精品解析：浙江省杭州市文华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

杭州市文华中学2023学年第二学期期中教学质量监测 八年级 数学 学科 （满分：120分，时间：120分钟） （出卷：文华数学组 校对：文华数学组） 一．选择题（共10小题，每个小题3分，共30分） 1. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 5. 要使代数式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ） A. a＝0，b＝0 B. a≠0，b≠0 C. a≠0，b＝0 D. a＝0，b≠0 7. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其推理依据是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 8. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在 处，门用其他材料）．设 的长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点为 边上一动点（不与点，重合），于点，点，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 某校准备选拔一名同学参加市区举办的学生运动会，有甲、乙、丙三位同学报名，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是 ，方差分别是，，．你认为适合选__________同学参加决赛． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 13. 同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程：______． 14. 如图，有一个小山坡 ，坡比为．已知小山坡的垂直高度，则小山坡斜面 的长是______m． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点 与点重合，点落在点处，折痕为 ，则______，______． 16. 将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，， ， ，则这张矩形纸片的较长边的长度为______． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 19. 某商场统计了两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 品牌 16 31 29 24 24 24 20 品牌 17 22 23 24 26 26 30 （1）填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 品牌 24 24 ① ② 品牌 24 ③ 26 14 （2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由． 20. 如图所示，在 中，点D，E分别为 ， 的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实根和． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在平行四边形中， ，过点D作 交的延长线于点E，连接交 于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若，求 的长． 23. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加 株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 24. 已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在第（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文华中学2023学年第二学期期中教学质量监测 八年级 数学 学科 （满分：120分，时间：120分钟） （出卷：文华数学组 校对：文华数学组） 一．选择题（共10小题，每个小题3分，共30分） 1. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，是最简二次根式，不符合题意； B. ，是最简二次根式，不符合题意； C. ，是最简二次根式，不符合题意； D. ，不是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程计算即可得到答案． 【详解】解：∵0是方程的根， ∴， ∴， 故选：C． 4. 一组数据16，m，20，20，24按从小到大的顺序排列，下列选项与m无关的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位数、平均数、众数和方差的定义即可求解． 【详解】解：中位数是20，与m的值无关， 故选：A． 【点睛】本题考查中位数，掌握求中位数的方法是解题的关键． 5. 要使代数式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且 解得：且 故选D． 6. 用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ） A. a＝0，b＝0 B. a≠0，b≠0 C. a≠0，b＝0 D. a＝0，b≠0 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：“若，则中至少有一个为0”．第一步应假设：． 故选：B． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其推理依据是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键． 8. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在 处，门用其他材料）．设 的长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设 的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形， ∴（米）， ∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈， ∴， 故选：D． 9. 如图，中，，点为 边上一动点（不与点，重合），于点，点，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时， 最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出 的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时， 最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求 的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 二、填空题（共6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 某校准备选拔一名同学参加市区举办的学生运动会，有甲、乙、丙三位同学报名，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是，方差分别是，，．你认为适合选__________同学参加决赛． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可求解． 【详解】解：他们的平均成绩都是，方差分别是，，． ∴乙的方差较小，则选乙同学参加决赛． 故答案为：乙． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 13. 同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率是x,根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 14. 如图，有一个小山坡 ，坡比为．已知小山坡的垂直高度，则小山坡斜面 的长是______m． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了坡度角的知识，勾股定理，根据坡度角求出 的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解： 小山坡 的坡比为，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点 与点重合，点落在点处，折痕为 ，则______，______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求得，，由平行线的性质可得，进而得到，于是，过点E作于点H，则四边形为矩形，得到，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 如图，过点E作于点H， 则， ∴四边形为矩形， ， ， 在中，． 故答案为：5；． 16. 将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，， ， ，则这张矩形纸片的较长边的长度为______． 【答案】或或6或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分四种情况画出图形，求出最长的直角边即可． 【详解】解：如下图所示，延长、 ，过点B作 的垂线，交 的延长线于点F，过点F作的垂线于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 是较长的边． 延长，过点B作 的垂线，过点C作的垂线，分别交和 的垂线于点E、F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时较长的边为； 延长 ，过点B作的垂线，过点A作交 延长线于点E，交的垂线于点F，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时较长的边为6； 延长，过点B作的垂线，交过的延长线于点E，过点E作垂足为 F，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时较长的边为， 故答案为：或或6或． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式性质化简，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据负整数指数幂、零次幂以及二次根式的性质化简计算即可求解； （2）先根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 某商场统计了两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 品牌 16 31 29 24 24 24 20 品牌 17 22 23 24 26 26 30 （1）填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 品牌 24 24 ① ② 品牌 24 ③ 26 14 （2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购两种品牌洗衣机以满足市场需求．请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由． 【答案】（1）24，22，24 （2）解：建议商场采购B品牌洗衣机．理由如下： 由，可知A、B两种品牌平均销量相当，由，可知B品牌销量的离散程度较小， 由表格可知，B品牌一月到七月的销量呈上升趋势， 故建议商场采购B品牌洗衣机． 【解析】 【分析】本题考查了方差，求方差时一定要牢记方差的公式，难度不大． （1）分别利用平均数的计算公式求得平均数，再利用方差公式求得方差即可； （2）根据方差的大小确定哪种洗衣机的销售情况即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，品牌的销售中，24出现次数最多，共出现3次，故众数为24， ， ； 由题意可知，品牌B的销量的中位数为24， 故答案为：24，22，24 【小问2详解】 略 20. 如图所示，在 中，点D，E分别为 ， 的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明： 点D、E分别为 ， 的中点，点G、F分别为，的中点， 是 的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实根和． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； 【小问2详解】 和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 22. 如图，在平行四边形中， ，过点D作 交的延长线于点E，连接交 于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若，求 的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 的长是 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及 是等边三角形是解题的关键． （1）由， ，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； (2)由平行四边形的性质和矩形的性质得， 推出 是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 23. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计种植方案？ 素材1 小明以“种植农作物”为主题在自己家平方米的土地上进行课外实践，现有、两种作物的相关信息如下表所示： 作物 作物 每平方米种植株树（株） 单株产量（千克） 素材2 由于作物植株间距较大，可增加作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植作物每增加 株，作物的单株产量减少千克． 素材3 若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 问题解决 单一种植（全部种植作物） 任务1：明确数量关系 设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有 　 　株，单株产量为 　 　千克．（用含的代数式表示） 任务2：计算产量 要使作物每平方米产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 分区种植（种植、两种作物） 任务3：规划种植方案 设这平方米的土地中有平方米用于种植作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米株种植作物，当这平方米总产量不低于千克时，则的取值范围是 　 　． 【答案】任务一：，；任务二：每平方米应种植株或 株；任务三： 【解析】 【分析】任务一：根据题意直接得出结论； 任务二：根据单株产量 每平米的株数列出方程，解方程即可； 任务三：现根据种植作物每平米的产量 单株产量 每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植作物每平米的最高产量，再根据平米种植作物和作物的产量之和列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务一：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克， 故答案为：，； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴或， 答：每平方米应种植株或 株； 任务三：设种植作物每平方米的产量为千克， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴种植作物每平方米最大产量为千克， 根据题意得：， 解得， 则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 24. 已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在第（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】（1） （2） （3）当 为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点 作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得； （3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点 运动到点所需时间为秒， ∴， ∵， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设，舍去； ②当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题设； ④当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； 综上，当 为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $