2023年湖北省各地市中考数学二模压轴题精选

2023年湖北省各地市中考数学二模压轴题精选 温馨提示： 1. 本卷共45题，题目均选自2023年湖北省各地市二模试题。 1. 本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 1. 本卷难度较大，适合基础较好的同学。 第一部分 代数部分 1.(2023·湖北省恩施市)若关于的方程的解是正数，则的取值范围为(    ) A. B. 且 C. D. 且 2.(2023·湖北省恩施市)若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.(2023·湖北恩施市)已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.(2023·湖北省武汉市江汉区·)已知一列数的和，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.(2023·湖北省十堰市·)“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.(2023·湖北省武汉市江汉区·)甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为：，甲、乙两车离全程中间位置的路程单位：千米与甲车出发时间单位：时的关系如图所示，则甲走完全程所用时间是(    ) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7.(2023·湖北省武汉市江岸区)某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，，，使得，则的最大取值为(    ) A. B. C. D. 8.(2023·湖北省恩施市)如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论正确的有(    ) ；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.(2023·湖北省武汉市江汉区·)定义、、为二次函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：当时，函数图象的顶点坐标是；当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；当时，函数在时，随的增大而减小；当时，函数图象经过同一个点，正确的结论是______． 10.(2023·湖北省孝感市·)如图，▱的顶点、在第二象限，点，反比例函数图象经过点和边的中点，若，则的值为______用含的式子表示 11.(2023·湖北省宜昌市)如图，点是双曲线上一点，射线与另一支曲线交于点，轴，垂足为点有以下结论：；点坐标为；面积为；随的增大而增大，其中正确的结论是______填入正确答案的序号． 12.(2023·湖北省武汉市江岸区·)已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则；当且抛物线与轴一个交点横坐标为，，有恒成立，则正确结论是______填写序号 13.(2023·湖北省黄冈市·)如图甲，在梯形中，，，动点从点出发沿线段向点运动，到达点即停止，若、分别是、的中点，设，的面积为，则与的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为______． 14.(2023·湖北省咸宁市·)如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、． 求，，的值； 求的面积； 作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值． 15.(2023·湖北省武汉市江汉区·)计划将甲、乙两厂的生产设备运往，两地，甲厂设备有台，乙厂设备有台，地需台，地需台，每台设备的运输费单位：百元如表格所示，设从甲厂运往地的有台设备为整数． 地 地 甲厂 乙厂 用含的式子直接填空：甲厂运往地______台，乙厂运往地______台，乙厂运往地______台； 请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 因客观原因，从甲到的运输费用每台增加了百元，从乙到的运输费用每台减小了百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值． 16.(2023·湖北省孝感市·)蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，月份至月份这种蔬菜的上市时间月份与市场售价元千克的关系如表： 上市时间月份 市场售价元千克 这种蔬菜每千克的种植成本元千克与上市时间月份满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段如图． 写出表中表示的市场售价元千克关于上市时间月份的函数关系式； 若图中抛物线过，，点，求出抛物线对应的函数关系式； 由以上信息分析，几月份上市出售这种蔬菜每千克的收益最大，最大值为多少元收益市场售价种植成本． 17.(2023·湖北省武汉市江岸区·)某开发商计划对某商业街一面米米的正方形墙面进行如图所示的设计装修，四周是由八个全等的矩形拼接而成，用甲类材料装修，每平方米元：中心区是正方形，用乙类材料装修，每平方米元，设小矩形的较短边的长为米，装修材料的总费用为元． 写出总费用关于的函数解析式； 开发商打算花费元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽； 在的花费前提下，设计中心区作为广告区域，其边长不小于米时，开发商的费用是否足够？请结合函数增减性说明理由． 18.(2023·湖北省孝感市·)如图，抛物线经过点，，交轴于点． 写出 ______， ______； 点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 将直线绕点顺时针旋转，与直线相交于点，求直线的函数表达式． 19.(2023·湖北省宜昌市·)迅达水果合作社，为了提高樱桃和枇杷两种水果的销售量，决定将两种水果组合成礼盒销售樱桃的收购单价是枇杷收购单价的倍，每个礼盒装有樱桃和枇杷，每盒还需其他成本元，迅达水果合作社推出这礼盒后，经市场调查发现，该礼盒的日销售量个与礼盒的销售单价元之间满足一次函数关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表： 销售单价元个 日销售量有个 日销售利润元 【提示：成本水果收购价其他成本；日销售利润销售单价成本日销售量】 求与之间的函数关系式不要求写的取值范围； 求樱桃的收购单价； 进入月份，樱桃的收购单价上涨百分数为，枇杷的收购单价下降百分数也为，在销售过程中，日销售量与销售单价仍存在中的关系，统计发现，当销售单价定为元时，日销售利润最大，求日销售最大利润． 20.(2023·湖北省十堰市·)某公司开发出一种高科技电子节能产品，投资万元一次性购买整套生产设备，此外生产每件产品需成本元，每年还需投入万广告费，按规定该产品的售价不得低于元件且不得高于元件，该产品的年销售量万件与售价元件之间的函数关系如下表： 元件 万件 求与的函数关系式，并写出的取值范围； 第一年公司是盈利还是亏损？并求出当盈利最大或亏损最小时该产品的售价； 在的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品定价，能否使两年盈利万元？若能，求第二年产品的售价；若不能，说明理由． 21.(2023·湖北省黄冈市·)年月日，“美丽玉环，文旦飘香”号冠名列车正式发车，为广大旅客带去“中国文旦之乡”的独特味道根据市场调查，在文旦上市销售的天中，其销售价格元公斤与第天之间满足函数其中为正整数；销售量公斤与第天之间的函数关系如图所示，如果文旦上市期间每天的其他费用为元． 求销售量与第天之间的函数关系式； 求在文旦上市销售的天中，每天的销售利润与第天之间的函数关系式；日销售利润日销售额日维护费 求日销售利润的最大值及相应的的值． 22.(2023·湖北省咸宁市)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点的坐标为，并经过点． 求抛物线的解析式； 点是抛物线上一点不与点重合，直线将的面积分成：两部分，求点的坐标； 点从点出发，以每秒个单位的速度在轴运动，运动时间为秒，当时，求的值． 23.(2023·湖北省武汉市江汉区·)如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，直线与抛物线交于，两点点在的左侧． 求的值； 若，点是第一象限内抛物线上的一点，且与的面积相等，求点的坐标； 若在轴上有且只有一点，使，求的值． 24.(2023·湖北省宜昌市)抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 写出抛物线的对称轴，并求的值； 如图，，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为； 若，关于点对称，求点坐标； 若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值． 25.(2023·湖北省十堰市·)抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，如图所示． 求抛物线的解析式； 将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线顶点落在内包括的边界，求的取值范围； 设点是抛物线上任一点，点在直线：上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由． 26.(2023·湖北省武汉市江岸区·)如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点在的左侧，与的正半轴交于点，连结，二次函数的对称轴与轴交于点，且． 求出抛物线的解析式； 如图是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，若与相似，请求出的坐标； 如图是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为，是否存在点，使得恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 27.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·)如图，已知直线分别交轴、轴于点抛物线过，两点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点． 若抛物线的顶点的坐标为，其对称轴交于点． 求抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，试求出点的坐标； 是否存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求出此时点的坐标； 当点的横坐标为时，是否存在这样的抛物线，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 28.(2023·湖北省黄冈市)如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 若点是对称轴上的一个动点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 为的中点，一个动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程． 第二部分几何部分 29.(2023·湖北省武汉市江汉区·)如图，，分别为的切线，切点为，，点为弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，作的内切圆，若，的半径为，的半径为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 30.(2023·湖北省黄冈市·)如图，在正方形中，为上一点，交对角线于点，点是上的一点且，连结，交于点满足，现给出下列结论：；；若，则其中正确的有个． A. B. C. D. 31.(2023·湖北省十堰市·)如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则、、两点不重合两点间的最短距离为______． 32.(2023·湖北省武汉市江岸区·)如图，已知，点、分别为射线，射线上的动点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，当时， ______． 33.(2023·湖北省武汉市江汉区·)如图，在等腰中，，，边长为的正方形的对角线交点与点重合，连接，将正方形绕点旋转一周，当点，，三点共线时，的长是______． 34.(2023·湖北省十堰市·)如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为______． 35.(2023·湖北省咸宁市·)如图，正方形内接于圆，线段在对角线上运动，若圆的面积为，，周长的最小值是______． 36.(2023·湖北省黄冈市)如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且． 求证：是的切线； 若，，圆的半径，求切线的长． 37.(2023·湖北省黄冈市·)如图，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． 如图，当时，______；，所在直线相交所成的较小夹角的度数是______； 将绕点逆时针旋转至图所示位置时，中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 当绕点逆时针旋转过程中，请直接写出的最大值，______． 38.(2023·湖北省十堰市·)在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、． 如图，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为______； 将线段绕点顺时针旋转时， 在图中依题意补全图形，并求的度数； 若的平分线交于点，交的延长线于点，连接用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 39.(2023·湖北省武汉市江岸区·)如图，四边形中，，连对角线，． 如图，当，时，求的值； 如图，当时，过点作于，为中点，连， 求证：； 若，则四边形的面积是______． 40.(2023·湖北省咸宁市·)如图，在中，，，，点，为边，的中点，随接，将绕点逆时针旋转． 如图，当，时， ______，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______； 将绕点逆时针旋转至图所示位置时，中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由： 在绕点逆时针旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写线段的长． 41.(2023·湖北省宜昌市·)已知，在正方形中，点是边上一点，沿翻折得到． 如图，点落在以为直径的上． 求证：是的切线； 求的值； 如图，射线与以为直径的交于，点，与直径交于点，且，求线段的长． 42.(2023·湖北省宜昌市·)已知，四边形是矩形，，，，分别是，边上的点，且，与交于点，垂足为点，以，为邻边作▱． 如图，当点在边上时，求证：≌； 如图，当▱是矩形时，求的长； 当点在内部含边上时，求线段的取值范围． 43.(2023·湖北省恩施市)如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是外一点，在直线上，连接，，，且满足． 求证：是的切线； 证明：； 若，，求的长． 44.(2023·湖北省武汉市江汉区·)如图，，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． 求证：； 若． 如图，若，过点作交的延长线于点，求：的值； 如图，若，延长至点，使，过点作交的延长线于点，若是的中点，且，直接写出线段的长． 45.(2023·湖北省孝感市)如图，在矩形中，为上一点，以为边作矩形，其中经过点，连接． 如图，若，求证：； 连接． 如图，若，，，求的长； 如图，若，，直接写出的值为______． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为，得． 关于的方程的解是正数， 且． 且． 故选：． 先解分式方程，得再根据分式方程的解的定义解决此题． 本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义、解一元一次不等式是解决本题的关键． 2.【答案】  【解析】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 所以不等式组的解集是：， 关于的不等式组恰有个整数解整数解是，，， ， 故选：． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的个整数解是，，，再求出的取值范围即可． 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出的范围是解此题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键掌握，是方程的两根时，，根据方程的两实数根为，，得出与的值，再根据和方程的根的判别式，即可求出的值． 【解答】 解：方程的两实数根为，， ，， ， ， 解得：，， 方程有两实数根， ， 即， 不合题意，舍去， ． 4.【答案】  【解析】解：设，一共有个． ． 则个相加为，则，即； 由，，两式相加得：，则故选：． 先将个相等的式子相加并且进行分组相加，利用题干给的求和式子求出和，再代入求出结果即可． 本题考查了数字的变化类，根据数字的变化寻找规律是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：、是关于的方程的两根， 二次函数的图象与轴交于点、， 将的图象往上平移一个单位可得二次函数的图象， 二次函数的图象与轴交于点、． 画出两函数图象，观察函数图象可知． 故选：． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程． 由、是关于的方程的两根可得出二次函数的图象与轴交于点、，将的图象往上平移一个单位可得二次函数的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出、、、的大小关系． 6.【答案】  【解析】解：由已知得：、两地之间的距离为千米， 出发时，甲、乙两车离中点的路程是千米， 甲车的速度为千米小时， 甲走完全程所用时间是小时， 故选：． 由两车相遇时甲、乙所走路程的比为：及两车相遇所用时间，即可求出、两地之间的距离，然后求出甲车速度即可． 本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，结合数量关系，进行求解是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：设， 则在该函数图象上个不同的点，，也都在的图象上， 正比例函数与该函数的图象如图所示， 由图象可知，正比例函数的图象与该函数图象最多有个交点， 则的最大值为． 故选：． 设，则在该函数图象上个不同的点，，也都在的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向与位置分别判断出，，的正负，即可得结论； 根据抛物线的对称轴判断即可； 设抛物线的解析式为，可知当时，的值最大，最大值为； 根据中的最大值以及二次函数与方程的关系即可得出答案． 本题考查二次函数的性质，二次函数与方程的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【解答】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ，故正确； 抛物线交轴于点，由对称性可知抛物线与轴的另一交点为， 可设抛物线的解析式为， 当时，的值最大，最大值为，故正确； 关于的方程无实数根， 由可知，函数最大值为， ，解得， 又， ，故正确． 综上，正确的结论有共个． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案． 【解答】 解：把代入，得，，，函数解析式为，利用顶点公式可以求出顶点为，正确； 函数与轴两交点坐标为，， 当时，，正确； 当时，函数开口向下，对称轴， 可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误； ，若使函数图象经过同一点，时，应使，可得，，当时，，当时，，则函数一定经过点和，正确． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点、的纵坐标列出方程是解题的关键． 过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再求出，设，表示出点、的坐标，然后根据、的关系列方程求出的值，再求出、，然后利用的正切值列式整理即可得解． 【解答】 解：如图，过点作于，过点作轴于， 在▱中，， 为边的中点， ，， ， 设， 点、都在反比例函数上， 点， ， ， ， 解得， ，， ， ， 即， ． 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：点， ，故正确； 点、关于原点对称， 点坐标，故正确； 点到的距离为， ，故错误； 由图得，在每个象限内，随的增大而增大，故错误． 故答案为：． 由点坐标可求出，故可判断；由点的对称可求出点，故可判断；根据所求点坐标，利用三角形面积公式可求出三角形面积，故可判断；由图象所在象限和增减性，可判断． 本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，三角形面积的求法及点的对称的性质是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， 即， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以正确； 时，有最小值， 为任意实数， 即，所以正确； 由图象经过点，得的两根为，， 二次函数与直线的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与直线的另一个交点为， 即，， ，所以正确， ， ， 抛物线与轴一个交点横坐标在和之间时，且对称轴是直线， 抛物线与轴另一个交点横坐标在和之间， 时，，即， ， ，即， ， ， ， ，故正确， 正确的有， 故答案为：． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，可判定；利用二次函数当时有最小值可对进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对进行判断；由抛物线与轴一个交点横坐标在和之间时，且对称轴是直线，可得，从而有，故，即可得，判断正确． 本题考查二次函数及图象，掌握二次函数性质及数形结合思想的应用是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：、分别是、的中点 是的中位线 当时，点与点重合 当时，点与点重合 故答案为：． 先证明是的中位线，从而得出，再分两种情况计算面积：当时，点与点重合；当时，点与点重合；然后求和即可． 本题考查了动点问题的函数图象在几何图形面积问题中的应用，数形结合并分段讨论是解题的关键． 14.【答案】解：双曲线过点， ， 又直线过点、， ， 解得，， 答：，，； 由可得反比例函数的关系式为， 直线的关系式为， 当时，，解得，即， ， 由点可得， ， ； 设直线的关系式为，，代入得， ，， ，， 直线的关系式为， 设平移后的关系式为，由于平移后与有唯一公共点， 即方程有唯一解， 也就是关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得，舍去， ， 答：的值为．  【解析】根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出、、的值； 根据点的坐标得出三角形的底和高，利用三角形的面积公式进行计算即可； 求出直线的函数关系式，设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可． 本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键． 15.【答案】解：，，  设运输费为百元，依题意得 ； ， 随的增大而增大， 当最小时，最小． 又；； ． 当时，， 当甲厂运往地台，地台，乙厂将台都运往地时，费用最低，最低费用为元； ， 当时，无论怎么安排，运费都是元； 当时， ，随的增加而增加， 当时，运费最低百元； 当时， ，随增加而减小， 当时，运费最低是元，  【解析】解：设从甲厂运往地的有台设备，则甲厂运往地台，乙厂运往地台，乙厂运往地台； 见答案； 见答案， 根据题目中的数量关系列代数式即可； 根据列出运输总费用的函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数的性质求解即可； 列出总费用的函数关系式，对的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可． 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据已知列出函数关系式，掌握并能熟练运用一次函数的性质． 16.【答案】解：设， 将点与代入得： ， 解得：， 所以函数关系式为：； 设， 将点、、代入解得：，，， 故抛物线对应的函数关系式为：， 设收益为，根据收益售价成本，表示市场售价，表示成本， 因为，， 则， 当时，， 即月上市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大收益为元千克．  【解析】分析表中数据成直线递减，所以设函数解析式为，代入两对数值解方程组可得解析式； 根据三点坐标可得方程组，求解可得解析式； 根据收益的计算方法得表达式，运用二次函数的性质求最值． 本题考查二次函数的应用，掌握相关知识是知识的关键． 17.【答案】解：根据题意得：，，四周是由八个全等的矩形， ， ， 答：关于的函数解析式为； 在中，令得： ， 解得或此时为负数，舍去， 米， 答：甲类材料中矩形的长是米，宽是米； 不小于米， ， 解得， ； ， 又， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，随增大而增大， 当时，， 而时， 当时，，开发商的费用足够； 当时，，开发商的费用不足够．  【解析】根据题意得，即得； 在中，令得或此时为负数，舍去，即可得甲类材料中矩形的长是米，宽是米； 不小于米，可得，又，抛物线开口向下，在对称轴左侧，随增大而增大，可知当时，，即得当时，，中开发商的费用够，当时，，中开发商的费用不够． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 18.【答案】解：， ； 当时，， 点的坐标为． ， ． 设点的坐标为， ， 解得：，， 当时，； 当时，． 点的坐标为或． ， 解得：，舍去． 当时，． 点的坐标为． 所以存在点的坐标为，或； ， ， 是直角三角形， ， 过作轴于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 设直线的函数表达式为，将、代入得： ， 解得：， 所以直线的函数表达式为：．  【解析】解：根据题意，得： ， 解得， 故答案为：，； 见答案； 见答案． 利用待定系数法求函数表达式． 先求面积，以为底，的纵坐标的绝对值为高，根据面积求纵坐标． 先求坐标，然后设直线的函数表达式为，代入即可得解． 本题属于二次函数综合题，主要考查用待定系数法求函数表达式，二次函数图象上点的坐标特征．将线段的长转换成点的坐标运算是求解本题的关键． 19.【答案】解：设与之间的函数关系式为， 把，代入解析式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； 设樱桃的收购单价为元千克，则枇杷收购单价为元千克， 则， 解得， ， 樱桃的收购单价为元千克； 设销售单价为元千克，此时销售量为， 则 ， ， 在对称轴处取得最大值， ， 解得， ，时日利润最大， 最大利润为元， 日销售最大利润为元．  【解析】根据表格中数据用待定系数法求函数解析式即可； 设樱桃的收购单价为元千克，则枇杷收购单价为元千克，然后根据表格中任意一组数据由日销售利润销售单价成本日销售量列出方程求出即可； 设销售单价为元千克，此时销售量为，根据日销售利润销售单价成本日销售量列出函数解析式，再根据函数的性质解答即可． 本题考查一次函数和二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 20.【答案】解：； 设公司第一年的盈利为万元，则 ． 第一年公司盈利了． ， 当时，． 当商品售价定为元件时，盈利最大，最大为万元； 答：第一年公司盈利了．当盈利最大时该商品的售价为元； 两年共盈利万元，则 ，即， 解得或． ， ． 答：能，第二年产品售价是元件．  【解析】由于当销售单价定为元时，一年的销售量为万件，而销售单价每增加元，年销售量就减少万件，由此确定与的函数关系式； 由于首先投资万元购买整套生产设备，又投入万广告费，而生产每件产品的成本为元，然后利用的结论即可列出公司第一年的盈利万元与函数关系式，接着利用函数关系式即可确定第一年公司是盈利还是亏损； 根据可以列出方程，解方程结合已知条件即可解决问题． 本题考查的是一次函数、二次函数以及一元一次不等式在实际生活中的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用已知条件列出方程或二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质即可解决问题． 21.【答案】解：当时，设，由图知可知，解得， ， 同理得，当时， 销售量与第天之间的函数关系式：； ； 整理得，； 当时， 的对称轴， 此时，在对称轴的右侧随的增大而增大 时，取最大值，则， 当时 的对称轴是 在时，取得最大值，此时， 当时 的对称轴为， 此时，在对称轴的左侧随的增大而减小 时，取最大值，的最大值是， 综上，文旦销售第天时，日销售利润最大，最大值是元．  【解析】依据题意利用待定系数法易求得销售量与第天之间的函数关系式， 然后根据销售利润销售量售价进价，列出每天的销售利润与第天之间的函数关系式， 再依据函数的增减性求得最大利润． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 22.【答案】解：设抛物线的表达式为：， 则， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 当点在点的右侧时，如下图， 直线将的面积分成：两部分，即将的面积分成：两部分， 则点将分为：两部分，即， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立得：， 解得：， 则点； 当点在点的左侧时，同理可得，直线的表达式为：， 联立得：， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或； 在线段上取点使，，连接， 则 则， ， ， 过点作于点， 由点、的坐标知，， 在中，，则， 则， 则， 当点在轴下方时， ， 则，则点， 当点在轴上方时， 同理可得，点， 则或， 点从点出发，以每秒个单位的速度在轴运动， 或．  【解析】用待定系数法即可求解； 当点在点的右侧时，直线将的面积分成：两部分，即将的面积分成：两部分，则点将分为：两部分，即可求解；当点在点的左侧时，同理可解； 求出，当点在轴下方时，，得到点，当点在轴上方时，同理可得，点，则或，进而求解． 本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是解题的关键． 23.【答案】解：抛物线的顶点在轴正半轴上， ， 解得，，， 解得，， ； 由知，， 抛物线解析式为， ， 若点，在直线的同侧， 与的面积相等， ， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得，， 解得：或， ； 若点，在直线的异侧， 若，则直线的解析式为， 由可知，过点且与平行的直线的解析式为，即将直线向下平移个单位， 将直线向上平移个单位与抛物线的交点也符合条件， 将直线向上平移个单位得， 与抛物线解析式联立得，， 解得：或， 点是第一象限内抛物线上的一点， ； 综上，点的坐标为或； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 联立直线和抛物线的解析式得，， 整理得，， 设，，则，， ，， ， 直线与抛物线交于，两点， ， 解得：， ， ， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， 整理得，， ， ， 只有一点满足条件， ， 解得：．  【解析】由该抛物线的顶点在轴正半轴上可知，即抛物线与轴有一个交点，对称轴在轴右侧，以此列出方程和不等式，求解即可； 先求出点的坐标为，再分两种情况讨论：若点，在直线的同侧，根据与的面积相等可得，可设直线的解析式为，将点的坐标代入求得直线的解析式为，再与抛物线解析式联立，求解即可；若点，在直线的异侧，结合可知将直线向上平移个单位与抛物线的交点也符合条件，将直线向上平移个单位得，与抛物线解析式联立，求解即可； 过点作轴于点，过点作轴于点，联立直线和抛物线的解析式得，设，，则，，利用根与系数的关系得到，，进而求出，易证∽，设，则，，利用相似三角形的性质得，通过计算整理得到，由只有一点满足条件即可求解． 本题主要考查二次函数与轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象与性质、两直线平行问题、相似三角形的判定与性质，本题是二次函数的综合题，难度较大，属于中考压轴题，解题关键是灵活运用所学知识，并善于利用分类讨论和数形结合思想解决问题． 24.【答案】解：， 抛物线的对称轴为直线， 把点代入得， ； 点，对称轴为， ， ， 由射影定理得， ， ， ， ， ， ，关于点对称， ，， ， 或舍， 点的坐标为． 设点，直线为，与联立得： ， ， ， ， 当即时，的值是一个定值．  【解析】套用公式求对称轴，把点代入求的值； 先求出抛物线的表达式，再利用，关于点对称，建立的方程； 设出点，直线为，与联立得出韦达定理，利用斜率公式表示，最后表示成，的形式． 本题考查了二次函数的图象与性质，并结合了中心对称，直线的斜率公式，韦达定理等知识．对于定值问题，要设而不求，尽量的减少变量的个数． 25.【答案】解：把、代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； 由，得，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线向下平移个单位后顶点为． 如图，设直线交于点，交轴于点，则， ，， ， ，； 点在内包括边界， ， 解得． 如图，设直线交于点，则，． 当点与点重合、点与点重合时，则，， ，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， 此时，； 如图，，，且点不与点重合． 作于点，轴于点，则， ， ≌， ． 设，则， ， 解得，不符合题意，舍去， ． 综上所述，点的坐标为或．  【解析】将、代入，组成方程组求得待定系数的值； 将中求得的抛物线的解析式配成顶点式，求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与轴的交点坐标，用含的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出的取值范围； 根据一线三直角模型作辅助线并且用点的横坐标表示点到直线和到轴的距离，由全等三角形的判定和性质，证明点到直线及轴的距离相等，列出方程，求得结论． 此题重点考查二次函数的图象与性质及图形的平移、全等三角形的判与性质等知识，综合的知识点较多，解题的关键是正确地作出辅助线． 26.【答案】解：由抛物线的表达式得，其对称轴为， 则，即点， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 与相似，，则存在和为直角两种情况． 当为直角时， 延长交轴于点，即为直角， ，则， 故直线的表达式为：， 联立得：， 解得：， 即点的横坐标为：， 即点的坐标为； 当为直角时， 则轴，则点、关于抛物线对称轴对称，则点的横坐标为， 即点的坐标为， 综上，点的坐标为：或； 存在，理由： 如图，由题意， ， ， ， 直线解析式为， ，， 作于， ， ， ， 当在直线上方时，， 解得：或舍弃， ． 当在直线下方时，， 解得或舍弃， ， 综上所述：点坐标为或．  【解析】用待定系数法即可求解； 与相似，，则存在和为直角两种情况．当为直角时，求出直线的表达式，即可求解；当为直角时，则轴，则点、关于抛物线对称轴对称，则点的横坐标为，即可求解； 分两种情形当在直线上方，当在直线下方，分别列出方程即可解决． 本题考查二次函数综合题、翻折变换、三角函数、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题． 27.【答案】解：将代入得，， 解得， ， 抛物线的顶点的坐标为， 设， 抛物线过点，根据一次函数可得代入解析式得，， 抛物线解析式为； 设抛物线与轴左侧的交点为，则点，关于抛物线的对称轴对称， 点，关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴垂直平分所以． ， 连接并延长交抛物线的对称轴于点，连接， 当点，，三点共线时，的值最大，即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 所以点的坐标为； 存在． 理由：将代入，得， 点， 由点，得， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 即． 解得舍去，， 点的坐标为； 当点的横坐标为时，则其坐标为， 由题意，得轴， ， 如图，当时，以，，为顶点的三角形与相似， ， 轴， 点，关于抛物线的对称轴对称， 点， 设抛物线解析式为， 将，，代入， 得，， 解得，，， 抛物线的解析式为； 如图，当时，以，，为顶点的三角形与相似． 由点，的坐标可得，， ， 由点的坐标可得，， 同理可得， ， 由∽，得， ， ， 点的坐标为， 同理利用待定系数法可求得抛物线的解析式为． 抛物线的解析式为：或．  【解析】利用待定系数法求解即可； 设抛物线与轴左侧的交点为，则点，关于抛物线的对称轴对称， 根据题意得到当点，，三点共线时，的值最大，即，然后求出直线的解析式为，将代入求解即可； 首先求出点和点的坐标，得到，然后设点的坐标为，则点的坐标为，得到，然后利用平行四边形的判定得到，解方程即可求解； 根据题意分两种情况讨论：和，分别利用相似三角形的性质和待定系数法 即可． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 28.【答案】解：，，， ，，， 设二次函数的解析式为， 将点的坐标代入， ， ， 二次函数的解析式为； 存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ， 对称轴为直线， 设直线的解析式为， 代入点、坐标可得：， 解得：， 直线的解析式为， 点，， 由两点距离公式可得，，，， 若使以点、、为顶点的三角形与相似，则有， 如图：当时，则有轴， 点； 如图：当时， ， ， ； 综上所述：点的坐标为或； 如图：作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程， ，点为的中点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， 设直线的解析式为， 把点、坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 当时，， ，， 点走过的最短路程为．  【解析】设二次函数的解析式为，再将代入即可求解； 先求直线的解析式，分两种情况讨论：当时，则有轴，求出点；当时，由，可求； 作点关于轴的对称点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，分别与轴、抛物线的对称轴交于点、，此时的点、即为所求，即为动点所走过的最短路程，求出直线的解析式即可求、的坐标，在求出的长即可求最短距离． 本题是二次的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键． 29.【答案】  【解析】解：如图，设与的三边分别相切于、、点，连接，，，，， 则，，， 的面积为， 、、分别是的切线， ，， 的周长为， ，分别为的切线， ， 是的平分线， ， 在中，， ， 的面积为． 故选：． 设与的三边分别相切于、、点，连接，，，，，根据切线的性质得的面积为，再利用切线长定理说明，利用三角函数表示出的长即可． 本题主要考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，三角形的面积等知识，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 30.【答案】  【解析】解：， ， ， ∽， ， 四边形是正方形， ，平分， ， ， ， ， ， ， 正确； 将绕点顺时针旋转到， ≌， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 正确； 设正方形的边长为，， ， ， ，， 在中，， ， 解得：， 即，， ， 错误． 正确的有个． 故选：． 把它化为，证明∽，推出，再根据正方形的性质得出，再根据和三角形内角和求出，进而得出； 将绕点顺时针旋转到，推出，，，进而证明≌，推出，最后得出； 设正方形的边长为，，根据，求出，进而得，，根据勾股定理求出，进而求出． 本题考查三角形相似的判定和性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，熟练掌握这四个知识点的综合应用，将绕点顺时针旋转到是证明≌的解题关键． 31.【答案】  【解析】解：若以边为底，则垂直平分线上在菱形的边及其内部的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点与点重合时，值最小，为； 若以边为底，为顶角时，以点为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧除点外上的所有点都满足是等腰三角形，当点在上时，最小，最小值为； 若以边为底，为顶角，以点为圆心，为半径作圆，则弧上的点与点均满足为等腰三角形，当点与点重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，的最小值为． 故答案为：． 分三种情形讨论若以边为底．若以边为底．若以边为底．分别求出的最小值，即可判断． 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 32.【答案】  【解析】解：过点作交的延长线于点， 作的垂直平分线于点， 则， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 依题意可知：，， ， 在中，，， ， ， 又， ∽， ：：， 即：， ， ， ， ． 故答案为：． 过点作交的延长线于点，作的垂直平分线于点，设，通过计算可得出，，，，，然后证和相似，从而得：：，然后将、的数值代入可计算出，进而可求出，据此可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，理解直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半，难点是设置适当的未知数，利用直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质分别表示出，． 33.【答案】或  【解析】解：如图，当、、三点在同一直线上，且点在点和点之间， ，， ，， 在和中 ≌， ，， ， 点、、在同一条直线上， ， ，且，， ， 解得或不符合题意，舍去； 如图，、、三点在同一直线上，且点在的延长线上． ， 在和中， ≌， ， ， ， 点、、在同一条直线上， ， 在和中， ≌， ； ， ， 解得或不符合题意，舍去． 综上所述，的长为或 故答案为：或 分两种情况讨论，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 34.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 点是的中点， ， 由翻折可知：，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得． 则的长度为． 故答案为：． 连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明≌，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题． 本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 35.【答案】  【解析】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键． 36.【答案】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∽， ， ．  【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明∽是本题的关键． 连接，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，可证是的切线； 由勾股定理可求，由锐角三角函数可求，可求，通过证明∽，可得，可求解． 37.【答案】     【解析】解：在中，， ， ， ， 点为边的中点， ， 点，为边，的中点， 是的中位线， ， ，， 在中，， ， ， ， ，所在直线相交所成的较小夹角为， 故答案为：，； 中结论仍然成立，证明：延长，相交于点，如图， 由旋转知，， ，， ，， ，， ， ∽， ，， ， ； 由题意，，，， 当点落在的延长线上时，的面积最大，最大值． 故答案为：． 先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论； 先判断出∽，得出，，进而求出，即可得出结论； 当点落在的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可． 本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题． 38.【答案】解： 依题意补全图形如图， 由旋转得：，， ， ，， ，， ； ． 证明：过点作，交的延长线于点， ，平分， 垂直平分， ，， 由知，， ， ， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ≌， ， ， ．  【解析】解：在中，，将线段绕点逆时针旋转， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：； 见答案． 根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数； 依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解； 过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得出垂直平分，求出可得，，证明≌，可得，根据线段的和差即可得出结论． 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 39.【答案】  【解析】解：，， 是等边三角形， ， ， ， ； 证明：如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， 点是的中点， ，， ， 点，点，点，点四点共圆， ，， ∽， ， ； 解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ，， ， ， ， ， ，舍去， 四边形的面积， 故答案为：． 先证是等边三角形，可得，由锐角三角函数可求解； 通过证明∽，可得，即可求解； 由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 40.【答案】    【解析】解：在中，， ， ， ， 点为边的中点， ， 点，为边，的中点， 是的中位线， ， ，， 在中，， ， ， ， ，所在直线相交所成的较小夹角为， 故答案为：；； 中结论仍然成立，证明如下： 延长，相交于点，如图， 由旋转知，， ，， ，， ，， ， ∽， ，， ， ； 在图中，在， 当点在的延长线上时，如图， ，，三点共线， ， 在中，， ； 当点在线段上时，如图， 同的方法得，， ， 即线段的长为或． 先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论； 先判断出∽，得出，，进而求出，即可得出结论； 分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出，即可得出结论． 此题时几何变换综合题，主要考查了含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，画出图形是解本题的关键． 41.【答案】证明：连接，，如图， 沿翻折得到， ． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ≌， ， ， 点落在以为直径的上， 为的半径， 是的切线； 解：沿翻折得到， ，， ， ， ，，在一条直线上． 设正方形的边长为，，则，，，， 在中， ， ， ． ； 解：过点作于点，过点作于点，如图， 则． 为直径，， ，， ， ． 四边形为正方形， ， 在中， ． ， ， ． ，， ， ∽， ， ， ． 连接， 在中， ， ．  【解析】连接，，利用翻折的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； 利用翻折的性质和平角的定义得到，，在一条直线上，设正方形的边长为，，则，，，，利用勾股定理求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； 过点作于点，过点作于点，利用正方形的性质，勾股定理和三角形的面积公式求得的长度；利用相似三角形的判定与性质求得线段的长度，连接，利用勾股定理求出线段，最后利用垂径定理得到的长度． 本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，圆的有关概念与性质，圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 42.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ≌； 解：如图，设，则，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ； 解：当点在上时，如图， ，， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ∽， ，即， ， ； 当点在边上时，如图， ，，， ≌， ， ， ， ， ∽， ，即， ， 线段的取值范围是．  【解析】先根据三角形内角和定理可得，由可证得结论； 设，则，，证明，根据平行线分线段成比例定理可得，解方程可得的长； 根据相似三角形的性质和判定，分别计算点在边和上时，的长，从而得结论． 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识，掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 43.【答案】解：证明：是弦中点， ， 是的中垂线， ， ． 是的直径， ， ． 又， ， ，即， 是的切线； 证明：由知， ∽， ， ． 又， ，即． ， 在中，设，则． 是中点，， ， ． ，即，解得， ．  【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出∽是解本题的关键． 先判断出，得出，再判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论； 先判断出∽，得出，进而得出，即可得出结论； 在中，设，得出，，最后用勾股定理得出，即可得出结论． 44.【答案】证明：如图中， ，，， ， ，， ， ∽， ， ． 解：如图中，连接，延长交的延长线于，作于． 由可知：∽， ， ， ，，设， ， ，， ，， ， ． ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ． ．  【解析】见答案； 见答案； 解：如图中，连接，延长交的延长线于． ， ， 在和中 ≌， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 如图中，连接，延长交的延长线于，作于，设，则，，想办法用表示，即可解决问题． 如图中，连接，延长交的延长线于≌，推出，，利用直角三角形斜边中线的性质求出，，再利用勾股定理求出即可解决问题． 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 45.【答案】证明：四边形是矩形， ，， 在和中 ≌， ． 解：如图中，延长交的延长线于． ， ， 在和中 ≌， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，设， 在中，则有， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． ．  【解析】见答案； 见答案； 如图中，延长交的延长线于． ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，设， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ，设，则， ， ， ， ，， ． 故答案为． 证明≌可得结论． 如图中，延长交的延长线于证明垂直平分线段，推出，设，构建方程求出即可解决问题． 如图中，延长交的延长线于证明，设，易知，设，则，根据，构建方程求出用表示即可解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第17页，共90页 学科网（北京）股份有限公司 $$