精品解析：天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高三下学期第二次热身练数学试题

2023-2024学年度杨村一中高三年级第二次热身练 数学试卷 命题人：高三数学组 一、选择题（本题包括9小题，每小题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 线性回归直线不一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于 D. 先把高三年级的名学生编号：到，再从编号为到的名学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为，，，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 6. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的周期为 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上恰好有三个零点 D. 对任意的，都有 9. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，共30分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 11. 已知，则______. 12. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数____________. 13. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．第3次投壶的人是乙的概率为_______，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为_______． 14. 如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为_______；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为____________. 15. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在的内角所对边的长分别是，已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值． 19. 设是数列的前项和，且是和2的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记. ①求数列的前项和； ②设，求证：. 20. 已知（，且）. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：在上单调递增； （3）设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度杨村一中高三年级第二次热身练 数学试卷 命题人：高三数学组 一、选择题（本题包括9小题，每小题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出全集，然后根据补集运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过和1的比较可得答案. 【详解】因为，，所以． 故选：C 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求奇偶性，排除BD，再由特殊区间的正负，排除A. 【详解】定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除BD； 当时，，故排除A 故选：C 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 线性回归直线不一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于 D. 先把高三年级的名学生编号：到，再从编号为到的名学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为，，，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布、样本中心点、相关系数、分层抽样的知识确定正确答案. 【详解】A选项，由于，根据正态分布的对称性可知，A选项正确. B选项，线性回归直线一定过样本中心点，B选项错误. C选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，C选项错误. D选项，抽样的方法是系统抽样法，不是分层抽样，D选项错误. 故选：A 6. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解函数的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，， 故选：D. 7. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为， 因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形， 所以，解得，则或（舍去）， 由得，， 则上半部分的体积为，下半部分体积为， 故蒙古包的体积为. 故选：C. 8. 如图为函数的部分图象，则（ ） A. 函数的周期为 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上恰好有三个零点 D. 对任意的，都有 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象求出的解析式，然后再逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以，因为，所以，故， 因为，即， 又在处附近单调递减，且在时在处正弦函数第一次取值为， 所以，可得，所以， 对于A，的最小正周期，A错； 对于B，是奇函数，B错； 对于C，当时，， 令可得，即，则在上恰好有三个零点，C正确； 对于D，，故不是的最大值，D错. 故选：C 9. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论. 【详解】解：设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 二、填空题（本题共6小题，共30分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 11. 已知，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式的通项求项的系数即可. 【详解】的通项为，所以展开式中的系数为， 的通项为，所以展开式中的系数为， 所以. 故答案为：3. 12. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 13. 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为．第3次投壶的人是乙的概率为_______，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第3次投壶的人是乙的情况有：甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙，结合互斥事件概率求解即可.根据条件概率公式求解即可. 【详解】第3次投壶的人是乙的情况有：甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙， 所以第3次投壶的人是乙的概率为. 第2次投壶的人是甲的情况有：甲甲、乙甲，第1次投壶的人是乙的情况有：乙， 设“第2次投壶的人是甲”为事件A，设“第1次投壶的人是乙”为事件B， 则. 故答案为：；. 14. 如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为_______；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系， 因为， 所以， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故其模为. 因为，分别为线段，上的动点， 所以，设，， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 15. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果. 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，是难题. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在的内角所对边的长分别是，已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合已知条件，计算即可； （2）利用正弦定理，结合已知条件，即可求得结果； （3）根据，结合余弦的和角公式和倍角公式，计算即可. 【小问1详解】 因为，故由余弦定理， 可得，即，解得（舍）或. 【小问2详解】 因为，故，则， 由正弦定理，则，解得. 【小问3详解】 因为 又， 故. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长． 【答案】（1）证明如下： 在三棱棱中，底面，，易得两两垂直，故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为点分别为棱的中点，是线段的中点，， 则， 则，, 设平面的一个法向量，则，即， 令,则，故， 所以，故， 又平面，所以平面. . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，由此求得平面的法向量与，利用空间数量积判断两向量的关系，从而证得平面； （2）利用（1）中结论求得平面与平面的法向量，利用空间数量积求角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）设，从而得到，再由它们所成角的余弦值为得到关于的二次方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的一个法向量，则， 令，则，得， 易知平面，故设平面的一个法向量， 设平面与平面的平面角为，则由图形易知为锐角， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. . 【小问3详解】 设，则， 故 则，解得或（舍去）， 故，即线段的长为. . 18. 已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）记椭圆的右焦点坐标为，根据题中条件，列出关于的方程组求解，即可得出，从而可确定椭圆方程； （2）先由（1）得，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出，设，根据题中条件，得到，解方程组，即可求出结果. 【详解】（1）记椭圆的右焦点坐标为， 因为椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为， 所以有，解得，因此椭圆的方程为； （2）由（1）可得，则直线的方程为， 因为直线与椭圆交于点（不在轴上），所以， 将代入可得， 整理得， 则，即，所以， 因此，即， 则 所以， 又点在轴的负半轴上，设， 则，， 又是等边三角形， 所以， 即则， 所以，则，整理得， 代入可得， 则，整理得， 解得，所以， 又，所以，故. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据是等边三角形，列出方程组，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力. 19. 设是数列的前项和，且是和2的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）记. ①求数列的前项和； ②设，求证：. 【答案】（1）；（2）①；②详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由是和2的等差中项，可得，当时，，相减可得：，时，可得，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）①利用等比数列的求和公式可得：．，进而得出． ②由①可得：．利用裂项求和可得，再利用数列的单调性即可证明结论． 【详解】解：（1）∵是和2的等差中项， ∴①， 当时，， 解得， 当，时， ② ①-②得， ∴， ∴， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴. （2）①记， . 数列的前项和： ∴， ∴. ②由①进一步得到：， ∴， ∴， ∵， ∴. 即. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力． 20. 已知（，且）. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：在上单调递增； （3）设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程； （2）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明. （3）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，， 则， 要证明在上单调递增， 只需证明在上恒成立， 则只需证，即只需证. 设，则只需证 因为，所以在单调递增， 所以时，即时，成立， 所以，所以在上单调递增. 【小问3详解】 ，即，两边取对数得：，即 设，令，得， 当时，，单调递减. 又因为，所以，在单调递减， 由，则在恒成立，即， 上式等价于，即， 由在单调递减，所以. 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $