精品解析：2024年广东省广州市南沙区中考二模数学试题

2023-2024学年第二学期初中毕业班模拟考试 数学 本试卷共7页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ACEF， 故选C 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 4. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．根据平方差公式和完全平方公式，逐个判断选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后在数轴上表示出来即可，解题的关键是掌握一元一次不等组的求解方法． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为在数轴上表示为： 不等式组的解集为：， 故选：． 6. 实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算无理数的大小，进而得出的取值范围，再根据数轴表示数的意义进行判断即可，掌握算术平方根的定义，理解数轴表示数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 通过数轴可知：点符合题意， 故选：． 7. 如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质和解直角三角形，过作于点，由题意可得平分，则，由可得，通过三角形外角性质得，通过三角函数求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是， 故选：． 8. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D． 9. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计： 废旧电池数/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是6节 D. 平均数是5.6节 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可． 【详解】解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确； B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确， C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确； D. 根据样本平均数节 故选项D平均数是5.6节正确． 故选择：D． 【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键． 10. 如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A. ①②③④⑤ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， ∴当时，，此时的面积为， ∴， ∴， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ∵，， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ∴， 当时，如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ∵， ∴的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 计算： =_____． 【答案】- 【解析】 【分析】先把化简，再进行二次根式的减法计算. 【详解】解：原式= . 【点睛】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握计算法则是解题关键，本题是基础题. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 14. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个列出方程即可，由解题的关键读懂题意列出分式方程． 【详解】解：设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE=BC=AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴ ∴EF=AF， ∴EF=AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF==2x， ∴tan∠BDE== = ； 故答案为. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 16. 正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为______； 若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查正 方形的性质和判定，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键，（1）过点作，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到；（2）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【详解】解：过点作， ∵正方形中，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 过点作，如图， ∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 18. 如图，在中，，，．求证：平分． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，菱形的判定与性质，由，，，根据勾股定理逆定理得，再根据菱形的判定与性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简即可； （）由，得，，然后代入求值即可； 本题考查了利用公式法进行因式分解，分式的化简求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 20. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． （1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； （2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 【答案】（1）购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元 （2）这个文具店至少购进甲种圆规80个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元； 【小问2详解】 解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个， 根据题意，得， 解得， 答：这个文具店至少购进甲种圆规80个． 21. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）50 （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用画树状图计算即可． 【小问1详解】 ∵(人)， 故答案为：50． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果， 相同的概率为：． 22. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键 任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围． 任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】任务1：解：由题意，得， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． 任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为， 依题意得，， 解得， 空矿泉水瓶的重量为． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． （2）为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 如图，点D即为所求： （2） 证明：如图，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在半径， ∴是的切线； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意，作平分线即可； （）先判断出，得出，即可得出结论； （）连接，由，得，，然后证明，得，求出，，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 分别以为圆心画弧交于点； 连接交于点， ∴即为所求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 24. 已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标； （3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等； （1）把点代入抛物线，即可求解； （2）先求得的坐标，进而得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出得出是等腰直角三角形，即可求解； （3）根据在该抛物线上，则，由当时，总有，分点在之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线， 得，， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时，则， 解得：或； 又∵点在点的左侧， ∴，， 当时，则，即， ∴当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的外接圆与轴交于另一点， ∴，即是等腰直角三角形， ∵，则， 根据圆的对称性可得：； 【小问3详解】 解：在该抛物线上，则， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点的横坐标，即点在对称轴的左侧， ∵当时，总有， ∴图①不成立， 当的位置满足图②时，， 解得：， ∴，则， 当的位置满足图③时，则， 解得：，此时， 综上所述， 或． 25. 在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：将绕点旋转，得到，连接、，、，， 则：，， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴三点共线，， ∴三点共线， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，根据题意，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质，则，，推出，是等腰直角三角形；根据全等三角形的判定，则，则，，求出；根据矩形的判定，则四边形是矩形，求出，，最后根据勾股定理，即可． （2）将绕点旋转，得到，连接、，、，， 证明，推出点在的延长线上，得到，根据全等三角形的判定，则，则；再根据平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，推出；根据全等三角形的判定，则，得，再根据是等腰直角三角形，则，最后根据，即可； （3）连接、、、，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，则，根据勾股定理，求得，根据，即可． 【小问1详解】 解：延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形，平行四边形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，矩形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期初中毕业班模拟考试 数学 本试卷共7页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 4. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数与数轴上的点一一对应，请观察如图所示的数轴，无理数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计： 废旧电池数/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为40名学生 B. 众数是11节 C. 中位数是6节 D. 平均数是5.6节 10. 如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A. ①②③④⑤ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 计算： =_____． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为______． 14. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为：_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是_____ 16. 正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为______； 若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，．求证：平分． 19. 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 20. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． （1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； （2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 21. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． （2）为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； （3）若，，求的长． 24. 已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标； （3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围． 25. 在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $