精品解析：四川省南充市白塔中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

白塔中学高2023级高一（下）第一次月考数学试卷 总分：150分时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为的向量与任意向量共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，共线向量的定义一一判断即可. 【详解】对于A：单位向量的模都为，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量即是共线向量，故C错误； 对于D：模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：D 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 4. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5. 已知中，，，则此三角形为（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】依题意根据平面向量线性运算得到，即可得到，又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，设，，根据数量积的运算律及定义求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，即，即，所以为等腰三角形， 因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，，则， 由，即，所以， 即，即，所以， 又，所以，即与的夹角为， 所以，所以为等边三角形. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解. 【详解】 . 故选：D 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值. 【详解】解法一： ， 则， 因为满足， 所以函数的图象关于直线对称， 所以，，所以，， 因为，所以的最小值为．故选:A． 解法二 ， 则， 因为满足， 所以函数的图象关于直线对称． 因为，所以， 即， 所以，，所以，， 因为，所以的最小值为． 故选：A． 8. 已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案. 【详解】因为，故时，函数取到最大值， 又，可知为的对称中心， 故， 故； 又在上单调，故， 即， 结合选项，当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则， 由，得， 由于在上不单调，故在上不单调，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则，满足为的对称中心， 由，得， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意； 故 故选：A 【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则的取值范围为 C. D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A考查数量积的定义.B考查向量绝对值不等式，.C，向量不满足交换律.D，向量不满足消去律. 【详解】A．，故A正确. B．，故B正确. C．是与共线，是与共线，故C错误. D．因为 ，，且， 因为， 即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误； 故选：AB. 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项. 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B不正确； 对于C选项，，所以C不正确； 对于D选项，，所以D正确； 故选：AD. 11. 已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得，再由表示在上的投影即可得的取值范围，即可得解. 【详解】由正六边形的性质得：， 则，， ， 而表示在上的投影， 当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0， 所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 12. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判A、B的正误，利用图象变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误． 【详解】由图象可得，且，故，又，所以，解得， 所以，而，，故，， 因为，故，故， 对于A，当时， 而在上单调递减，故在上单调递减，故A正确． 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误． 对于C，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 再将向左平移个单位得到： ，故C正确. 对于D，当时，， 因为函再在区间的值域为，故， 解得，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则与所成的夹角大小是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】记与所成的夹角为， 所以，因此. 故答案为：. 14. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 【答案】 【解析】 【详解】依题意可知是非零向量， 因为，所以存在实数使得， 即， 而是两个不共线的向量， 所以，解得. 15. 设，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和差化积公式和正切的二倍角公式计算即可. 【详解】， ． 故答案为：. 16. 当时，函数取得最大值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解. 【详解】利用辅助角公式，其中 当时，函数取得最大值，则， 所以， 所以 又， 所以 故答案为：. 四、解答题：17题10分，其余各题均12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由，得0， 解得. 18. 已知，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得，根据，利用两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据同角三角函数关系式可求得，由，结合两角差的余弦公式和的范围可求得结果. 【小问1详解】 ，，， ； 【小问2详解】 ，，， ， ，，. 19. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处. （1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度； （2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌. 【答案】（1） （2）转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌. 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可； （2）要求，即，解不等式即可. 【小问1详解】 依题意知，，，， 由，解得，所以， 因为，所以，又，所以， 所以， 所以， 即时点距离地面的高度为； 【小问2详解】 令，即， 解得， 即， 又， 所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌. 20. 已知函数． （1）求函数在R上的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解：将函数的图形向左平移个单位长度， 得到， 再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得， 由实数满足，则为函数的最值， 不妨设， 则， 解得， 则， 当或时，此时. 21. 如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F． （1）试用，表示向量； （2）设，，求证：是定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由向量共线定理即可求出； （2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明． 【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：， 又，故， 由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：， 又，故， 由题意，，不共线，则： ，解得， 故； （2）由E，M，F三点共线，可设（）， 由，，则：， 由（1）知，，则：，即， 所以， 所以是定值． 【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论. 22. 如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设. （1）表示绿地的面积； （2）若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值． 【答案】（1），． （2）时，取得最小值元． 【解析】 【分析】（1）分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形，表示出边长，根据绿地面积等于扇形面积减去平行四边形面积，求出解析式即可； （2）设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，利用辅助角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得． 【小问1详解】 如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形． 因为，则，， ， 由于，所以， 则， 设四边形EFPQ的面积为， 所以， 所以，． 【小问2详解】 要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值， 因为，则，所以，则， 因此，即，此时，即， ， 所以当时，取得最小值元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔中学高2023级高一（下）第一次月考数学试卷 总分：150分时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为的向量与任意向量共线 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 5. 已知中，，，则此三角形为（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则的取值范围为 C. D. 若，，则 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 3 12. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则与所成的夹角大小是_______. 14. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 15. 设，，则________． 16. 当时，函数取得最大值，则__________. 四、解答题：17题10分，其余各题均12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 18. 已知，且，. （1）求的值； （2）求的值. 19. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处. （1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度； （2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌. 20. 已知函数． （1）求函数在R上的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 21. 如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F． （1）试用，表示向量； （2）设，，求证：是定值． 22. 如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设. （1）表示绿地的面积； （2）若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $