多选题专练8：平面解析几何-2025届高考数学二轮专题复习

2025年高考数学多选题专练8　平面解析几何 1.已知直线l：x＝my＋1，则(　　) A.直线l恒过定点(1，0) B.直线l的斜率必定存在 C.m＝时，直线l的倾斜角为60° D.m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 2.(2024·郑州段考)已知双曲线C：－y2＝λ(λ<0)，则(　　) A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在y轴上 C.双曲线C的离心率为定值 D.双曲线C的渐近线方程为y＝±x 3.(2024·南京模拟)点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　) A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF1F2的面积为 5.(2024·福州质检)已知曲线C：＋＝1，则下列选项正确的是(　　) A.若m>，则C是椭圆 B.若－<m<，则C是双曲线 C.当C是椭圆时，若|m|越大，则C越接近于圆 D.当C是双曲线时，若|m|越小，则C的张口越大 6.已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则(　　) A.若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B.若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 C.若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D.若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 7.(2024·武汉调研)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，一条光线从点P(2，1)射出经x轴反射，下列结论正确的是(　　) A.圆C关于x轴的对称圆的方程为x2＋y2＋4y＋3＝0 B. 若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x－2y－4＝0 C.若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|＋|BA|＝2 D.若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CNM面积的最大值为 8.(2024·青岛模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F，其斜率k>0，且交抛物线于A，B(点A在x轴下方)两点，抛物线的准线为m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列结论正确的是(　　) A.若＝3，则k＝ 　 B.＋＝1 C.若k＝1，则|AB|＝2 　 D.∠A1FB1＝90° 9.(2024·石家庄调研)已知双曲线C：－＝1，F1，F2为C的左、右焦点，则(　　) A.双曲线－＝1(m＞0)和C的离心率相等 B.若P为C上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的周长为6＋2 C.若直线y＝tx－1与C没有公共点，则t＜－或t＞ D.在C的左、右两支上分别存在点M，N，使得4＝ 10.(2024·宁波质检)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的点，则下列结论正确的是(　　) A.若C的离心率为，则直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是 D.若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围为 参考答案 1.AD　[A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确； B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误； C中，m＝时，直线l：y＝(x－1)， 则直线l的斜率为，倾斜角为30°，错误； D中，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，正确.] 2.BCD　[由曲线C：－y2＝λ(λ<0)， 整理可得－＝1(λ<0)， 所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ<0)，不是定值，故A错误，B正确； e＝＝＝＝，为定值，故C正确； 渐近线的方程为＝y2，即y＝±x，故D正确.] 3.AC　[设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P， 使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°， 所以|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2， 因为c2＝a2－b2，所以2a2≤4a2－4b2， 则a2≥2b2，所以选项AC满足.] 4.ACD　[等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知|F1F2|＝2， 所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 设点P(x0，y0)，因为点P是双曲线C的一条渐近线上一点， 所以不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 所以解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确.] 5.BD　[当2m2－4>0且2m2－4≠4时， 曲线C：＋＝1是椭圆， 此时解得m2>2且m2≠4， 所以m<－或m>且m≠±2， 所以A错误. 当2m2－4<0时，曲线C：＋＝1是双曲线， 此时解得－<m<，所以B正确. 当曲线C：＋＝1是椭圆时， 记该椭圆的离心率为e1， 若0<2m2－4<4，即2<m2<4， 则e＝1－＝1－＝2－， 当|m|越大，即m2越大时，e越小，椭圆越圆； 若2m2－4>4，即m2>4， 则e＝1－＝1－＝1－， 当|m|越大，即m2越大时，e越大，椭圆越扁， 所以C错误. 当曲线C：＋＝1是双曲线时， 记该双曲线的离心率为e2，则2m2－4<0， 即m2<2，e＝1＋＝1＋＝2－， 当|m|越小，即m2越小时，e越大， 所以双曲线的张口越大，所以D正确.] 6.BCD　[联立 得4x2＋6mx＋3m2－6＝0， 则Δ＝12(8－m2). 令Δ＝12(8－m2)≥0，则|m|≤2，A错误； 令Δ＝12(8－m2)>0，则|m|<2，B正确； 令l与C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0， 即m＝±2，直线y＝x＋3与直线y＝x－2的距离d＝＝5，C正确； 如图，直线y＝x－与直线y＝x－2和直线y＝x间的距离均为1， 因此C上到l的距离为1的点只有3个，D正确.] 7.ABD　[将圆C的方程化为标准方程得x2＋(y－2)2＝1， 则圆C的圆心为C(0，2)，半径为1. 对于A，因为C(0，2)关于x轴的对称点为 C′(0，－2)，所以圆C关于x轴对称的圆的方程为x2＋(y＋2)2＝1， 即x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正确； 对于B，因为反射光线平分圆C的周长， 所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在的直线过点(0，－2)，所以入射光线所在直线的方程为y＋2＝x， 即3x－2y－4＝0，故B正确； 对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点 P′(2，－1)， 所以|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|. 因为|P′A|＝＝＝2， 所以|PB|＋|BA|＝2，故C错误； 对于D，设∠CMN＝θ，θ∈， 则圆心C(0，2)到直线P′N的距离d＝sin θ， 且|MN|＝2cos θ， 所以S△CMN＝d|MN|＝sin θcos θ＝sin 2θ，当sin 2θ＝1，即θ＝时，△CNM面积取得最大值，故D正确.] 8.ABD　[如图所示，延长BA，交准线m于点Q， 设|FA|＝|AA1|＝t，|FB|＝|BB1|＝3t，|AQ|＝x， 则△QAA1∽△QBB1， 所以＝， 则＝，解得x＝2t， 故∠A1AQ＝60°，故kAB＝，A正确； 且＋＝＝1，B正确； |AB|＝＝8，C错误； 因为∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA， 则∠B1FB＋∠A1FA＝＋ ＝90°， 所以∠A1FB1＝90°，故D正确.] 9.BC　[对于A，双曲线－＝1中， a2＝4，b2＝5，则c2＝9， 故离心率为，同理双曲线－＝1的离心率为， 由m＞0，得≠，故A错误； 对于B，不妨设点P在第一象限，则 |PF1|－|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝36， 联立解得|PF1|＝＋2，|PF2|＝－2， ∴△F1PF2的周长为 ＋2＋－2＋6＝6＋2，故B正确； 对于C，联立 得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0， 要使直线y＝tx－1与C没有公共点， ∴Δ＜0，解得t＜－或t＞，故C正确； 对于D，若4＝，则F1，M，N三点共线， 设MN的方程为y＝k(x＋3)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵4＝， ∴4(x1＋3，y1)＝(x2＋3，y2)，则y2＝4y1， 联立得(5－4k2)x2－24k2x－36k2－20＝0，且5－4k2≠0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， ∴＝5y1，＝4y， 消去y1可得×＝，此方程无解， ∴不存在M，N，使4＝， 故D错误.] 10.BD　[对于A，设P(x0，y0)，则＋＝1， ∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2， ∴＋＝1，∴3x＋4y＝4b2， ∴kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，故A错误； 对于B，若PF1⊥PF2， 则|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2， 则△PF1F2的面积为·|PF1|·|PF2|＝b2，故B正确； 对于C，若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2， 则C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2， ∴·2c·b>b2，∴c>b， ∴c2>a2－c2，∴e∈，故C错误； 对于D，若|PF1|≤2b恒成立，则a＋c≤2b， ∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)， ∴5e2＋2e－3≤0，∴0<e≤，故D正确.] 学科网（北京）股份有限公司 $$