精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

普集高中2023—2024学年度第二学期高 二 年级第 3 次月考 （数学）试题（卷） 命题人： 王彦朋 审题人： 徐忠峰 总 分 值： 150分 试题范围：一元函数的导数及其应用计数原理随机变量及其分布 考试时间： 120分钟 第一卷 选择题（共48分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2. 现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1728 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得最大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 4. 设，其中，且，那么（ ） A. B. C. D. 5. 满足条件的自然数有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 6. 随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A. 的可能取值为1，2，3，4，5 B. C. 的概率最大 D. 服从超几何分布 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 10. 设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 12. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 展开式中的系数是______. 14. 某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则______. 15. 某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有__________件. （注：） 16. 若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数. （1）求的值； （2）二项式的展开式中的系数为，的系数为，若，求的值. 18. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 19. 甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教. （1）不同的安排方法共有多少种？ （2）求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率. （3）求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率. 20. “绿水青山，就是金山银山”2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球，中国将提高贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表. 树苗高度() 树苗售价(元/株) 4 6 8 （1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和不低于20元的概率； （2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过140的株数为，求随机变量的分布列和期望. 21. 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． （1）请写出方案一的分布列，并求方差； （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2023—2024学年度第二学期高 二 年级第 3 次月考 （数学）试题（卷） 命题人： 王彦朋 审题人： 徐忠峰 总 分 值： 150分 试题范围：一元函数的导数及其应用计数原理随机变量及其分布 考试时间： 120分钟 第一卷 选择题（共48分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布对称性相关知识求解. 【详解】因为服从正态分布，， 所以， 所以. 故选：C 2. 现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ） A. 216 B. 432 C. 864 D. 1728 【答案】B 【解析】 【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数. 【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法， 将余下的3人排在班长右侧，有个方法， 则符合要求的方法总数为. 故选：B 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得最大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象，可知原函数的单调性判断AC，由单调性可得函数极值，判断BD. 【详解】由导函数的图象知，时，，当时，故函数在和上单调递减，故A错误，C正确； 在处取得极大值，不确定是最大值，故C错误； 在处取得极小值，不确定是最小值，故D错误. 故选：C 4. 设，其中，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布概率公式求得，再根据二项分布概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意得，即， 解得或（舍去）， 故. 故选：D 5. 满足条件的自然数有（ ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案. 【详解】由得，即， 又，且，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题. 6. 随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出事件所含有的基本事件数，再利用条件概率公式计算作答. 【详解】两个家庭选择景点的试验有个基本事件，事件含有的基本事件数为个， 事件含有的基本事件数为个，则， 所以. 故选：C 7. 经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ） A. 的可能取值为1，2，3，4，5 B. C. 的概率最大 D. 服从超几何分布 【答案】C 【解析】 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，利用赋值法可判断AC选项；利用二项展开式通项可判断B选项；利用二项式系数和可判断D选项. 【详解】令. 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 所以，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，展开式中所有项的二项式系数的和为，D对. 故选：AD. 10. 设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得出关于、的方程组，求出这两个未知数的值，可判断AB选项，求出的值，结合期望和方差的性质可判断CD选项. 【详解】由分布列的性质以及期望公式可得，解得， ， 又因为，则， ，A错，BCD对. 故选：BCD. 11. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 共有不同的安排方法有种 B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得； 【详解】解：根据题意， 对于A：，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有种选法，故A正确； 对于B：三人到4个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种， 则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，故B正确； 对于C：若同学必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有种安排方法，故C错误； 对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，故D正确； 故选：ABD． 12. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算即可判断；由二项分布的方差公式及方差的性质计算后判断，由古典概型概率公式计算概率判断，由随机变量分布列的性质求解判断. 【详解】，故错误； 因为， 所以，故正确； 至少有一名女生的概率，故错误； 因为， 所以， 所以，解得， 所以，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，可得； 令，可得； 所以的系数是. 故答案为：. 14. 某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布利用间接法直接求解即可. 【详解】由题意服从超几何分布，的可能取值为，，， 所以. 故答案为：. 15. 某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有__________件. （注：） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性来求得正确答案. 【详解】满足正态分布， ， 直径在之间的零件大约有件. 故答案为： 16. 若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】由已知可得函数的定义域为， ， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， ， 令，解得， 令，解得， 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当趋近于0，趋近于， 当趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象进而求解． 四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数. （1）求的值； （2）二项式的展开式中的系数为，的系数为，若，求的值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为，可求的值； （2）利用二项展开式的通项公式表示出，，再根据，的关系求参数的值. 【小问1详解】 由题知，二项式系数和， 故； 【小问2详解】 二项式为，二项展开式的通项为 ，， 令，得，所以， 令，得，所以， 又，解得（舍去）或或（舍去）， 所以. 18. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）1 （2）函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数； （2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值. 【小问1详解】 由可得：， 由题意，，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 当时，，则在上是减函数； 当时，，在上是增函数. 故时，函数有极小值为，无极大值. 故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 19. 甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教. （1）不同的安排方法共有多少种？ （2）求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率. （3）求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率. 【答案】（1）36 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，再进行全排列即可； （2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校共有办法，再除以安排方法的总数可得概率； （3）先求出甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在其中找到学校有两位志愿者的方法数，求其概率即可. 【小问1详解】 先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，先选2人为一组，其余2人各自一组，则有种办法，再进行3个的全排列即可， 根据分步乘法计数原理 则共有种方法. 【小问2详解】 甲乙志愿者被同时安排到同一个学校，共有种方法，其余两人有种方法， 则以上共有种办法， 由（1）知甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教总共有36种方法. 则所求概率为. 【小问3详解】 甲志愿者被安排到学校支教，若学校只有一个人，则需要把剩余3人分成两组，两组人员再分配到两所学校，则有种安排方法； 若学校有两个人，则需要从剩余3人选出1人去学校，另外2人去剩余的两所学校，共有种安排方法. 甲志愿者被安排到学校支教的方法数， 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率为. 20. “绿水青山，就是金山银山”2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球，中国将提高贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表. 树苗高度() 树苗售价(元/株) 4 6 8 （1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和不低于20元的概率； （2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过140的株数为，求随机变量的分布列和期望. 【答案】（1） （2）随机变量分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 数学期望：. 【解析】 【分析】（1）首先根据分层抽样确定各层的数量，然后结合组合以及求古典概型的概率的公式即可； （2）求出的所有可能取值，然后求出对应概率，进而列出分布列，再根据二项分布求期望的公式即可求解. 【小问1详解】 （1）首先根据分层抽样确定各层的数量，然后结合组合以及求古典概型的概率的公式即可； （2）求出的所有可能取值，然后求出对应概率，进而列出分布列，再根据二项分布求期望的公式即可求解. 【小问2详解】 若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，高度超过140cm的概率为 由题意可知，则；；；；. 所以，随机变量分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 21. 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． （1）请写出方案一的分布列，并求方差； （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【答案】（1）X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 方差为180 （2） 如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告，理由如下： 由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 【解析】 【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【小问1详解】 设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． 【小问2详解】 略 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出的导数，再分类讨论导数值的正负即可得解； （2）原不等式可转化为在上恒成立，只需即可，令，利用导数求单调性进而求最大值即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 令，则， 当时，恒成立，单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在单调递增，在单调递减， 综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知不等式即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $