精品解析：四川省南充市白塔中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

白塔中学高2023级高一（下）期中考试（数学卷） 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 2. 已知锐角的终边过点，则 （    ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. －3 4. 已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分. 9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为实数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 不等式的解集为， 11. 在中，角的对边分别为，对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，则的外接圆的面积等于 C. 若，且，则是等边三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 12. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，的夹角为，，，则=__________ ． 14. 已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为________． 15. 函数在区间上的值域为__________. 16. 已知函数，若在上恰好存在3个不同的满足，则的取值范围是_____________ 四、解答题：17题10分，其余各题均12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解. 已知，且满足条件______. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 18. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值： （2）若复数为纯虚数，求的值． 19. 已知，且， （1）求的值： （2）求与的夹角. 20. 已知是三边长且，的面积． （1）求角； （2）求的周长． 21. 如图，为正方形，，，点为直角坐标平面内的一点，M为线段的中点，设. （1）求的表达式； （2）当取最大值时，求的值. 22. 在锐角中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知， （1）若是的平分线，求的长； （2）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔中学高2023级高一（下）期中考试（数学卷） 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得，即可求得模长. 【详解】因为， 所以 故选：B. 2. 已知锐角的终边过点，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义求得，再结合余弦的和角公式，即可求得结果. 【详解】根据题意可得，故. 故选：B. 3. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，则 故向量在向量方向上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为， 故选：C 4. 已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据和已知条件求出，再根据求解即可. 【详解】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则， 所以弧长，扇形周长，解得， 所以扇形面积. 故选：B. 5. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得. 【详解】，由，故，又， 故，，由余弦定理可得： ， 即. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到，得到的最小值. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得， 又的图象关于轴对称，所以， 解得，当时，取得最小值． 故选：A． 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系， 由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分. 9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为实数 C. 的模长等于 D. 的共轭复数为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于A：由题意可得：，则对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第二象限，故A正确； 对于B：由题意可得为实数，故B正确； 对于C：由题意可得，则，故C错误； 对于D：由题意可得， 则的共轭复数为，故D错误； 故选：AB. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 不等式的解集为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项． 【详解】对于A，由图知函数的最小正周期，所以， 所以，将点代入，得， 所以，解得， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，当时，， 当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误； 对于D，由，得，所以，， 解得，，故D正确． 故选：ABD． 11. 在中，角的对边分别为，对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，则的外接圆的面积等于 C. 若，且，则是等边三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦定理，求得，可判定A错误；根据正弦定理，求得外接圆的半径，可判定B正确；利用数量积得定义，化简求得，进而求得，可判定C正确；根据正弦定理化简得到，进而可判定D不正确. 【详解】对于A中，因为，由余弦定理得，可得为锐角， 但不能判断为锐角三角形，所以A错误； 对于B中，设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，解得， 所以其外接圆的面积为，所以B正确； 对于C中，由 ，所以， 因为,可得， 又由，可得， 所以是等边三角形，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 因为且，所以或， 可得或，则为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 故选：BC. 12. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，的夹角为，，，则=__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义得到，再根据模的定义及数量积的运算，即可求出结果. 【详解】因为向量，的夹角为，，，所以， 所以，得到， 故答案为：. 14. 已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题在复平面上对应的点位于第二象限，即要实部小于零，虚部大于零，建立不等式组可解出. 【详解】依题意得：，得， ∴. 故答案为： 15. 函数在区间上的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用和差角公式、二倍角公式及辅助角公式，得到，再根据条件及的性质，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 又，所以，令， 因为，所以， 故答案为：. 16. 已知函数，若在上恰好存在3个不同的满足，则的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 当时， 又，且在上恰好存在3个不同的满足， 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：17题10分，其余各题均12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解. 已知，且满足条件______. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，则由诱导公式化简可得，然后代入化简即可；若选②，结合求出的值，然后代入计算即可；若选③，结合求出的值，然后代入计算即可； （2）若选①，由和，求出的值，然后再求出的值，计算，从而可求出的值；若选②，求出的值，计算，从而可求出的值；若选③，求出的值，计算，从而可求出的值； 【小问1详解】 若选①，则由，得， 所以， 所以， 若选②，则由，得， 因为，所以， 化简整理得，，解得或， 因为，所以，所以， 所以， 若选③，则由，得，得， 因为，所以， ，解得或， 因为，所以，所以， 所以，得， 所以， 所以； 【小问2详解】 若选①，则由（1）可知， 因为，得以，即， 所以，所以，所以， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 若选②，则由（1）可知，， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 若选③，则由（1）可知，， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以. 18. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值： （2）若复数为纯虚数，求的值． 【答案】（1）5或 （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意得复数的虚部为0，由此即可列方程求解； （2）由题意实部为0，且虚部不为0，由此即可列式求解. 【小问1详解】 由复数为实数，得， 解得或. 【小问2详解】 由复数为纯虚数，得，解得. 19. 已知，且， （1）求的值： （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由展开，结合已知，即可得出答案； （2）根据向量的运算律得出以及的值，即可根据数量积定义式，得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以，. 【小问2详解】 由已知可得，， 所以. 又， 所以，. 又， 所以. 20. 已知是三边长且，的面积． （1）求角； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可； （2）先根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长． 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 即，解得， 故， 又，故， 所以， 故，， 故的周长为． 21. 如图，为正方形，，，点为直角坐标平面内的一点，M为线段的中点，设. （1）求的表达式； （2）当取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再求，的坐标，再利用数量积的坐标运算化简求解即可； （2）根据辅助角公式可得，从而可求出的最大值，从而由，结合可求出. 【小问1详解】 因为，，M为线段的中点，所以， 因为， 所以，， 所以 【小问2详解】 （其中）， 所以的最大值为，此时， 所以，得， 因为， 所以， ， 整理得，解得. 22. 在锐角中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知， （1）若是的平分线，求的长； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可根据等面积法求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由以及余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 由等面积法可得，即， 即. 【小问2详解】 设边的对角为，由锐角三角形，结合得：， 解得，又，由正弦定理得，又， 所以，所以， 故 ， 因为，故，所以，故， 所以取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $