多选题专练6：数列-2025届高考数学二轮专题复习

2025年高考数学多选题专练6　数列 1.(2024·温州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 2.(2024·岳阳模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}，且an＋1>an，则(　　) A.a3＋a7＝a4＋a6 B.a3·a7>a4·a6 C.数列{a2n＋1}是等差数列 D.数列{a2n}是等比数列 3.(2024·盐城模拟)已知数列{an}对任意的整数n≥3，都有n2an－2an＋2＝(n2－4)a，则下列说法中正确的有(　　) A.若a2＝2，a4＝2，则a6＝2 B.若a1＝1，a3＝3，则a2n＋1＝2n＋1(n∈N) C.数列{an}可以是等差数列 D.数列{an}可以是等比数列 4.(2024·武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＋a8＝2a6恒成立 B.若数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等差数列 C.若数列{an}为等比数列，则a3＝7，S3＝21，则a4＝－ D.若数列{an}为等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列 5.(2024·广州调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)，若S1＝－50，则下列结论正确的有(　　) A.a5>0 B.数列{an}单调递减 C.当n＝4时，Sn取得最小值 D.Sn>0时，n的最小值为7 6.(2024·锦州模拟)如果有限数列{an}满足ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，则称其为“对称数列”，设{bn}是项数为2k－1(k∈N*)的“对称数列”，其中bk，bk＋1，…，b2k－1是首项为50，公差为－4的等差数列，则(　　) A.若k＝10，则b1＝10 B.若k＝10，则{bn}所有项的和为590 C.若k＝13，则{bn}所有项的和最大 D.{bn}所有项的和可能为0 7.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则(　　) A.S4＝S7 B.当n＝5或6时，Sn取得最小值为30 C.数列{|an|}的前10项和为50 D.当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数 8.(2024·威海模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.设λ与k是常数，若对任意n∈N＋，均有成立，则称此数列为“λ－k”数列.若数列{an}是“－2”数列，且an>0，则(　　) A.Sn＝9n－1 B.{an}为等比数列 C.{Sn－an}的前n项和为 D.为等差数列 9.(2024·唐山模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则(　　) A.Mn＝a B.a＝a3a5 C.a1＋a2＋…＋an＝2－22－n D.M1＋M2＋…＋Mn< 10.(2024·漳州模拟)已知数列{an}是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且＝2a2＋4a3，则(　　) A.a3＝2a2 B.数列{bn}的前6项和为 C.数列{log2an}是递减的等差数列 D.若bn＝，则数列{bn}的前n项和的最大值为1 参考答案 1.ABC　[设等比数列{an}的公比为q. 当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误； 当q≠1时，Sn＝＝－·qn， 所以c＝，a＝－，b＝q， 即a＋c＝0，ac＝－<0， 所以A，B，C正确.] 2.AC　[设等差数列{an}的公差为d(d>0)， 对于A，由等差数列性质可得a3＋a7＝a4＋a6，故A正确； 对于B，a4·a6－a3·a7＝(a1＋3d)·(a1＋5d)－(a1＋2d)·(a1＋6d)＝3d2>0， 则a3·a7<a4·a6，故B错误； 对于C，因为a2n＋1－a2n－1＝2d， 则数列{a2n＋1}是等差数列，故C正确； 对于D，如数列{an}为1，2，3，4，5，6，…，显然数列{a2n}不是等比数列，故D错误.] 3.BC　[若a2＝2，a4＝2， 当n＝4时，16a2a6＝12a， 解得a6＝，故A错误； 若a1＝1，a3＝3， 当n＝3时，9a1a5＝5a，解得a5＝5， 当n＝5时，25a3a7＝21a，解得a7＝7，…， 根据推递关系可知，当n为奇数， 即n＝2n＋1时，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正确； 若an＝n，则n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立， 故数列{an}可以是等差数列，即C正确； 若数列{an}是等比数列，假设公比为q， 则由n2an－2an＋2＝(n2－4)a， 得(n＋1)2an－1an＋3＝[(n＋1)2－4]a， 两式相除得，＝， 即q2＝q2，解得n＝－，不符合题意，故D错误.] 4.BD　[若数列{an}为等差数列，不妨设其公差为d，则a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d， 显然当a1＝d才相等，故A错误； (S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)，故B正确； 若数列{an}为等比数列，且a3＝7，S3＝21， 设其公比为q，则 作商可得q＝1或q＝－， 所以a4＝7或a4＝－，故C错误； 由题意得{an}各项均不为0， 可得(S6－S3)÷S3＝q3＝(S9－S6)÷(S6－S3)，故D正确.] 5.AC　[由nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)， 得－＝n－1， ＝－＋－＋…＋－＋＝1＋2＋…＋(n－1)－， 解得2Sn＝n3－51n－50(n≥2，n∈N*)， 当n＝1时，S1＝－50满足上式， 所以Sn＝， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝， 所以a5＝＝5>0，故A正确； 当n≥2时，an＝单调递增， 又a1＝－50，a2＝－22，所以数列{an}单调递增，且a1<a2<a3<a4<0<a5<a6<…， 所以当n≤4时，{Sn}单调递减， 当n≥5时，{Sn}单调递增，且S4<S5， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，故B错误，C正确； 又S7＝＝－32<0， S8＝＝27>0，故D错误.] 6.BC　[∵{bn}是项数为2k－1(k∈N＋)的对称数列， ∴b1＝b2k－1，b2＝b2k－2，…，bk－1＝bk＋1， {bn}的和S2k－1＝×2－50＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626， 对于A，k＝10，则b1＝b19＝50－4×9＝14，错误； 对于B，k＝10，则所有项的和为×2－50＝590，正确； 对于C，{bn}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626， 当k＝13时，和最大，正确； 对于D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，错误.] 7.AC　[因为a1＝10，d＝－2， 所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12， Sn＝＝－n2＋11n， 所以S4＝－16＋44＝28，S7＝－49＋77＝28， 所以A正确； 因为Sn＝－n2＋11n＝－＋， 根据二次函数的对称性及开口向下可知， Sn取得最大值为S5＝S6＝－＝30，故B错误； 记{|an|}的前10项和为T10， 因为an＝－2n＋12， 当an＝－2n＋12≥0时，解得n≤6， 当an＝－2n＋12<0时，解得n>6， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10| ＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10 ＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10， 因为Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10， 所以T10＝2×30－10＝50，故C正确； 记bm＝3m＋10，因为an＝－2n＋12，n≤2 023， 所以a2 023＝－4 034， 所以当n≤2 023时，an≥－4 034， 由an＝－2n＋12，n≤2 023，可知an为偶数， 若bm与an互为相反数，则bm≤4 034，且bm为偶数， 由bm＝3m＋10，所以bm－10为偶数，即3m为偶数，即m为偶数，即3m≤4 024，即m≤，且m为偶数，所以m≤1 341，且为偶数， 故这样的m有670个，故D错误.] 8.AC　[由条件可知，λ＝，k＝2， 则－＝＝， 两边平方后，整理得Sn＋1－4＋3Sn＝0， 即(－)(－3)＝0， 得＝或＝3， 若＝，则Sn＋1＝Sn，则an＋1＝0，这与an>0矛盾，所以不成立， 若＝3，则Sn＋1＝9Sn，S1＝a1＝1， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为9的等比数列，即Sn＝9n－1，故A正确； 由Sn＋1＝9Sn可得Sn＝9Sn－1(n≥2)， 两式相减得，an＋1＝9an，并且n＝1时，S2＝9S1， 即a1＋a2＝9a1，得a2＝8，那么＝8≠9， 所以{an}不是等比数列，故B错误； an＝当n＝1时，S1－a1＝0， 当n≥2时，设数列{Sn－an}的前n项和为Tn， 则Tn＝(S1－a1)＋(S2－a2)＋…＋(Sn－an) ＝(S1＋S2＋…＋Sn)－(a1＋a2＋…＋an) ＝－＝， 当n＝1时，T1＝0成立，故Tn＝，故C正确； ＝1，＝，＝，＋≠2， 所以数列不是等差数列，故D错误.] 9.ABD　[显然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝a，A正确； 由中位线性质易得an＝an－1，即{an}是等比数列，公比为，因此a＝a3a5，B正确； a1＝AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝＝2－21－n，C错误； M1＝×12＝，{an}是等比数列，公比为，则{Mn}也是等比数列，公比是， M1＋M2＋…＋Mn＝＝<，D正确.] 10.BC　[由题知，∵＝2a2＋4a3，A，B，C三点共线，则2a2＋4a3＝1， 设公比为q，∴2×q＋4×q2＝1， 由{an}是正项等比数列，解得q＝， ∴an＝a1qn－1＝，Sn＝＝1－， 所以＝，故A错误； 所以S6＝1－＝，故B正确； 因为log2an＋1－log2an＝log2－log2＝－1，且log2a1＝log2＝－1， 所以数列{log2an}是－1为首项，－1为公差的递减的等差数列，故C正确； 又bn＝＝＝＝－， 所以数列{bn}的前n项和为 b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－， 所以n越大， 数列{bn}的前n项和也就越大， 但1－不可能为1，只是无限接近于1，故D错误.] 学科网（北京）股份有限公司 $$