精品解析：吉林省延边市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

延边第二中学2023—2024学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种 A. B. C. D. 3. 圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序. A. 72 B. 78 C. 96 D. 120 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个 A. 120 B. 132 C. 144 D. 156 8. 已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对4分，选不全2分） 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（    ） A. B. 3 C. D. 4 11. 第31届世界大学生运动会将于今年8月在成都举行. 现安排包含甲、乙在内的5名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作. 则下列说法正确的是（ ） A. 若五人每人任选一项工作，则不同的选法有种. B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案. C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案. D. 若安排甲、乙两人分别从事翻译、安保工作，其余三人从礼仪、服务中任一项，则有12种不同的方案. 12. 已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为2 C. D. 点到轴的距离为 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上） 13. 从2名男生，4名女生中任选3人参加活动，则男生、女生都有人被选中的选法共有______种．（用数字作答） 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）. 15. 已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为______. 四、解答题（共5小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程） 17. （1）解关于的方程． （2）求关于的不等式的解集． 18. 在平面直角坐标系中，已知四点. （1）求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 19. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积． 20. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上是否存在关于直线对称的两点､，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 22. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2023—2024学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 2. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法原理求解. 【详解】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种．故A，B，D错误. 故选：C． 3. 圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为， 因为点关于直线的对称点为， 所以圆C：关于直线对称的圆的方程是 ， 故选：C 4. “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序. A. 72 B. 78 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可. 【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种； 当甲不在第一、三出场时，共有种； 故共有种不同的出场顺序. 故选：B 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点，利用三角形相似可得，从而得到，根据为等边三角形可求，再利用中位线可求的值.我们也可以利用抛物线定义求出直线的倾斜角与焦半径的关系，从而可求的值. 【详解】如图，点在准线上的投影分别为，的延长线交准线于点A， 解法1：由抛物线的定义可设，， 由得，所以， 所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故 因为，故为的中点， 所以到距离， 解法2： 不妨设PQ的倾斜角为锐角，如图（2），过作的垂线，垂足为， 则，， 故，故， 同理， 所以，所以，， 所以，所以为等边三角形，面积为，故边长为2，故， 解得. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与的关系，本题属于中档题. 6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出长轴长. 【详解】椭圆的面积，即①. 因为点P为椭圆C的上顶点，所以. 因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以. 因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：② ①②联立解得：. 所以椭圆C的长轴长为2a=6. 故选：B 7. 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个 A. 120 B. 132 C. 144 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先用插空法分析奇数数字互不相邻的情况，再排除其中0在首位的情况，即可得答案． 【详解】解：先排0，2，4，再让1，3，5插空. 总的排法共， 其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共，此时构不成六位数， 故总的六位数的个数为. 故选：B. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意排除0在首位的情况，属于基础题． 8. 已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得， 所以，，所以， 所以离心率， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意求得，然后在中利用余弦定理求出，从而可表示出点的坐标，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全选对4分，选不全2分） 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出排列数和组合数后判断. 【详解】，，，A正确； ，B错； ，，C正确； ，，D正确． 故选：ACD． 10. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（    ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围，即可判断． 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 由，显然， 即，则， 其中表示点到定点的距离， 表示点直线的距离，又点不在直线上， 则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比， 依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意. 故选：AB 11. 第31届世界大学生运动会将于今年8月在成都举行. 现安排包含甲、乙在内的5名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作. 则下列说法正确的是（ ） A. 若五人每人任选一项工作，则不同的选法有种. B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案. C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案. D. 若安排甲、乙两人分别从事翻译、安保工作，其余三人从礼仪、服务中任一项，则有12种不同的方案. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由排列组合依次分析判断即可 【详解】解：对于A，五人每人任选一项工作，则每人都有4种选法，所以不同的选法有，所以A正确， 对于B，分两步，先将5人分成4组，再将分好有4组安排不同的工作，则有种不同的方案，所以B正确， 对于C，分两步，先从5人中任选2人，安排礼仪工作，再将剩下的3 人安排到其它3个工作去，则共有种不同的方案，所以C正确， 对于D，分两步，先甲、乙两人分别安排从事翻译、安保工作，然后剩下3人每人都有两种法，所以共有种不同的方案，所以D错误， 故选：ABC 12. 已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为2 C. D. 点到轴的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；根据离心率公式即可判断B，由可求出判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D. 【详解】对于A，由到渐近线的距离为，得，解得， 由渐近线方程为，得，结合可得，， 则双曲线的方程为，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，为的平分线，则，故C错误． 对于D，由双曲线定义可得，则可得，， 在中，，， 设点到轴的距离为，则 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上） 13. 从2名男生，4名女生中任选3人参加活动，则男生、女生都有人被选中的选法共有______种．（用数字作答） 【答案】16 【解析】 【分析】分3人中1男2女和2男1女两种情况解答，结合分类加法原理即可求得答案. 【详解】由题可知，3人中1男2女的选法有种， 3人中2男1女的选法有种， 故男生、女生都有人被选中的选法共有种， 故答案为：16 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用表示个区域，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】如图，用表示个区域， 分4步进行分析： ①，对于区域，有5种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故答案为：. 15. 已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则， 设动点，则由可得，整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 易得直线的方程为， 则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 则圆心到直线的距离为， 所以MN距离的最小值为. 故选：C. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率. 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以. 设，则，所以， 由得， 所以，所以， 在中，由， 得，所以. 故答案为: . 四、解答题（共5小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程） 17. （1）解关于的方程． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由排列数的定义化简后求解； （2）由组合数的定义化简后求解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 解得． （2）因为，所以原不等式等价于， 即，解得． 又，且，所以原不等式的解集为． 18. 在平面直角坐标系中，已知四点. （1）求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 【答案】（1），在圆上 （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆方程为，然后将三点坐标代入可求出圆的方程，再将点代入圆的方程验证即可， （2）由已知可求得圆心到直线距离为1，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解即可. 【小问1详解】 设圆方程为 把三点坐标代入可得：， 解得， 所以圆方程是 把点坐标代入可得：，故在圆上. 【小问2详解】 由，得， 所以圆心，半径为， 因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为， 当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意 若直线的斜率存在，设直线方程为 圆心到直线的距离，解得 所以过点的直线为或. 19. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率值双曲线为等轴双曲线设为，将点代入求解即可； （2）通过直线与双曲线联立，利用根与系数的关系表示弦长，利用求解即可. 【详解】（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线， 设双曲线方程为， 将点代入方程, 得， 双曲线方程为. （2）右焦点为，则直线的方程为， 由，得，  设、，则：，   又原点到直线的距离为，   [另解]：由，得， 设、，则：， ， . 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，用到了弦长公式及根与系数的关系，着重考查了学生的运算能力，属于基础题. 20. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上是否存在关于直线对称的两点､，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，直线的方程. 【解析】 【分析】 （1）先利用同焦点确定c，再根据离心率求得，，即得结果； （2）先利用对称设出的方程，联立方程利用韦达定理得中点，根据中点在直线上即求得参数t，再检验此时方程的判别式大于零，方程有解，即得结果. 【详解】（1）依题意， 又，即，， 椭圆的方程为 （2）设，，点､关于直线对称， 故可设的方程为，且的中点在直线上，满足， 将的方程代入椭圆方程得：(*) ， 故，解得：. 此时，(*)式为：，判别式，的方程为，即， 故椭圆上存在，关于直线对称，直线的方程为. 【点睛】方法点睛： 对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用一下两种方法: (1) 先设出直线方程，再联立方程得到二次方程，利用韦达定理得到中点坐标，根据题意解决相关问题. (2) “点差法”，其中直线的斜率，中点坐标为M，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式，解决相关问题． 21. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，. （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为 （2）定点坐标为或，证明如下： 设直线， 联立直线与抛物线的方程可得，. 所以，，. 又，，所以. 同理可得. 设圆上任意一点为，则由可得， 圆的方程为， 整理可得，. 令，可得或， 所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 【解析】 【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出； （2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系.进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程.取，即可得出定点坐标. 【小问1详解】 由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为. 联立抛物线与直线的方程可得， . 设，，由韦达定理可得， 则，所以. 所以，抛物线的方程为，准线方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标. 22. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）＝1，＝1 （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率，及焦点三角形周长，即可求得a，c的值，进而可得椭圆方程；设双曲线方程为（），根据题意，可求得m的值，即可得双曲线方程； （2）设的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得的表达式，同理可得的表达式，再可得，从而化简可解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 又，所以， 又，因此， 故椭圆的标准方程为. 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以， 因此双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设的方程为， 将其代入椭圆方程得， 显然，显然， 由韦达定理得，， 所以| ， 同理可得， 则， 设，则，， ∵点在双曲线上，所以， ∴，即， 所以， 故，因此存在， 使恒成立． 【点睛】关键点点睛：设，则，，由点在双曲线上，得从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $