精品解析：浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023学年度第二学期八年级数学期中考试试卷 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是(　　) A 5 B. -5 C. ±5 D. 25 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据为2，3，4，5，2，它中位数和众数分别是（ ） A 4，2 B. 3，4 C. 3，2 D. 2，3 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等 7. 代数式的值恒为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 8. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 9. 某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A. 100（1+x）2=331 B. 100+100×2x=331 C. 100+100×3x=331 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=331 10. 设，则S最接近的数是（ ） A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011 二、填空题（本题有6小题，每小题4分．共24分） 11. 当x=-4时，二次根式的值为________. 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 13. 在学校文艺节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，，那么身高更整齐的是________填甲或乙队． 14. 数据的平均数是1，则______． 15. 在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________． 16. 已知m，n有理数，并且方程有一个根为，那么______． 三、解答题（第17、18题各6分，第19、20题各7分，第21题8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 89 84 88 84 87 81 85 82 乙 85 90 80 95 90 80 85 76 （1）请你计算甲、乙组数据的中位数、平均数； （2）若，现要从中选派一个成绩较为稳定的人参加操作技能比赛，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 20. 如图，在方格纸中，已知格点和格点． （1）画出关于点对称的； （2）若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________．（写出所有可能的结果） 21. 已知：如图，是中的一条对角线，点E、F在上． （1）若，求证：四边形是平行四边形； （2）若，求长 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． （2）在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 24. 【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 图1 表1 边上点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 表2 图① 图② 边上的点数 多边形面积 （1）【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． （2）当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． （3）【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． （4）【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年度第二学期八年级数学期中考试试卷 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是(　　) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据开平方的运算法则计算即可． 【详解】解：==5， 故选：A． 【点睛】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则． 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 3. 样本数据为2，3，4，5，2，它中位数和众数分别是（ ） A. 4，2 B. 3，4 C. 3，2 D. 2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，分别进行解答即可．根据众数和中位数的定义，即可获得答案． 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列，为2，2，3，4，5， 处在第3位的是3，故这组数据的中位数为3， 这组数据中，出现次数最多的是2，共计2次， 所以，这组数据的众数为2． 故选：C． 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质， 首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 5. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 6. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行判断. 【详解】∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键. 7. 代数式的值恒为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 8. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 9. 某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　） A. 100（1+x）2=331 B. 100+100×2x=331 C 100+100×3x=331 D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=331 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：七月份的营业额为100万元，八月份的营业额为100（1+x）万元，九月份的营业额为100万元，然后根据第三季度的总和为331万元列出方程． 考点：一元二次方程的应用． 10. 设，则S最接近的数是（ ） A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011 【答案】B 【解析】 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可． 【详解】设n为任意正整数， ∴ ∴ ， 因此与s最接近的整数是2009． 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分．共24分） 11. 当x=-4时，二次根式的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】把x=-4代入二次根式计算即可. 【详解】把x=-4代入二次根式得： = =3， 故答案为3 【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键. 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 13. 在学校文艺节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，，那么身高更整齐的是________填甲或乙队． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的大小关系判断波动大小即可得解，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小. 【详解】因为，所以甲队身高更整齐， 故答案为：甲. 【点睛】本题主要考查了方差的相关概念，熟练掌握方差与数据波动大小之间的关系是解决本题的关键. 14. 数据的平均数是1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，理解并掌握平均数的定义是解题关键．根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得． 故答案为：． 15. 在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6， ①如图： 由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15， 求出AE＝，AF＝3， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， 把AB＝5，AE＝代入求出BE＝， 同理DF＝3， ∴CE＝6+，CF＝3+5， 即CE+CF＝11+， ②如图： ∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝， 同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5， ∴CE+CF＝1+， 故答案为：11+或1+． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论． 16. 已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为x根据根与系数关系得到，然后结合题意得到， 求出m，n的值，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根为，设另一个根为x ∴， ∵m，n是有理数， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 三、解答题（第17、18题各6分，第19、20题各7分，第21题8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式除法运算法则和二次根式性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）首先进行乘方运算以及化简二次根式，然后相加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴或 解得，； 【小问2详解】 解得，． 19. 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 89 84 88 84 87 81 85 82 乙 85 90 80 95 90 80 85 76 （1）请你计算甲、乙组数据的中位数、平均数； （2）若，现要从中选派一个成绩较为稳定人参加操作技能比赛，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 【答案】（1）甲组数据的中位数为84.5，平均数为85；乙组数据的中位数为85，平均数为85.125 （2）选派甲工人参加合适，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、平均数和方差等知识，理解并掌握相关定义是解题关键． （1）根据中位数和平均数的定义，分别求解即可； （2）求得甲组数据的方差，与乙组数据的方差比较，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将甲组数据按照从小到大的顺序排列，为81，82，84，84，85，87，88，89， 排在第4位和第5位的是84和85， ∴这组数据的中位数为， ∵， ∴这组数据的平均数为85； 将乙组数据按照从小到大的顺序排列，为76，80，80，85，85，90，90，95， 排在第4位和第5位的是85和85， ∴这组数据的中位数为， ∵， ∴这组数据的平均数为85.125； 答：甲组数据的中位数为84.5，平均数为85；乙组数据的中位数为85，平均数为85.125； 【小问2详解】 选派甲工人参加合适，理由如下： ∵， 又∵， ∴ ∴若要从中选派一个成绩较为稳定的人参加操作技能比赛，则选派甲工人参加合适． 20. 如图，在方格纸中，已知格点和格点． （1）画出关于点对称的； （2）若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________．（写出所有可能的结果） 【答案】（1）见解析；（2）（-2，2），（-2，-4），（2，-2） 【解析】 【分析】（1）将△ABC绕着点O旋转180°，即可作出其关于点O对称的△A′B′C′； （2）根据平行四边形的不同位置，分三种情况进行讨论，得出点D的三种不同的坐标． 【详解】解：（1）如图： △A′B′C′即为所求； （2）如图，四边形ACOD1、四边形AD2CO、四边形ACD3O都是平行四边形， 由图可得，D1（-2，2），D2（-2，-4），D3（2，-2） 故点D的坐标为（-2，2），（-2，-4），（2，-2）． 【点睛】本题主要考查了中心对称作图以及平行四边形，解决问题的关键是掌握中心对称的概念以及平行四边形的性质．作图时注意，中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 21. 已知：如图，是中的一条对角线，点E、F在上． （1）若，求证：四边形是平行四边形； （2）若，求长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接交于点O，首先根据平行四边形的性质得到，，然后求出，即可证明出四边形是平行四边形； （2）过点D作交的延长线于点G，求出，，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，连接交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 如图所示，过点D作交的延长线于点G ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． （2）在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 【答案】（1）， （2）①见详解；②不正确，反例见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“等对角四边形”、四边形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解新定义“等对角四边形”是解题关键． （1）根据新定义“等对角四边形”，结合四边形内角和为求解即可； （2）①连接，证明为等腰三角形，即可获得答案；②结合“等对角四边形”定义，举出反例即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为等对角四边形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②不正确，反例如下： 如图3， ，，但. 24. 【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 图1 表1 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 表2 图① 图② 边上的点数 多边形面积 （1）【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． （2）当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． （3）【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． （4）【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 【答案】（1）4.5； （2）见详解；6，10，4，6； （3），11.5 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律和应用，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． （1）由表格中的数据，找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形的面积即可； （4）根据题意画出部分图形，结合图形找到规律，即可获得答案． 【小问1详解】 解：观察表中数据，可得规律：多边形的面积边上的点数的一半， 故可完成表格如下， 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 4.5 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：4.5；； 【小问2详解】 画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，如下图所示： 将所画图形的面积填写在表格2中，如下所示： 图① 图② 边上的点数 6 10 多边形面积 4 6 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：6，10，4，6；； 【小问3详解】 设格点多边形内部的点数为，边上的点数为， 则格点多边形的面积为， ∵图形中，，， ∴，即图形中的面积为11.5； 【小问4详解】 设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为， 画出若干个图形如下， 绘制表格并填写如下， 内部的点数 0 0 1 2 3 边上的点数 5 7 7 6 10 多边形面积 1.5 2.5 3.5 4 7 结合表格，可写出用含，的代数式来表示：． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $