精品解析：浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 宇航员 B. 空间站 C. 黑洞 D. 太空舱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答此题的关键． 3. 代数式中，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：x≥－4且x≠2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数． 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 5. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】解：， ，即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 6. 已知4个正数，，，的平均数是a，且，则数据，，0，，的平均数和中位数分别是（ ） A. ，0 B. ， C. a，0 D. a， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案． 【详解】解：由平均数定义可知： ； 将这组数据按从小到大排列为0，，，，； 由于有奇数个数，取最中间的数， ∴其中位数为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵a=2，b=﹣3，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根． 故选C． 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8. 一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A. 5cm2 B. 6cm2 C. 7cm2 D. 8cm2 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意可得， ， 将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③， 将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，整理得：， 解得：或（舍），则x=y+1=6， 则矩形的宽为5cm，长为6cm， 按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可. 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的含义可判断①③④，一元二次方程的根的判别式可判断②，从而可得答案． 【详解】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0， 那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根， 此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0， 故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0， 则ac+b+1=0；当c=0， 则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确． ④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0， 由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0． 由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确． 综上：正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键． 二.填空题（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解为：_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 12. 当时，二次根式的值是_______________ 【答案】3. 【解析】 【分析】 【详解】解：当时，. 故答案为： 13. 数据1，2，3，4，5的方差为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查方差的定义．根据方差的公式计算．方差． 【详解】解：数据1，2，3，4，5的平均数为， 故其方差． 故答案为：2． 14. 平行四边形的两条对角线分别为和，则该平行四边形的一条边的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求解． 【详解】解：如图所示， 平行四边形， ，， 在中，， 即：， 则该平行四边形的一条边的取值范围为：， 故答案为：， 【点睛】本题考查了平行四边形性质、三角形三边关系，掌握相关知识是解题关键． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，把代入即可得的值． 【详解】解：依题意，把代入， 得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】①过D作DP⊥AB于P,,则△ADP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到,进而求得AP=DP=5； ②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN,由作图得: AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,于是得到.根据三角形的中位线的性质得到,,根据勾股定理得到,然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论. 【详解】①过D作DP⊥AB于P, 则A△DP是等腰直角三角形, , , ∴AP=DP=sin45°×5=5； ②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN, 由作图得:AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO, , , ∵OM⊥AB于Q, , , , , , , , , ∴△OEF周长的最小值是. 故答案为①5；② . 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键. 三.解答题（共72分） 17. 计算； （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先把根据算术平方根的定义计算出各数，再进行计算即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以利用平方差公式分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解． （2）利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）∵（x-3）2-4=0， ∴（x-3-2）（x-3+2）=0， ∴x-3-2=0，x-3+2=0， ∴； （2）∵， ∴=1，=-4，=-8， ∴Δ===48， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格） 八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 a 7.4 中位数 b 8 众数 7 c 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ； ； ． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数； （3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】（1），，8 （2）100人 （3）八年级知识竞赛的学生成绩更优异，见解析 【解析】 【分析】（1）分别由平均数公式、中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【小问1详解】 解：由图表可得：； ； ∵八年级学生成绩中8出现的次数最多， ∴ 故答案为：，，8； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数为100人； 【小问3详解】 解：∵八年级的中位数，众数都高于七年级的， ∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 21. 如下图，四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）连接．若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证得到，即可得出； （2）先证为等边三角形得到，且，则根据勾股定理得，根据证明，得出平行四边形的面积等于的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中， ∴， ∴， ∴． 22. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个. （1）求八，九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？ 【答案】（1）八，九两月销量的月平均增长率为20%. （2）该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为x，根据七月份、九月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价a元，用含a的代数式表示出十月份销量及单件利润，根据获利1800元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设八，九两月销量的月平均增长率为，则： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：八，九两月销量的月平均增长率为20%； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔售价降低元，则： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） （元） 答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ （1）涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． （2）探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】（1）⑤；2，2，5不能构成三角形 （2）①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； 【小问2详解】 解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 24. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），； （3）当时，四边形的面积等于． 【解析】 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【小问1详解】 解：由题意，得，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； 【小问3详解】 解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 宇航员 B. 空间站 C. 黑洞 D. 太空舱 2. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 3. 代数式中，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 已知4个正数，，，的平均数是a，且，则数据，，0，，的平均数和中位数分别是（ ） A. ，0 B. ， C. a，0 D. a， 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A. 5cm2 B. 6cm2 C. 7cm2 D. 8cm2 9. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二.填空题（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解为：_______________． 12. 当时，二次根式的值是_______________ 13. 数据1，2，3，4，5的方差为_____． 14. 平行四边形的两条对角线分别为和，则该平行四边形的一条边的取值范围为_______． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为________________． 16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________． 三.解答题（共72分） 17. 计算； （1）计算：； （2）计算：． 18. （1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格） 八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 a 7.4 中位数 b 8 众数 7 c 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ； ； ． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数； （3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）． 21. 如下图，四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）连接．若，，，求的面积． 22. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个. （1）求八，九两月销量的月平均增长率； （2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？ 23. 发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ （1）涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． （2）探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 24. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $