精品解析：2024年湖南省长沙市南雅中学中考二模数学试题

2024年上学期九年级二模检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图所示的三视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 截至2023年底，我国高速公路通车里程已达177000公里，稳居世界第一．数据177000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点和点在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，河堤横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面 的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9. 如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在 点处去观测外的位于 点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜 和必要的长度测量工具（ 、 、 在一直线上）．已知王刚身高（ ），大树高，将平面镜 放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端． A. B. C. D. 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前，书中记载一个数学问题：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“想知道一根木头的长度，用一条绳子量这根木头，绳子还剩余尺，将这条绳子对折后再量木头，绳子比木头短1尺，问木头长多少尺？”设绳长x尺，木头长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 13. 若关于 的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 14. 如图，在中， 和 的平分线交于点 ，过点 作交 于，交 于，若，则线段 的长为______． 15. 如图，一块矩形 飞镖游戏板，对角线 ， 相交于点 ，过点 作分别交边 ，于点 ，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为________． 16. 已知（，且），，，… （1）的值为______； （2）若，试用含k（k为正整数）的式子表示______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：．其中，． 19. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线及其外一点 ．求作：的垂线，使它经过点 ．小华同学按下列步骤作图（如图）： ①任取一点，使点和点 在直线的两旁； ②以点 为圆心， 长为半径作弧，交直线于点 和 ； ③分别以点 ， 为圆心，线段 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ； ④作直线 ，直线 即为所求． （1）证明：直线； （2）若点 到直线的距离为，，求四边形 的面积． 20. 如图，，，，点D在 边上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校教务处组织了一次全校1500名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩/分 频数 频率 5 a 15 30 b 40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数落在_________分数段； （4）若成绩在80分以上（包含80分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 22. 如图，在平行四边形 中， ，是对角线 上的两点， ． （1）求证：四边形 是平行四边形： （2）当时，，，求 的长． 23. 健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴对称，则把该函数称之为“函数”．根据该约定，完成下列各题． （1）下列函数是“函数”的有______．（填序号） ①； ②； ③； ④． （2）已知二次函数（ 为常数）是“函数”，将此“函数”进行平移得到新的二次函数（），新函数的图象与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，若，且满足，求平移后新函数的解析式； （3）已知关于 的“函数”（）与 轴无交点，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点（在的左侧），过点，分别作轴于点 ，轴于点，分别用，，表示，，的面积，问：是否存在实数，使恒成立？若成立，求出的值，若不存在，说明理由． 25. 如图1， 为半圆 的直径， 为延长线上一点，切半圆于点 ，，交延长线于点 ，交半圆于点，已知，． （1）求的长； （2）如图2，连接 ， 为线段 上一点，过点 作的平行线分别交， 于点，，交圆 于点，过点 作于点 ．设，． ①求 关于 的函数表达式； ②延长交半圆 于点，求当 为何值时的值最大时，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期九年级二模检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 如图所示的三视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键． 由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：图中三视图对应的几何体是圆锥， 故选：C． 3. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可． 【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误； B．，所以B选项的计算正确； C．=，所以C选项的计算正确； D．，所以D选项的计算正确； 故选∶A． 【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 4. 如图，已知直线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出，即可得到． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 截至2023年底，我国高速公路通车里程已达177000公里，稳居世界第一．数据177000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．把一个大于 的数记成的形式，其中 是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，若点和点在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，根据反比例函数中，在第一、三象限中，y随x的增大而减小，点和中，，得到． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故选：A． 7. 如图，河堤横断面迎水坡 的坡比是，堤高，则坡面 的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，在中，已知坡面 的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面 的长．正确理解坡比的意义是解题的关键． 【详解】解：在中， ，， ∴， ∴， ∴坡面 的长度为 ． 故选：B． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠A＝30°，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和同弧或等弧所对的圆周角相等，解题关键是熟记圆周角定理，明确直径所对的圆周角为90°． 9. 如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在 点处去观测外的位于 点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜 和必要的长度测量工具（ 、 、 在一直线上）．已知王刚身高（ ），大树高，将平面镜 放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴将平面镜 放置在离王刚处才能观测到大树的顶端． 故选：B． 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约一千五百年前，书中记载一个数学问题：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“想知道一根木头的长度，用一条绳子量这根木头，绳子还剩余尺，将这条绳子对折后再量木头，绳子比木头短1尺，问木头长多少尺？”设绳长x尺，木头长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设绳长x尺，木头长y尺，根据用一条绳子量这根木头，绳子还剩余尺可得方程，根据将这条绳子对折后再量木头，绳子比木头短1尺可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设绳长x尺，木头长y尺， 由题意得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 13. 若关于 的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 14. 如图，在中， 和 的平分线交于点 ，过点 作交 于，交 于，若，则线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得，，然后即可求得结论．解题的关键是证明，． 【详解】解：∵ 和 的平分线交于点 ，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段 的长为． 故答案为：． 15. 如图，一块矩形 飞镖游戏板，对角线 ， 相交于点 ，过点 作分别交边 ，于点 ，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的知识．利用阴影部分的面积除以矩形的面积即可求得答案． 【详解】解： 矩形 关于 中心对称， ， ， 飞镖投中阴影区域的概率为， 故答案为：． 16. 已知（，且），，，… （1）的值为______； （2）若，试用含k（k为正整数）的式子表示______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了分式运算规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键． （1）分别求出、、即可； （2）由（1）发现：每三个运算循环，再根据序号特点归纳即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：． （2）由（1）得：每三个运算循环， ∵， ， ， 当， 归纳可得：（k为正整数）， 故答案为： 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂是解题的关键．先化简各式，再计算即可． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把，代入计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线及其外一点 ．求作：的垂线，使它经过点 ．小华同学按下列步骤作图（如图）： ①任取一点，使点和点 在直线的两旁； ②以点 为圆心， 长为半径作弧，交直线于点 和 ； ③分别以点 ， 为圆心，线段 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ； ④作直线 ，直线 即为所求． （1）证明：直线； （2）若点 到直线的距离为，，求四边形 的面积． 【答案】（1） 证明：由作法得， ∴四边形 为菱形， ∴ ，即直线； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图−基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理， （1）利用基本作图得到，则可判断四边形 为菱形，根据菱形的性质得到结论； （2）设 与 相交于 点，运用正切的定义求出，根据菱形的性质得到，，即可求出面积； 熟练掌握基本作图、菱形的判定和性质及锐角三角函数定义是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设 与 相交于 点，则， ∵四边形 为菱形，， ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形 的面积为． 20. 如图，，，，点D在 边上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴. （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质： （1）由可得，进而利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校教务处组织了一次全校1500名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩/分 频数 频率 5 a 15 30 b 40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数落在_________分数段； （4）若成绩在80分以上（包含80分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 【答案】（1）10，0．30 （2） 补全频数分布直方图如图所示： （3） （4）1050人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，求中位数，用样本估计总体． （1）用抽取学生总人数乘以成绩为人数的频率，即可求出a的值；用的人数除以抽取学生总人数，即可求出b的值； （2）根据频数分布表中的数据，即可补全频数分布直方图； （3）根据中位数的定义即可解答； （4）用参加比赛总人数乘以成绩“优”等的频率，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：一共有100人，中位数为第50人和第51人成绩的平均数， ∵， ∴中位数落在分数段， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 该校参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的大约有1050人 22. 如图，在平行四边形 中， ，是对角线 上的两点， ． （1）求证：四边形 是平行四边形： （2）当时，，，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴， 即， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理， （1）连接 交 于点 ，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，得出 的长，再由勾股定理求出 的长，即可得出结论； 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， 即 的长为． 23. 健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）共有5种进货方案； （2）购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、一次函数的应用； （1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解； （2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设购进A型净水器x台，则购进B型净水器台，依题意，得， 解得：， ∴， ∴共有5种进货方案； 【小问2详解】 解：设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得， ∴ ∵， 随 的增大而增大， 又∵ ∴当时， 取得最大值，最大利润为：（元） ； 答：购进A型净水器台，则购进B型净水器台，能使得总利润最大，最大利润是元． 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴对称，则把该函数称之为“函数”．根据该约定，完成下列各题． （1）下列函数是“函数”的有______．（填序号） ①； ②； ③； ④． （2）已知二次函数（ 为常数）是“函数”，将此“函数”进行平移得到新的二次函数（），新函数的图象与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，若，且满足，求平移后新函数的解析式； （3）已知关于 的“函数”（）与 轴无交点，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点（在的左侧），过点，分别作轴于点 ，轴于点，分别用，，表示，，的面积，问：是否存在实数，使恒成立？若成立，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）②③ （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义进行判断即可； （2）根据二次函数是“函数”得到二次函数的图象关于 轴对称，进而得到，求出 值，设出平移后的解析式为，的横坐标为，根与系数的关系，得到，根据，得到关于的等式，根据，推出，推出，求出的值，进而得到 的值，即可得出结论； （3）设过的直线为，根据题意得到二次函数的解析式为，令，设设，则：，，进而得到，，得到，分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：① 的图象上不存在两点关于 轴对称，不是“函数” ②的图象关于 轴对称，是“函数”； ③的图象关于 轴对称，是“函数”； ④的图象关于对称，不是“函数”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 ∵二次函数（ 为常数）是“函数”， ∴抛物线关于 轴对称， ∴且， ∴， ∴， 设平移后的解析式为， 当时，，当时，设的横坐标为， 则：，， ∵， ∴， 整理，得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：（舍去）或（舍）或， 当时，，则：， ∴平移后的抛物线的解析式为：或； 【小问3详解】 存在； 设过的直线为， ∵是“函数”， ∴， ∴， 令，即：，设， 则：，， ∴，， ∴， ∵与 轴无交点，分两种情况： ①， 则：， 当，则： ，即： ， 即：， ∵恒成立， ∴， ∴； ②时， 则：， 当，则： ，即： ， 即：， ∵恒成立， ∴， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，理解“函数”的定义，是解题的关键． 25. 如图1， 为半圆 的直径， 为延长线上一点，切半圆于点 ，，交延长线于点 ，交半圆于点，已知，． （1）求的长； （2）如图2，连接 ， 为线段 上一点，过点 作的平行线分别交， 于点，，交圆 于点，过点 作于点 ．设，． ①求 关于 的函数表达式； ②延长交半圆 于点，求当 为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】（1） （2）①；②当 为时的值最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接 ，先求出的长，由平行线分线段成比例可得，可求的长； （2）①证明，可得，即可求解； ②如图，连接、，证明，可得，得到，然后用含 的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接 ， ∵切半圆于点 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 ∵ 为半圆 的直径，，设，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点 ， ∵，，， ∴， ∴， ∵ 为线段 上一点， ∴， ∴ 关于 的函数表达式为； ②连接、， ∵圆周角、所对的弧是， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当 为时的值最大，最大值为． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $