多选题专练5：平面向量-2025届高考数学二轮专题复习

2025年高考数学多选题专练5　平面向量 1.(2024·广州模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则(　　) A.(a－b)⊥(a＋b) B.(a－b)∥(a＋b) C.|a－b|＝|a＋b| D.b－a在a上的投影向量是a 2.(2024·滨州模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－4)，则下列说法正确的是(　　) A.若|a＋b|＝，则m＝5 B.若a∥b，则m＝－2 C.若a⊥b，则m＝－1 D.若m＝1，则向量a，b的夹角为钝角 3.(2024·蚌埠模拟)关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是(　　) A.若a·c＝b·c，则a＝b B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c C.若a2＝b2，则a·c＝b·c D.(a·b)·c＝(b·c)·a 4.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A.|b|＝1 B.(4a＋b)⊥ C.a·b＝－1 D.a⊥b 5.(2024·梅州模拟)如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD＝AB，E，F分别为DC，AE的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　) A.λ＝ B.μ＝2 C.λ＝ D.μ＝1 6.(2024·云南师大附中模拟)已知e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1＋e2，下列结论正确的是(　　) A.|a|＝ B.a⊥b C.〈a，b〉＝ D.a在b上的投影向量为－b 7.已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.||＝ B.若⊥，则m＝－2 C.若∥，则m＝－ D.若，的夹角为锐角，则m<2且m≠－ 8.(2024·武汉质检)已知向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a与b的夹角可以为(　　) A. B. C. D. 9.(2024·苏锡常镇模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，若＝a，＝b，点E，F分别为边BC，CD的中点，则下列说法正确的是(　　) A.＝－a＋b B.⊥ C.·＝ D.cos〈，〉＝ 10.(2024·南通模拟)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为右图的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P在上(含端点)，连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且＝x＋y，则下列说法正确的是(　　) A.若y＝x，则x＋y＝ B.若y＝2x，则·＝0 C.·≥－2 D.·≥ 参考答案 1.AC　[因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)， 所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，(a－b)⊥(a＋b)，故A正确； 因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B错误； |a－b|＝， |a＋b|＝，故C正确； 因为b－a＝(－3，－1)在a上的投影向量是×＝×＝－a，故D错误.] 2.BD　[对于A，因为a＝(1，m)，b＝(2，－4)， 所以a＋b＝(3，m－4)，|a＋b|＝＝， 解得m＝5或m＝3，故A错误； 对于B，因为a∥b，所以2m＝－4，解得m＝－2，故B正确； 对于C，因为a⊥b，所以a·b＝2－4m＝0，解得m＝，故C错误； 对于D，当m＝1时，a＝(1，1)，a·b＝2－4＝－2<0， 又因为此时a，b不共线，所以向量a，b的夹角为钝角，故D正确.] 3.ACD　[对于A，若c＝0，则不一定有a＝b，A错误； 对于B，根据分配律即可得到，B正确； 对于C，若a2＝b2，则可能a＝－b， 那么a·c≠b·c，C错误； 对于D，等号左边为c的共线向量，等号右边为a的共线向量，故D不一定成立，D错误.] 4.BC　[因为＝2a，所以||＝2|a|＝2， 所以|a|＝1， 又因为＝2a＋b，所以＝＋b， 所以b＝－＝， 所以|b|＝||＝2，A错误； 因为△ABC是边长为2的等边三角形， 所以，的夹角为，即a，b的夹角为， 所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4|a|·|b|cos ＋|b|2＝0， 所以(4a＋b)⊥，B正确； a·b＝|a|·|b|cos ＝－1≠0，C正确，D错误.] 5.BC　[因为CD∥AB，CD＝AB， 所以＝＋＝－， 因为F为AE的中点， 所以＝2＝2(＋)＝2＋2， 所以＝2＋2－＝＋2， 所以λ＝，μ＝2.故AD错误，BC正确.] 6.ACD　[由题意可知|e1|＝|e2|＝1， e1·e2＝|e1||e2|cos ＝， |a|2＝(e1－2e2)2＝1＋4－4×＝3， |a|＝，故A正确； a·b＝(e1－2e2)·(e1＋e2)＝1－－2＝－≠0，故B错误； 易知|b|2＝1＋1＋2×＝3，所以|b|＝， 因为cos〈a，b〉＝＝＝－， 又0≤〈a，b〉≤π， 所以〈a，b〉＝，故C正确； 结合C易知a在b上的投影向量为·b＝－b，故D正确.] 7.AC　[因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)， 所以＝(2，－1)，＝(1，m)， A中，||＝＝，A正确； B中，因为⊥，所以·＝0， 所以2－m＝0，所以m＝2，B错误； C中，因为∥，所以2·m＝(－1)×1， 所以m＝－，C正确； D中，因为，的夹角为锐角，且＝(－2，1)， 所以解得m>2，D错误.] 8.AB　[因为|a＋b|＝， 则|a|2＋|b|2＋2a·b＝6， 且|a－b|＝，则|a|2＋|b|2－2a·b＝2， 所以4a·b＝4，即a·b＝1， 则|a|2＋|b|2＝4， 又因为4＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，即|a||b|≤2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|cos θ＝1， 即cos θ＝，且|a||b|≤2， 则cos θ≥，所以0≤θ≤， 则a与b的夹角可以为，.] 9.AC　[∵四边形ABCD为矩形， ∴以A为原点，分别以，为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)，E，F(1，1)， ∴＝a＝(2，0)，＝b＝(0，1)，＝，＝(1，1)，＝， 对于A，设＝xa＋yb， 则＝(2x，y)， ∴x＝－，y＝， ∴＝－a＋b，故A正确； 对于B，因为·＝－1＋＝－≠0， ∴与不垂直，故B不成立； 对于C，·＝2＋＝，故C正确； 对于D，cos〈，〉＝＝＝，故D不成立.] 10.ABD　[如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A(1，0)，C(3，0)，B，D， 设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，则P(3cos θ，3sin θ)， 由＝x＋y可得 cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x>0，y>0， 若y＝x， 则cos2θ＋sin2θ＝＋＝1， 解得x＝y＝(负值舍去)， 故x＋y＝，A正确； 若y＝2x，则cos θ＝3x－y＝0，sin θ＝1， 所以＝(0，3)， 所以·＝(1，0)·(0，3)＝0，故B正确； ·＝·(－2cos θ，－2sin θ)＝－sin θ＋3cos θ＝－2sin， 由于θ∈，故θ－∈， 故－3≤－2sin≤3，故C错误； 由于＝(1－3cos θ，－3sin θ)， ＝， 故·＝(1－3cos θ，－3sin θ)· ＝－3sin， 而θ＋∈，所以sin∈， 所以·＝－3sin≥－3＝，故D正确.故选ABD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$