精品解析：吉林省延边中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

延边第二中学2023—2024学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 在对数式中，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 4. 若定义运算，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6. 若函数在R上为单调增函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 8. 标准的围棋共行列，个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对5分，选不全2分） 9. 下列不等式的解集不是的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 11. 下列命题中正确的是（    ） A. 已知，，则 B. 的值为1 C. 若，则的值为 D. 若且，则 12. 下列命题中正确的是（    ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数，若不等式对恒成立，则范围． D. 函数在上的值域为 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上） 13. 已知函数，则 __________ 14. 设是定义在上的奇函数，则___________ 15. 已知，，则的取值范围是________. 16. 已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为___________ 四、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程） 17. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 18. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：. （1）求集合，集合； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19 已知且 （1）当取什么值时，取得最小值？最小值多少？ （2）若恒成立，求实数m的最大值． 20. 已知幂函数在上为增函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域. 21. 一片森林原来面积为2021万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 22. 已知函数，且. （1）若，求不等式 的解集； （2）若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试确定的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延边第二中学2023—2024学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件分析集合的元素的特征，确定满足条件的结合即可. 【详解】因为，所以或或或或或或或，即满足条件的集合的个数为8， 故选：D． 2. 在对数式中，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复合函数定义域的求法可解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，且， 解得. 故选：A 4. 若定义运算，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义写出在对应区间上的解析式，结合指数函数性质求值域. 【详解】若，即时； 若，即时； 综上，值域为. 故选：A 5. 设，则“”是“”的（ ）条件． A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式和,判断它们的解集之间的包含关系,由此可得答案. 【详解】解不等式可得， 解即，即， 由于，故“”是“”的充分不必要条件， 故选:A. 6. 若函数在R上为单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各段函数单调性以及结合点处函数值大小列方程组，解得结果. 【详解】因为函数在R上为单调增函数， 所以 故选：D 【点睛】本题考查分段函数单调性，考查基本分析求解能力，属中档题. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解. 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以， 根据函数的单调性可知：等价为或， 即或，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 8. 标准的围棋共行列，个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对恒等式（且），化简求值. 【详解】， 所以最接近的是. 故选：B 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对5分，选不全2分） 9. 下列不等式的解集不是的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，所以A正确， 对于B，由，解得或，所以B正确， 对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误， 对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：ABD 10. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用函数单调性定义及指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D. 【详解】解：已知函数（，且），则 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确； 对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示： 当时不合题意；时，需要，即，故D错误； 故选：BC. 11. 下列命题中正确的是（    ） A. 已知，，则 B. 的值为1 C. 若，则的值为 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 12. 下列命题中正确的是（    ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C. 函数，若不等式对恒成立，则范围为． D. 函数在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由是减函数以及题意得在区间上是减函数即可判断；对于B，根据函数奇偶性即可求解，进而依据题意即可求解；对于C，先简化不等式和分离参数得，再利用基本不等式结合题意即可求解；对于D，将函数转化成一元二次型即可依据自变量范围即可求解判断. 【详解】对于A，因为是减函数， 而函数在区间上是增函数， 则在区间上是减函数，显然当时符合，故A错； 对于B，因为定义在上的偶函数在上单调递增，且， 则由偶函数图像特征得在上单调递减，且， 所以当，则，， 又因对恒成立，故，故B对； 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即即即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，， 当时，，所以，故， 所以，故D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解含参函数不等式恒成立问题可分离参数将不等式恒成立问题转换成最值问题求解. 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上） 13. 已知函数，则 __________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：5. 14. 设是定义在上的奇函数，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 15. 已知，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先将表示为，再结合不等式的性质即可求解. 【详解】设， 则，∴ 即， 又∵，， ∴，， ∴， 即 ， ∴的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查不等式的性质，考查运算能力，是基础题. 16. 已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可由对数运算求出，再根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即， 所以. 因为恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 原不等式等价于在恒成立， 则，解得, 故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程） 17. （1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 18. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：. （1）求集合，集合； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解； （2）将是的充分不必要条件转为真子集关系，利用真子集的定义即可求解. 【小问1详解】 因为， ∴，即，解得， ∴， ∵（）， ∴，解得或， ∴. 【小问2详解】 ∵是的充分不必要条件， ∴，， 令，则， ∴且等号不同时成立，解得， ∴实数的取值范围是. 19. 已知且 （1）当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ （2）若恒成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）最小值为16 （2）最大值是25 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“代1法”直接求解； （2）先参变分离，转化为求的最小值，再由“代1法”结合基本不等式直接求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以时，取得最小值，的最小值为16； 【小问2详解】 由恒成立， 得恒成立，则需解出的最小值. 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即，时等号成立，所以最小值为25. 所以，所以m的最大值是25． 20. 已知幂函数在上为增函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解方程再检验即得解； （2）令，再求函数的值域即得解. 【小问1详解】 解：由题得或. 当时，在上为增函数，符合题意； 当时，在上为减函数，不符合题意. 综上所述. 【小问2详解】 解：由题得， 令， 抛物线的对称轴为，所以. 所以函数的值域为. 21. 一片森林原来面积为2021万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【解析】 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， 又，则，，, 所以到今年为止，该森林已砍伐了5年； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 所以今后最多还能砍伐15年. 答：（1）每年砍伐面积百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 22. 已知函数，且. （1）若，求不等式 的解集； （2）若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试确定的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）原不等式化简可得，结合一元二次不等式解法及指数不等式解法求解即可. （2）先应用常数分离化简函数，再化简不等式，应用基本不等式求解即可. （3）先代入化简已知不等式，再应用对勾函数单调性，判断函数的单调性，利用单调性解关于不等式可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以不等式 的解集为或， 【小问2详解】 因为，且， 当时， ， 又因为恒成立，所以恒成立 即得， 又因，当时取得等号， 所以， 实数的取值范围. 【小问3详解】 因为，且 所以， 即 令， 当，为增函数， ， 在上单调递增， 所以当时，是单调递增的， 当，为增函数，且 ， 又在上单调递减 当，是单调递减的， 因为，是单调递增的， ， 所以 因为，是单调递减的， ， 所以， 所以或. 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$