精品解析：重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

重庆市渝西中学校2023-2024高二下6月月考 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合命题，直接求解即可. 【详解】命题的否定为：. 故选：A. 2. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求得，进而利用不等式的性质求解范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以； 又，，所以， 故选：D. 4. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案. 【详解】由题意知回归方程为过点，则， 即； 又，， 由于回归方程为必过样本中心点， 故， 故选：C 5. 已知实数，则下列不等式中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A；根据不等式的基本性质得到，即可判断B；利用作差法比较出大小关系，即可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，又，故， 从而，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故， 故，故C错误； 对于D， ， 因为，故， 所以，即，故D正确. 故选：D 6. 已知偶函数在上单调递减，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性，结合自变量的大小关系判断即可. 【详解】因为为偶函数，故， 又因为，且，故，则. 故，又在上单调递减， 则，即. 故. 故选：C 7. 把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案. 【详解】解：，其中，， 当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项， 故，，故. 故选:A． 8. 对于正数，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得利用基本不等式可得，再结合二次函数不等式求解方法即可求解. 【详解】由题可知：， 因为都是正数，所以（当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 化简可得，解得，故C正确. 故选：C. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解. 【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确； B选项，，，故，故B正确； C选项，，，故，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：ABC． 10. 已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】的定义域为，因此恒成立，求出的取值范围.本题判断哪个选项是的必要条件，所以能推出选项，对应的取值范围是选项范围的子集. 【详解】由题，恒成立，易知时不满足， 时，有. 故选：AB 11. 已知，若对使成立，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为0 B. 当时，的解集为 C. 实数的取值范围是 D. 实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令，化简后利用三角函数的有界性分析判断，对于B，直接求解判断，对于CD，由题意可得，转化为，利用二次函数的性质可求得结果. 【详解】对于A，令，则，（其中）， 故，解得， 即，所以函数的最小值为0，所以A正确， 对于B，当时，由，得，解得，所以B错误， 对于CD，由题可知，，，即对 令，当时，取得最小值， 即，所以，所以C错误，D正确， 故选：AD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 【答案】36 【解析】 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故答案为：36. 14. 设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 【答案】2021 【解析】 【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法： （1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解； （2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足 求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则， 解得，故； 【小问2详解】 由（1）可得， 故 . 16. 新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率 29 32 34 32 33 34 36 36 36 38 （1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率； （2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望. 附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：， 【答案】（1）， （2）分布列见解析，万元 【解析】 【分析】（1）根据题意计算，，得出回归直线方程，代入，即可求解. （2）由（1）可知客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为，由题意购置税服从二项分布，即可求出分布列和均值. 【小问1详解】 计算得，， 所以， ， 则回归直线方程为，代入得， 所以预测2024年1月新能源渗透率为； 【小问2详解】 由题意，每个客户购买新能源车的概率为，燃油车概率为， 所有可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为 0 2 4 6 所以（万元）. 17. 2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”. 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关，原因见解析 （2） （3）12轮 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算即可求解， （2）根据条件概率的计算公式即可求解， （3）根据二项分布的期望公式，列不等式即可求解. 【小问1详解】 零假设：假设跳水员的优秀情况与训练无关. 列联表为： 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 2 8 10 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 ， 故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 由图可知：训练前后均不优秀的有，共2人，训练前后均优秀的有，共2人，训练前不优秀而训练后优秀的有6人， 设“所选3人中恰有2人训练后为优秀”，“所选3人中恰有1人训练前为优秀”， 则，， 【小问3详解】 设跳水员每轮测试为优秀的概率为，则. 设测试次数为，则优秀的次数， 故， 故至少需进行12轮测试. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.为自然对数的底数 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过求导，并分类讨论当、、时，函数的单调性； （2）先求函数在点处的切线方程为，再求函数在点处的切线，两条切线相同即可求实数. （3）方法一：使用参数分离得对任意恒成立，再通过构造函数利用导数求最值的方法解决恒成立问题；方法二：先得实数的取值范围，再通过导数证明当时，恒成立. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 函数， 所以， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 设切线与曲线切于点， 则， 解得. 【小问3详解】 法一：函数，定义域为， 故, 等价于， 记， 令， 解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，. 所以解得，解得， 故在单调递减，在单调递增， 有， 所以的取值范围为. 法二：取，由，得. 下证：当时，恒成立. 记， 因，函数在单调递减， 所以， 记， ， 记 ，解得，解得， 故在单调递减，在单调递增， 故， 故在上单调递增，即在上单调递增， 又， 在上恒成立，在恒成立， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，得证. 综上知，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）通过讨论参数的取值范围，研究函数的单调性，注意分类讨论的准确性； （2）通过导数求切线方程，注意不同函数上切点不同，但切线一样； （3）使用分离参数法，先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； 19. 椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2） 由（1）得，，设直线，， 其中，，则. 由消去得：，， 设，，，则，， ，， 即，用代换同理可得， 解法一：设直线的斜率为， 则. 故直线的方程为， 即， 将代入得，故直线恒过定点， 于是点与点到直线的距离之比等于，从而. 解法二：对于一个，若，则， 证明如下： 因为， 所以， 所以， 所以； 故对于，， 所以， 又，， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据最短弦和最长弦求得，，即可求得方程； （2）设直线方程，与椭圆联立，结合韦达定理求得、的坐标， 方法一：利用坐标关系得直线MN恒过定点，根据高的比得三角形面积的比； 方法一：利用向量法求得三角形面积，然后求解即可. 【小问1详解】 由已知得当在x轴上时，， 当在x轴上时，最小，此时直线方程为：， 联立，解得，所以，所以，， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝西中学校2023-2024高二下6月月考 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示 x -2 -1 0 1 2 y 5 4 m 2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（ ） A. 3 B. 2.8 C. 2 D. 1 5. 已知实数，则下列不等式中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上单调递减，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 8. 对于正数，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知，若对使成立，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为0 B. 当时，的解集为 C. 实数的取值范围是 D. 实数的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是__________. 13. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 14. 设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足 求数列的前n项和. 16. 新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率 29 32 34 32 33 34 36 36 36 38 （1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率； （2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望. 附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：， 17. 2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”. 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.为自然对数的底数 19. 椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $