精品解析：河北省保定市唐县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学考试 考试时间120分钟 满分150分 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集合，即可求得结果. 【详解】解不等式可得， 由指数函数的值域可得，所以.  故选：D 2. “，且”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 4. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ） A. 两种疗法的效果存在差异 B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005 C. 两种疗法的效果没有差异 D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得列联表，计算的值，结合临界值表可得结论． 【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立， 即认为两种疗法效果没有差异． 故选:C． 5. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数最大为 C. 展开式中没有常数项 D. 展开式中有理项共有5项 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项. 【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误. 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误. 因为展开式的通项为， 当时，， 故C错误. 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确. 故选：D 6. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 7. 2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（ ） A. 162种 B. 150种 C. 120种 D. 114种 【答案】D 【解析】 【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答. 【详解】将5人分成三组的分法有种，其中甲乙同组的分法有种， 因此符合要求的分组有种，再把所分组安排工作，共有种， 所以不同的安排方案有114种． 故选：D 8. 已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解. 【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以. 所以当时，. 因为，则关于对称， 因为关于对称，有6个不相同的根， ∴在有三个不同的根， 表示过定点的直线系， . 作出在上的图象,如图所示， 时，，又, 则； 时，; 时，显然不满足题意. ∴m的取值范围. 故选：D． 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 若回归方程为，则变量y与x负相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 C. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据统计案例相关知识逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为回归方程为，可知， 所以变量y与x负相关，故A正确； 对于选项B：由线性回归方程的性质可知：回归直线一定经过样本点的中心，故B正确； 对于选项C：决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C正确； 对于选项D：散点图中所有点都在直线上，则， 且，所以变量y与x正相关，即，可知，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 可能为3 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，结合指数函数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，因为，且， 所以，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故， 又，故B正确； 对于C，因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则，故C正确； 对于D，因为，则，且， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分） 12. 函数的单调增区间是____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 13. 某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用插空法和捆绑法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把3个歌舞类节目全排列中间形成2个空，从这2个空中选一个位置安排一个语言类节目然后将这4个节目捆绑在一起，与剩余的3个语言节目全排列， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，，进而可得，再利用为偶函数可得结论. 【详解】令，， ∵当时，， ∵当时，， ∴在上单调递增， ∵是定义在上的偶函数，∴为偶函数， ∴在上单调递减， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为偶函数， ∴， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知命题，为真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解． （2）由已知结合集合的包含关系列出不等关系，求解即可． 【小问1详解】 依题意，关于的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合． 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知是函数的一个极值点. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1）16 （2）单调增区间为，单调减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先依据题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）利用函数的导数即可求得函数的单调区间； （3）依据函数的单调性和极值，结合直线与函数的图像即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 由是函数的一个极值点， 则，解之得.经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得 由，可得或， 由，可得， 则函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）可得，函数的极大值为， 函数的极小值为， 又， 函数的简图如下： 当直线与函数的图像有3个交点时， 函数有3个零点， 则的取值范围为. 17. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.1 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.7 0.7 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． （2）当甲出场比赛时，求该运动队在四场比赛中（每场比赛相互独立）至少获胜2场的概率． （3）如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）应多安排甲跑第四棒，理由：甲在第二、三、四棒出场时，运动队获胜的概率均较高，且在第四棒的出场率最高，经验最丰富， 所以应多安排甲跑第四棒，以增加运动队获胜的概率. 【解析】 【分析】（1）根据贝叶斯公式即可求解. （2）根据二项分布概率公式即可求解. （3）分别求出四个位置上的获胜概率，即可做出判断. 【小问1详解】 记“甲出场”为事件，“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件B， 则， 所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为． 【小问2详解】 运动队获胜场数服从分布， ； 【小问3详解】 略 18. 为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为 （2）， （3）0.2056． 【解析】 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 【小问1详解】 由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． 【小问2详解】 由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． 【小问3详解】 记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 【答案】（1）当  时，  在  上单调递增；当  时，  在  上单调递增，在  上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性； （2）首先将不等式变形，参变分离为 在  上恒成立．转化为求函数的最值问题，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 当  时，  在  上恒成立，此时  在  上单调递增； 当  时，，得舍去，， 当  时，  ，则  在  上单调递增； 当  时，  ，则  在  上单调递减； 综上：当  时，  在  上单调递增； 当  时，  在  上单调递增，在  上单调递减． 【小问2详解】 因为对任意  ，  恒成立， 所以  在  上恒成立， 即  在  上恒成立． 设  ，则  . 设  ，  ，则  在  上单调递减， 因为  ，  ， 所以  ，使得  ，即  . 当  时，  ； 当  时，  . 所以  在  上单调递增，在  上单调递减， 所以  . 因为  ，所以  ， 故整数 m 的最小值为 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是将中的部分再构造函数，从而利用导数分析函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学考试 考试时间120分钟 满分150分 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “，且”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ） A. 两种疗法的效果存在差异 B. 两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005 C. 两种疗法的效果没有差异 D. 两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005 5. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数最大为 C. 展开式中没有常数项 D. 展开式中有理项共有5项 6. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（ ） A. 162种 B. 150种 C. 120种 D. 114种 8. 已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 若回归方程为，则变量y与x负相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 C. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 可能为3 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 11. 已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 三、填空题（每题5分） 12. 函数的单调增区间是____________． 13. 某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为______． 四、解答题 15. 已知命题，为真命题. （1）求实数的取值集合A； （2）设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知是函数的一个极值点. （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围. 17. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.1 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.7 0.7 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． （2）当甲出场比赛时，求该运动队在四场比赛中（每场比赛相互独立）至少获胜2场的概率． （3）如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由． 18. 为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $