，点， ，，， ， 由勾股定理可得， 四边形是菱形， ， ，； 【小问2详解】 点在反比例函数的图象上， ， 将点代入，解得：； 【小问3详解】 由（2）得，对于，令，则， ， 令，则， 直线与轴交点为， ． 24. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接，．求点C到桌面的距离（结果保留根号）； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离． 【答案】（1） （2）C到桌面的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用等边三角形性质，平行线的性质，切线的性质得到点C，P，O在同一直线上，且，利用等边三角形性质和解直角三角形得到，利用圆的性质得到，即可得到的长； （2）作于点，于点，得到四边形为矩形，利用平行线的性质得到， 进而得到，利用解直角三角形得到 ，进而得到，即可解题； （3）利用弧长公式和图形的对称性求解即可； 【小问1详解】 解：连接，， 半圆O与相切于点Q，点Q与点C重合， ， 为等边三角形， ，， ， ， 点C，P，O在同一直线上， 直径， ，， ， 的长为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：作于点，于点， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， 半圆O的中点为点C， ， ， ， ， C到桌面的距离为； 【小问3详解】 解：当时，点Q从点C运动到时，点Q在上移动的距离为，当时，情况一样， 由从滚动到过程中，点Q在上移动的距离为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形性质，平行线性质，解直角三角形，弧长公式，矩形的性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． 25. 如图，国家会展中心的大门的截面图是由抛物线和矩形构成的，矩形的边米，米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑垂直轴，米，工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米． ①判断工人师傅能否刷到顶点； ②设点是上方抛物线上的一点，且点的横坐标为，直接写出他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围． 【答案】（1） （2）①不能；② 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． （1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点坐标为，再求出直线的解析式为，进而求出，根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，比较大小即可解答； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵， ∴， 将点代入抛物线解析式得， 解得， ∴抛物线对应的函数的表达式为． 【小问2详解】 ①将代入中，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 过D作x轴的垂线交x轴于点H，交直线于P， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵他能刷到的最大垂直高度是米， 且， ∴工人师傅不能刷到顶点； ②过E作x轴的垂线交直线于点F， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴． ∵师傅能刷到的最大垂直高度是， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 当，即时， 解得． 又∵是关于的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 26. 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点M是边的中点，连接，与交于点O，当三角板的一边与重合时（如图2），与交于点N，若，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证，即可得出结论；（2）由等腰直角三角形的性质得，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，则，即可解决问题；（3）证，得，则．再由，可得，然后证，得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 ； 证明：四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得，， ， ， ，， ， ， ， 在等腰直角三角形中，， ． 【小问3详解】 解：四边形是正方形， ，，， M是边的中点， ， 在中，， ， ，， ， ， ． ， ， 正方形中，，等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$