精品解析：2024年辽宁省铁岭市调兵山市九年级三模数学试题

2023—2024学年度下学期随堂练习 九年数（六） （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ） 打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳 A. B. C. D. 6. 将方程 去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．若，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 12. 因式分解：__________ 13. 某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是________． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为，则k的值为________． 15. 如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元，购买5个篮球和3个排球共需680元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元． （2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少?求出最少总费用． 18. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 19. 为了提高学生身体素质，某学校组织学生跑步训练．男女生在相同起点出发，开始男生跑停下，等女生跑到处时，男生、女生同时开始匀速跑步至终点．已知男生的匀速跑速度为，男生、女生从开始匀速跑步到停止跑步的时间与男生、女生跑过的路程之间的关系如图所示． （1）求男生、女生跑步的路程a； （2）求男生、女生相遇时，跑过的路程． 20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米 （参考数据：，，，，，） （1）当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 21. 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若 ， 求的长． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 23. 【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期随堂练习 九年数（六） （本试卷共23道题 满分 120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形， 故选：D． 【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，故C不符合题意； ∵，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键． 5. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（ ） 打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数据排序后，中间一个数就是中位数． 【详解】解：由表格可知，处在中间位置的数据为， ∴中位数为， 故选C． 【点睛】本题考查中位数．熟练掌握中位数的确定方法：将数据进行排序后，处在中间位置的一个数据或者两个数据的平均数为中位数，是解题的关键． 6. 将方程 去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据等式的性质方程两边乘得出，问题即可作答． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 故选：D． 7. 如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由平移的性质得， ∴， ∴平行四边形的面积=矩形的面积， ∴的平移距离为4． 故选：C． 8. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 9. 和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 先根据平行线性质：两直线平行，内错角相等得到，结合对顶角相等和三角形外角等于与它不相邻两个内角的和即可求解． 【详解】解：设、交于， ， ， ， ． 故选：． 10. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．若，，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出的长，再由垂直平分线的性质得到，再得出的长即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴， 解得． 故答案为： 12. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表得出共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲分别记为A、B、C， 列表如下： 歌曲 A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种， ∴该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据题意可以设出点的坐标，从而可以得到点的坐标，进而求得的值，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了中位线的定义，三角函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据题意，延长至点，使，连接，，由相似三角形性质和勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， 作，垂足为， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在上取点，使， 则， ， ， 在 中，， ， ， ． 如图所示，同理可求，． 综上所述：线段的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂运算法则，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某中学计划购进一批篮球和排球.若购买3个篮球和1个排球共需360元，购买5个篮球和3个排球共需680元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元． （2）该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少?求出最少总费用． 【答案】（1）每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为60元 （2）当学校购买进篮球75个、排球25个时，总费用最少，最少费用是9000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）设篮球x元/个，排球y元/个，根据题意列方程组求解即可； （2）设购进篮球m个，总费用为w元，先根据“购买篮球的个数不少于排球个数的3倍”列不等式求得m的取值范围，再根据题意得到w关于m的一次函数表达式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球x元/个，排球y元/个， 依题意，得 ，解得 ， 即每个篮球的价格为100元，每个排球的价格为60元； 【小问2详解】 解：设购进篮球m个，则购进排球个，总费用为w元， ∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍， ∴ 解得． 依题意, 得， ∵， ∴w随m值的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为， ∴当学校购买进篮球75个、排球25个时，总费用最少，最少费用是9000元． 18. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 【答案】（1）8人 （2） （3）9600人 （4） 我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数； （2）用乘以其所占比例即可求出答案； （3）利用样本估计总体的思想解答即可； （4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析． 【小问1详解】 解：此次调查的总人数是人， 所以选项A中的学生人数是（人）； 【小问2详解】 ， 选项D所对应的扇形圆心角的大小为； 【小问3详解】 ； 所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键． 19. 为了提高学生身体素质，某学校组织学生跑步训练．男女生在相同起点出发，开始男生跑停下，等女生跑到处时，男生、女生同时开始匀速跑步至终点．已知男生的匀速跑速度为，男生、女生从开始匀速跑步到停止跑步的时间与男生、女生跑过的路程之间的关系如图所示． （1）求男生、女生跑步的路程a； （2）求男生、女生相遇时，跑过的路程． 【答案】（1）男生、女生跑步的路程a为； （2）男生、女生相遇时，跑过的路程为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）先求出男生从开始匀速跑步到停止跑步的路程，进而可以求得； （2）先求出他们的函数解析式，联立函数解析即可求得相遇时跑过的路程． 【小问1详解】 解：由图象得，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时， 开始时男生跑了，男生的跑步速度为， 男生跑步的路程：， 答：男生、女生跑步的路程a为． 【小问2详解】 由题意的，男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：， 设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，经过， ，解得， ， ，解得， 答：男生、女生相遇时，跑过的路程为． 20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米 （参考数据：，，，，，） （1）当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 【答案】（1） 解：车门不会碰到墙，理由如下： 如图：过点A作，垂足为点C． 在中，， ∴， ∵， ∴车门不会碰到墙． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可； （2）如图：过点A作，垂足为D，，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为D， 在中， ∵， ∴． ∴， 又∵正弦值随着角度的增大而增大， ∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键． 21. 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若 ， 求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ，即， D为的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，弧的中点，平行线的性质证明即可． （2）根据切线性质，勾股定理，圆的内接四边形，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了切线性质，圆内解四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为直径， ， ，， ， D为的中点， ， ， ， 又四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 答：的长是． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 【答案】（1） （2）当时，面积差的最大值为 （3）b的值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相等列出方程，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由图象得，经过点C，E， 点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， 当时，，当时，， ，， 经过经过点，， ，解得， ； 【小问2详解】 由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为． 【小问3详解】 水池3与水池2的面积相等， ， 整理得，， x有唯一值， ，解得，， 答：b的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，求函数解析式，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键． 23. 【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）； （2）解：C，D，F三点共线，理由如下： 过点E作EG⊥DE，交AD于点G， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线； （3）的长度为或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到为等边三角形，进而证明，即可得出结果； （2）过点作，交于点，利用正方形的性质和旋转的性质，证明，推出，即可得出结论； （3）过点作，交于点，先证明，进而得到点的运动轨迹，然后分，，两种情况，设，结合相似三角形的性质，解直角三角形，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，过点作，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 当是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论： ①当时：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）； ∴， ∴； ②当时：过点作， ∵矩形， ∴， ∴， 设，则：， 由（1）知， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，菱形，正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $